大学物理4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理

1、4- -4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理第一节4- -4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理力的空间累积力的空间累积效应：效应： 力的功、动能、动能定理力的功、动能、动能定理力矩的空间累积力矩的空间累积效应：效应： 力矩的功、转动动能、动能定理力矩的功、转动动能、动能定理4- -4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理力力 的元功的元功力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，作的总功为作的总功为二、力矩的功率二、力矩的功率一

2、力矩作功一力矩作功 4- -4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理刚体中任一质元 的速率该质元的动能对所有质元的动能求和转动惯量 JJ得得4- -4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理回忆质点的动能定理刚体转动的动能定理由由 力矩的元功力矩的元功转动定律转动定律则则合外力矩的功合外力矩的功转动动能的增量转动动能的增量称为四、刚体绕定轴转动的动能定理四、刚体绕定轴转动的动能定理2022-3-36含平动的转动问题机械外力非保守内力力矩力矩动势动势平动转动平动转动系统（轮、绳、重物、地球）左例忽略摩擦外力力矩非保守内力矩力平动转动势平动

3、转动势可求或此外势4- -4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 例例1 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率轴以角速率 作匀速转动放上唱片后，唱片将作匀速转动放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动设唱片的半径在摩擦力作用下随转盘一起转动设唱片的半径为为R，质量为，质量为m，它与转盘间的摩擦系数为，它与转盘间的摩擦系数为 ，求：，求：( (1) )唱片与转盘间的摩擦力矩；唱片与转盘间的摩擦力矩； ( (2) )唱片达到角速唱片达到角速度度 时需要多长时间；时需要多长时间；( (3) )在这段时间内，转盘的在这段时间内

4、，转盘的驱动力矩做了多少功？驱动力矩做了多少功？4- -4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理RlrRmgfddd2o 解解 ( (1) ) 如图取面如图取面积元积元ds = drdl，该面元，该面元所受的摩擦力为所受的摩擦力为此力对点此力对点o的力矩为的力矩为lrrRmgfrddd2rdrdlfd4- -4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 于是，在宽为于是，在宽为dr的的圆环上，唱片所受的摩圆环上，唱片所受的摩擦力矩为擦力矩为)2(dd2rrrRmgMRmgrrRmgM32d2R022rrRmgd222Rrdrdlfdo4-

5、 -4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 ( (3) ) 由由 可得在可得在 0 到到 t 的时间内，转过的角度为的时间内，转过的角度为 ( (2) ) 由转动定律求由转动定律求 ，( (唱片唱片J=mR2/2)RgJM34gRt43gR832（作匀加速转动）（作匀加速转动）2202驱动力矩做的功为驱动力矩做的功为2241mRMW由由 可求得可求得t04- -4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 例例2 一长为一长为 l , 质量为质量为m 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由转动一自由转动一质量为质量为m、速率为、速率为v 的子弹

6、射的子弹射入竿内距支点为入竿内距支点为a 处，使竿的处，使竿的偏转角为偏转角为30o . 问子弹的初速问子弹的初速率为多少率为多少? ?解解子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒)31(22malmamvoamv302233mamlamv4- -4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理oamv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1 (2olgm)30cos1 (omga 射入竿后，以子弹、细射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，杆和地球为系统，E E =常量常量4- -4 力矩的功

7、力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 作作 业业第第144页页4 - 30 4 - 314 - 362022-3-314第 四 章刚 体 的 转 动2022-3-315一、刚体定轴转动的运动学一、刚体定轴转动的运动学二、力矩的瞬时作用规律二、力矩的瞬时作用规律-转动定律转动定律)()(ttt角位移角位移)(t 角坐标角坐标tttddlim0角速度矢量角速度矢量 方向方向: :右手右手螺旋方向螺旋方向P(t+dt)z.OxP(t)r.dterv2rarantn2terera 1、力矩力矩M的概念的概念. .FrM上式中, 是力的是力的作用点相对于转轴的位矢r角加速度角加速度

8、tt22dddd2022-3-316tJJMdd 3、转动定理转动定理. . 2、转动惯量转动惯量. .转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量,它定义为2jjjrmJmrJd2刚体的转动惯量与以下三个因素有关：刚体的转动惯量与以下三个因素有关：iii）与转轴的位置与转轴的位置有关有关i）与刚体的体密度与刚体的体密度 有关有关ii）与刚体的几何形状及体密度与刚体的几何形状及体密度 的分布有关的分布有关平行轴定理:2mdJJCOdCOm2022-3-317三、力矩的时间累积作用三、力矩的时间累积作用 2、角动量定理角动量定理. . 1、角动量角动量. .质点的角动量prL刚体定轴转动的角动量JL

9、tLMdd微分形式12d21LLtMtt冲量矩冲量矩tMttd21积分形式冲量矩、角动量、角动量定理冲量矩、角动量、角动量定理2022-3-318 3、角动量守恒定律角动量守恒定律. .若作用于物体的合外力矩 ,则角动量守恒: 0M恒矢量L对质点有:恒矢量mrL对刚体有:恒矢量JL三、力矩的空间累积作用三、力矩的空间累积作用 1、力矩作功力矩作功. . 在定轴转动的情况下,若刚体受到的力矩为M,角位移为d, 则M作的元功为MddW 0MdW若刚体转过角, M作功为力矩的功、转动动能、动能定理力矩的功、转动动能、动能定理2022-3-319 3、转动动能定理转动动能定理. . 2、转动动能转动动

10、能. .转动动能是刚体作定轴转动时的动能221JEKJ和分别是刚体的转动惯量和角速度21222121d21JJMW合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量2022-3-320 4、刚体系统的功能原理刚体系统的功能原理. .对于包含有刚体转动的系统,机械能守恒定律仍然成立机械外力非保守内力力矩力矩动势动势平动转动平动转动 5、刚体系统的机械能定恒刚体系统的机械能定恒. .外力非保守内力力矩力矩常量刚体转动动能平动动能系统势能EEE2022-3-321 （1）考试重点：质点在平面内运动及刚体绕质点在平面内运动及刚体绕定轴转动时的定轴转动时的角动量守恒定律角动量守恒定律。刚体定轴转动

11、时。刚体定轴转动时动能定理动能定理和和机械能守恒定律机械能守恒定律的应用的应用 （2）课后P-143: 1-5选择题； （3）课后布置的习题第四章补充例题第四章补充例题第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版221一飞轮半径为一飞轮半径为0.2 m、转速为、转速为150 rmin-1，因受制动而均匀减速，经，因受制动而均匀减速，经30 s 停止转动试求：停止转动试求：( (1) )角加速度和角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；在此时间内飞轮所转的圈数；( (2) )制动制动开始后开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；时飞轮的角速度；( (3) )t = 6 s 时飞轮边缘上

12、一点的线速度、切向时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度加速度和法向加速度第四章补充例题第四章补充例题第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版23飞轮飞轮 30 s 内转过的角度内转过的角度rad75220220srad6t解解 （1）,srad5100 t = 30 s 时，时，设设，飞轮作匀减速运动，飞轮作匀减速运动时，时， t = 0 s 转过的圈数转过的圈数r5 .372752N00第四章补充例题第四章补充例题第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版24（2）s6t时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度10srad4)665(t（3）s6t时，飞

13、轮边缘上一点的线速度大小时，飞轮边缘上一点的线速度大小2sm52420.rv该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度2tsm1050)6(20.ra222nsm631)4(20.ra第四章补充例题第四章补充例题第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版25 2 一质量为一质量为m、长为、长为L的均匀细棒，的均匀细棒，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的摩擦因素为轴转动，已知细棒与桌面的摩擦因素为 ,求棒转动时受到的摩擦力矩的大小求棒转动时受到的摩擦力矩的大小xodxx第四章补充例题第四章补充例题第四章第

14、四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版26解解xlmmdd)d(dmgxMmgLxxlmgmgxML21dd0 xodxx第四章补充例题第四章补充例题第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版27 3 如图：一定滑轮两端分别悬挂质量如图：一定滑轮两端分别悬挂质量都是都是m的物块的物块A和和B，图中，图中R和和r，已知滑轮，已知滑轮的转动惯量为的转动惯量为J，求，求A、B两物体的加速度及两物体的加速度及滑轮的角加速度滑轮的角加速度解解 RaraJrFRFmamgFmaFmg21TT1T2T1212rRF1TF2TFT1FT2mgmgAB第四章补充例题第四章补充例题第四

15、章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版28解得解得221)(mrmRJrRmgrra 2T2mamgF222)(mrmRJrRmgRRa 1T1mamgF22)(mrmRJrRmg 第四章补充例题第四章补充例题第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版29 5 一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮质量为轮质量为m，绳下端挂一物体，物体所受重，绳下端挂一物体，物体所受重力为力为G, 滑轮的角加速度为滑轮的角加速度为1，若将物体去，若将物体去掉而以与掉而以与G相等的力直相等的力直接向下拉绳子，滑轮接向下拉绳子，滑轮的角加速度的角加速度2

16、 将将( (A) ) 不变不变 ( (B) ) 变小变小( (C) ) 变大变大( (D) ) 无法判断无法判断G1 12 2RR第四章补充例题第四章补充例题第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版30解解JGRJGR22选选（C）JRFJRFT11T12T FG又G1 12 2FTGFTRR第四章补充例题第四章补充例题第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版31 6轻绳一端轻绳一端系着质量为系着质量为m的质的质点，另一端穿过光点，另一端穿过光滑水平桌面上的小滑水平桌面上的小孔孔O用力拉着，质用力拉着，质点原来以等速率作半径为点原来以等速率作半径为r 的圆周运动，问的圆周运动，问当拉动绳子向正下方移动到半径为当拉动绳子向正下方移动到半径为r/2时，质时，质点的角速度多大？点的角速度多大？mrr/2FvO第四章补充例题第四章补充例题第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版32解解 m转动中，转动中，所所受力矩受力矩M=02222)(rmrmrvr/42v得得2211JJ L常矢量常矢量mrr/2FvO第四章补充例题第四章补充例题第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版33 Lmg cos21L 7 如图，一长如图，一长L、质量为质量为m的细棒可绕其的细棒可绕其一端自由转动，开始一端自由转