2012年信息科学10级数学模型课程设计

1、两周的课程设计分两部分：数学模型课程实验与数学模型课程设计数学模型课程实验要求1. 每人单独完成五个题目。2. 答题时可以使用任何外部资源（如图书馆、计算机、软件包、书籍等）。3. 答题时间：2012年5月20日2011年6月15日.4. 答卷以课程实验报告的形式提交打印稿，给出主要结果及程序。5书写格式参照课程实验报告。数学模型课程设计要求1. 三人为一组完成一个题目。2. 答题时可以使用任何外部资源（如图书馆、计算机、软件包、书籍等），但不可以与本组外的人商量。3. 答题时间：2012年6月15日2012年6月22日.4. 答卷以科研论文的形式提交，论文内容大体包括：300字左右的摘要，问

2、题重述与分析（或引言），假设，建模，求解，分析，检验（模拟仿真），参考文献等。5论文书写格式如下论文书写格式的若干规定一 论文封面的规定：论文的封面使用统一的封面样式（见下页），A4大小。二 论文书写格式纸张的规定论文（指摘要和正文），小四宋体，1.25倍行距，用A4纸打印。三 论文的摘要：1. 论文的第一部分必须是论文摘要（300字左右的摘要），用单独一页书写，放在封面后正文前。2. 摘要中把论文的主要内容及特点充分表达出来。四 论文主要部分的内容：1. 要阐述题目，假设，分析，建模，解模和结果的全过程。2. 对模型的检验及模型的优缺点和发展前景也要有所表述。五 论文附加部分的内容：1. 有

3、关计算过程的详细资料（例如程序和图表等）。2. 作者认为需要交代的其他资料（例如参考文献等）。六 论文打印要求：论文打印稿要求有课程设计封面，和论文正文两部分。注：论文要同时交书面和电子版的！资料查询方式1. 图书馆数字书查阅2. 外部资源利用（Google搜索，其它学校网站）数学模型课程实验选题1、已知如下点列，求其回归直线方程，并计算最小误差平方和x0.10.110.120.130.140.150.160.170.180.20.210.23y4243.54545.54547.54953505555602、合金强度y与其中含碳量x有密切关系，如下表x0.100.110.120.130.140

4、.150.160.170.180.200.210.23y42.041.545.045.545.047.549.055.050.055.055.560.5根据此表建立y(x)。并对结果作可信度进行检验、判断x对y影响是否显著、检查数据中有无异常点、由x的取值对y作出预测。3、 某厂生产的某产品的销售量与竞争对手的价格x1和本厂的价格x2有关。下表是该产品在10个城市的销售记录。x1120140190130155175125145180150x210011090150210150250270300250y(个)10210012077469326696585试建立关系y(x1，x2)，对结果进行检验

5、。若某城市本厂产品售价160（元），对手售价170（元），预测此产品在该城市的销售量。4、某厂的产品15个地区销售，各地区人口数平均每户总收入等于有关资料如下表。试求销售量关于人数及每户总收入的回归方程。销售量y（箱）16212022313167人口数 (千人)27418037520586每户总收入 (元)24503254380228382347销售量y（箱）11655252232144人口数 (千人)19553430372236每户总收入 (元)21372560402044272660销售量y（箱）16981192103212人口数 (千人)26598330157370每户总收入 (元)37

6、8230082450208826055、甲，乙两个粮库要向A.B两镇运送大米。已知甲库可调出100t大米，乙库可调出80t大米，A镇需70t大米，B镇需110t大米。两库到两镇的路程和运费如下表 路程/km 运费/(元.t-1.km-1) 甲库 乙库 甲库 乙库 A镇 20 15 12 12 B镇 25 20 10 8 （1）这两个两库各运往A B两镇多少t大米,才能使运费最省？此时运费多少？（2）最不合理的调运方案是什么？它使国家造成的损失是多少？6、某工厂在计划期内要安排生产I 、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台数及A、B两种原料的消耗，如下表所示。III设备128台数原材料A4

7、016kg原材料B0412kg该工厂每生产一件产品I可获利 2 元，每生产一件产品II可获利 3 元，问应如何安排生产计划使工厂获利最多？7、电视台为某个广告公司特约播放两套片集。其中片集甲播映时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万，片集乙播映时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万。广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于80分钟的节目时间。电视台每周应播映两套片集各多少次，才能获得最高的收视率？8、假定一个成年人每天需要从食物中获取3000卡路里热量，55克蛋白质和800毫克钙。如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含热量和营养成份以

8、及市场价格如下表所示。试建立满足营养的前提下使购买食品费用最小的数学模型。序号食品名称热量(卡路里)蛋白质(克)钙(mg)价格(元)1猪肉100050400102鸡蛋8006020063大米9002030034白菜2001050029、某公司有一批资金用于4个工程项目的投资，其投资各项目时所得的净收益如下表：工程项目ABCD收益(%)1510812由于某种原因，决定用于项目A的投资不大于其他各项投资之和而用于项目B和C的投资要大于项目D的投资。试建立该公司收益最大的投资分配方案的数学模型。10、某城市110巡警大队要求每天各个时间段都有一定数量的警员值班，随时处理突发事件，每人连续工作6小时。

9、下表是一天8班次所需值班警员的人数统计。在不考虑时间段中间有警员上班和下班的情况下，该城市110巡警大队至少需多少警员才能满足值班要求？班次时间段人数班次时间段人数16:00-9:0070518:00-21:008029:00-12:0080621:00-24:00100312:00-15:0065724:00-3:00120415:00-18:009083:00-6:009011、求下列非线性规划问题12、某地7个村庄之间的现有交通道路如下图所示，各村庄之间的道路长度如图.试求各村之间的最短距离.数学模型课程设计选题网球赛制改革问题目前网球规则规定：发球。在这时比赛前，需要确定比赛由谁先发球

10、。这个比赛中，双方球员轮流发球，发球员在发球前应先站在端线后，中点和边线的假定延长线之间的区域里。发出的球应从网上越过，落在对角的对方发球区内。每局开始先从右区端线后发球，得或失一分后，应换到左区发球，以此类推。通常发球是将球向空中任何方向抛起，在球落地之前用球拍击球；不过，也可以使用臂下发球。而且规定发球有两次机会，即第一次发球失误后不计分，还有第二次机会。赢得比赛：在3盘赛中，是先赢得2盘者为优胜者，即为3盘2胜；在5盘比赛中，是先赢得3盘者为优胜者，即为5盘3胜；决胜局（抢7局）：在决胜局中，要本该轮到发球的球员先发第一分球，对手接着发第2,3分球，然后双方轮流发2分球。先得7分的球员若

11、至少领先对方2分，那么他就赢得该轮比赛。每6分球和决胜局结束都要交换场地，不过也有例外，如果按照事先的约定，比赛采取长盘制，则没有决胜局，只有比对方多胜2局才能赢得比赛。在亚特兰大的比赛中，澳大利亚的双伍兄弟曾在半决赛中与对手战成18:16的高比分，最终双伍兄弟赢得比赛。有人认为规定两次发球机会不合理，这对身体高力量大的运动员更有利。还有就是，电视转播问题及天气炎热等问题，你认为5盘3胜制好还是3盘2胜好。专家认为：规则改变的实践效果的检验标准是三个有利于：要有利于运动的推广，有利于形成对抗激烈、场面精彩的比赛，有利于它的市场开发和赞助商利益。（1） 试对5盘3胜制好还是3盘2胜作定量的比较分

12、析；（2） 试对两次发球机会与只有一次机会作定量的比较分析；（3） 综合评价及建议。弹性梁的形状分析 有一均匀的薄板状的弹性梁, 不受力(包括重力)时状态为平板, 左端水平地嵌入墙体内固定, 设梁在墙外部分的中性线只会受力弯曲而其长度L不变. 设中性线的左端点坐标为(0,0), 纵坐标向下为正. 梁有可能与地面(物理上光滑的水平面)接触. 记中性线的右端点的纵坐标值Y=H>0. 图1为正视图, 图中实线为梁的中性线, 点划线满足 Y=H. 设重力加速度为 g>0, 梁的线密度为 D, 梁在静态平衡时中性线满足公式: K = M/EI. (K 是梁的中性线的曲率,M 是弯曲力矩，EI

13、为梁的截面抗弯刚度). 问题是： 1. 为避免物理单位的选择对数值结果的影响, 以 L 为特征长度, 建立确定梁静态平衡时中性线的无量纲化的数学模型. 比如参数 新变量 x=X/L，y=Y/L，k=KL，及当梁与地面接触时梁对地面的压力与墙外梁重力 gDL 之比值(记为 1-p)等都是无量纲的量. 2. 对中性线的几何形状作定性分析，比如中性线的斜率、曲率、拐点等与参数的关系等展开研究. 3. 设 a=24，h=1/4时仍在梁的弹性限度之内. （1）确定该梁是否与地面接触. （2）画出中性线图像(要求x与y 轴的单位长度相等，y 轴正向向下); （3）求中性线上 k 的最大、最小值及所在点的

14、x，y 坐标; （4）求 p 的值及中性线上 k=0 的点的集合; 图1(纵坐标（Y）向下为正方向，仅为示意图，不一定是实际形状) 容器的设计问题 (1).要设计一个上无盖的圆锥台形状的容器， 上半径为 R, 下半径为 r < R, 高为h. 求容积为一正常数的条件下, 使该容器的表面积达到最小时的两个比值、的精确值(用整数的有限次四则及根式运算的最简形式表示)及它们精确到 20位有效数字的近似值. (2). 要设计一个上无盖的容器，是一个半径为 R 高为 H 的圆柱面放在一圆锥台上组成的. 圆锥台的上半径为 R, 下半径为 r<R, 高为 h. 求容积为一正常数的条件下，使该容器

15、的表面积达到最小的三个比值、的精确值(意义同题(1) 及它们精确到 20 位有效数字的近似值.(3). 要设计一个上无盖的容器，是一个高为H, 上半径为 L，下半径为R<L的圆锥台放在高为h, 上半径为R, 下半径为r<R的圆锥台上组成的. 求容积为一正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小时的四个比值 精确到 20 位有效数字的值.一个产品的质量控制与成本核算问题某厂计划大规模生产的一种产品由零件 A 及零件 B 组成, 设零件 A 的参数X>0值与零件 B 的参数 Y>0 是独立的均匀分布的随机变量，产品的参数Z=f(X,Y)=XY 的目标值是 1.当产品参数值 Z 与目标值 1 的偏差 Z - 1 在，( =1/100)之内时是正品; 偏差在 到 之间时是次品，=2/100; 偏差在之外是废品.正品的市场价单价是 P1=4000(元),次品的市场价单价是P2=3000(元), 不算加工费时各种成本折算后每件的成本为 P3=2000(元).为了成本核算,考虑付了加工费后是否值得生产. 若用相对精度为 k, (0<