2015届高考数学考点冲刺19等比数列的运算和性质

1、考点19 等比数列的运算和性质【考点分类】热点一 等比数列的基本计算1.设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（ ）（A） （B） （C） （D）2.等比数列x，3x+3，6x+6，的的第四项等于（ ）A.-24B.0C.12D.243.等比数列an的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（ ）（A） （B）- （C） （D）- 4.设数列是首项为，公比为的等比数列，则 .5. .6若等比数列满足，则公比_;前项_.7.设公比为q(q0)的等比数列a n的前n项和为S n.若,则q =_.【答案】 8已知等比数列为递增数列,且,则数列的通项公式_.9已知为等

2、比数列.下面结论中正确的是（）AB C若,则D若,则10（已知等比数列an为递增数列.若a10,且2(a n+a n+2)=5a n+1 ,则数列an的公比q = _.11等比数列的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比=_.12等比数列的前项和为,公比不为1.若,且对任意的都有,则_.13.在等比数列中，且为和的等差中项，求数列的首项、公比及前项和. 14. 已知等比数列满足：，.（）求数列的通项公式；（）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由. 【方法总结】1.对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注

3、意整体代入(换元)思想方法的应用2在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公式q是否等于1的判断和讨论3.关于等比数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，忽略根的符号的判断，导致出错；二是不能灵活利用等比数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大了运算量热点二 等比数列性质的应用15.若等比数列an满足a2a4=20，a3a5=40，则公比q= ；前n项和Sn= .16.在正项等比数列中，. 则满足的最大正整数的值为 .17（2012年高考（新课标理）已知为等比数列,则（）ABCD18（201

4、2年高考（安徽理）公比为等比数列的各项都是正数,且,则（）ABCD19（2012年高考（广东文）(数列)若等比数列满足,则_.20.已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. () 求数列的通项公式; () 设, 求数列的最大项的值与最小项的值. 【方法总结】1.等比数列的单调性(1)或an为递增数列；(2)或an为递减数列；(3)q1an为非零常数列；(4)q0an为摆动数列2等比数列其他性质(1)若数列an是等比数列，则can(c0)，|an|，a，也是等比数列，若bn是等比数列，则anbn也是等比数列(2)数列am

5、，amk，am2k，am3k，仍成等比数列(3)若等比数列an的项数为2n，则q，其中S偶，S奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和(4)qnm(m，nN*)热点三 等比数列定义以其应用21.已知数列满足，则的前10项和等于（ ）A B C D22.已知等比数列的公比为，记，则以下结论一定正确的是（）A. 数列为等差数列，公差为 B. 数列为等比数列，公比为 C. 数列为等比数列，公比为 D. 数列为等比数列，公比为 ，所以等比，且以为公比.23（2012年高考（湖北理）定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列, 仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数:; ; ; .

6、则其中是“保等比数列函数”的的序号为（）A B C D 24.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数等于 .25.设是公比为q的等比数列. () 推导的前n项和公式; () 设q1, 证明数列不是等比数列. 26.设Sn表示数列的前n项和. () 若为等差数列, 推导Sn的计算公式; () 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列. 并证明你的结论.解：()解法一：设公差为d,，则又 【方法总结】1.等比数列的判定方法：(1)定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2)，则an是等比数列(2)中项公式法：若数列a

7、n中an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均为不为0的常数，nN*)，则an是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列需要说明的是：对于第一、二种方法适用于任何题型，强调推理过程，而第三、四种方法适合于选择、填空题，强调结论的应用，若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可2解决与等比数列有关问题的常见思想方法：(1)函数思想：在等比数列an中，anqn，它的各项是函数yqx图象上的一系列孤立的点(2)方程思想：准确分析a1，q，an

8、，Sn，n之间的关系，通过列方程 (组)可做到“知三求二”(3)分类讨论思想：无论是等比数列的前n项和公式的给出，还是等比数列单调性的划分都体现了分类讨论思想的具体运用 (4)类比思想：等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广(5)整体思想：等比数列an的前n项和公式Snqn(q1)，常把视为一个整体，其前n项和公式可写成Snkkqn，k(q1)的形式，这对于解答选择题、填空题是很有帮助的【考点模拟】一扎实基础1.已知正数数列是等比数列，若，则公比q=（ ）A2 B C D【答案】A【解析】.2.设数列a

9、n是以2为首项，1为公差的等差数列，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则 等于（ ）A. 78B. 84C. 124D. 1263.各项均为正数的等比数列的前n项和为，若2，14，则等于（ ）A80 B30 C26 D164.已知在等比数列中， ，则该等比数列的公比为（ ）A.B.C.2D.85.在正项等比数列中，和为方程的两根，则( )(A)16 (B)32 (C)64 (D)256.选C.6.在正项等比数列中，已知，则（ ）A. 11B. 12C. 14D. 167. 在等比数列中，若a3=9，a7=1，则a5的值等于（ ）A3或3 B3 C3 D不存在8.设数列（ ）A若，则为等比数

10、列B若，则为等比数列C若，则为等比数列D若，则为等比数列D若9.在等比数列中，则公比 ， .10. 等比数列中，则等于 .二能力拔高11.在等比数列中,若,则 （ ）A B C D 【答案】D【解析】由，所以，故选D12.在正项等比数列中， ,则的值是 ( )A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 1013.已知为等比数列的前n项和，为数列的前n项和，若，则等于（ ）A B C D14.已知数列为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则等于( )A B C D15.等比数列中，公比，记（即表示数列的前项之积）， ，中值为正数的个数是（ ）A B C D 16.已知数列为

11、等比数列，则的值为（ ）A B C D 17. 已知是等比数列, ，则的取值范围是（ ）A. 12,16)B.8,16)C. D. 【答案】C【解析】依题意知，.18.设等比数列的前n项积为，（），已知，且，则m= .19.已知在公比不等于1的等比数列中，成等差数列.（1） 求证：成等差数列；（2） 若，数列的前项和为，求证：解得(舍去)，=-. (10分)= =2 . (12分)20.各项均为正数的数列前项和为,且. (1)求数列的通项公式;(2)已知公比为的等比数列满足，且存在满足,求数列的通项公式.三提升自我21. 已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中 都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则 【答案】5n-3【解析】以及，则，是大于1的正整数得a=222. 已知，把数列的各项排列成如下的三角形状， 记表示第行的第个数，则=（ ） A. B. C. D.23. 已知等比数列满足，且是，的等差中项.（）求数列的通项公式；（）若，求使 成立的正整数的最小值.24.（本小题满分12分）已知数列的前n项和Sn满足（1）求数列的前三项a1，a2，a3；（2）求证：数列为等比数列，并求出的通项公式.25.设数列满足：点均在直线上.（I）证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式;（I