六种方法求二面角的大小

1、精选优质文档-倾情为你奉上六种方法求二面角的大小 河北省武邑县职教中心 李凤迎 李洪涛 求二面角的大小是高考立体几何题中的重要题型，它几乎涉及到了立体几何中的所有知识点，考查到了所有思想和方法，具有很强的综合性.我们要根据题目环境条件的不同灵活地采用适当的方法.下面总结一下二面角的常见求法，以供大家学习和参考.一、定义法例1. 在三棱锥中，求二面角的大小. 分析 因为和是有公共边的等腰三角形，此时宜采用“定义法”.解答 取的中点，连接、，因为、分别为等腰和的中线，所以，则即为所求二面角的平面角.设，则，在中，因为，即，所以，所以二面角大小为.说明 当二面角的两个面是有公共边的等腰三角形和矩形的

2、组合时，可采用“定义法”；当二面角的两个面是关于公共边对称的两个全等三角形时，同时取公共边上的高，由定义可作出二面角的平面角.变式训练1 （2008年高考题）在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，, ,. 设侧面为等边三角形，求二面角的大小.二、三垂线定理法例2. 在三棱锥中，面面.（1）求证：；（2）求二面角的大小.分析 由（1）中可知，此时宜采用“三垂线定理法”作出二面角的平面角.只需过作于，过作于，连接，则即为所求.解答 （1）略. （2）过作于，过作于，连接.因为，所以，则为斜线在面内的射影.又因为，所以（三垂线定理），则即为所求.设，则.在中，在中，由得，所以，又因为，所以，则在中，所以

3、，即二面角的大小为.说明 当题目中有一条从一个半平面内的一点到另一个半平面的垂线段时，可采用“三垂线定理法”.垂线段可由题目中的线面垂直、面面垂直等条件作出.变式训练2 如图，三棱柱，底面是边长为的正三角形，点在底面上的射影恰是的中点.若侧棱和底面所成的角为时，求二面角的正切值.三、垂面法例3. 已知为二面角内一点，于，于，且，若，则二面角的度数为_.分析 由已知得.设，连接，则，则即为二面角的平面角，且.要想求，只需由的面积公式求出即可.解答 因为，所以，所以或，又因为，从而或.说明 可作为结论使用.若给出的三边，则可通过余弦定理求出的度数.变式训练3 已知为二面角内一点，于，于，且，则二面

4、角的度数为_. 四、面积射影法例4. 在三棱锥中，分别为、的重心，若，则二面角的大小为_.分析 易证，则，则的射影为，此时宜采用“面积射影法”.解答 设二面角为，因为分别为、的重心，则可得，所以.又因为，所以.因为，所以.说明 当题目中涉及斜面三角形面积和相应射影三角形面积时，可采用“面积射影法”求二面角的大小. 变式训练4 若一正四棱锥的表面积与其底面积满足关系式，则其侧面与底面所成的二面角的范围是_.五、三正弦定理法例5. （2012年全国新课标卷）在直三棱柱中，是棱的中点，.（1）证明：；（2）求二面角的大小.分析 考察面内的直线，易求，即；取的中点，则，则即为直线与所成的角，且，即，最

5、后代入公式即可求出二面角的大小.解答 因为和均为等腰直角三角形，所以.又因为，所以，从而，即；取的中点，连接，则.又因为，所以，则即为直线与所成的角.设，则，因为，即.由得，又据题意知所求二面角为锐二面角，所以.说明 当其中一个半平面内的一条直线与另一个半平面、二面角的棱所成的角的正弦值容易求出时，可采用“三正弦定理法”.变式训练5 如图，平面角为锐角的二面角，若，若与所成的角为，则该二面角的大小为_.六、向量法例6. 题目同例5.分析 由（1）可证，则，所以两两互相垂直，此时可以采用“向量法”求二面角的大小. 解答 (1) 略. （2）建立如图所示的空间直角坐标系.设所求二面角为，平面的法向量为，又因为，则，即，取，则，所以；同理设平面的法向量为，取的中点，则可知，所以取，又因为，由题意知所求二面角为锐二面角，所以.说明 向量法又俗称“万能法”.当题目中出现三条线段具有或可以证明存在两两互相垂直的位置关系时，可采用“向量法”.但计算时一定要认真，并且要根据所求二面角是锐二面角