71常数项级数的概念和性质

1、 第七章第七章 第一节第一节机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 常数项级数的概念常数项级数的概念设有无穷数列设有无穷数列,321nuuuu称和式称和式 1321nnnuuuuu(1)为为(常数项常数项)无穷级数无穷级数, ,简称为简称为级数级数. .其中其中nu称为级称为级数的数的一般项一般项或或通项通项. .级数级数(1)的前的前n项的和项的和 niinnuuuus121(2)称为级数称为级数(1)的前的前n项项部分和部分和. .时时, ,当当 依次取依次取n3 , 2 , 1它们构成一个新的数列它们构成一个新的数列,ns即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返

2、回返回 结束结束 常数项级数的概念常数项级数的概念时时, ,它们构成一个新的数列它们构成一个新的数列,ns即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 常数项级数的概念常数项级数的概念时时, ,它们构成一个新的数列它们构成一个新的数列,ns即即ns数列数列称为称为部分和数列部分和数列. .定义定义 如果级数如果级数 1nnu的部分和数列的部分和数列ns存在极限存在极限, s即即,limssnn 则称无穷级数则称无穷级数 1nnu收敛收敛, ,极限极限s称为称为级数级数 1nnu的和的和, ,并写成并写成 nuuus21如果如果ns没有极限没有极限, ,则称无穷级数则称无穷级数

3、 1nnu发散发散. .,11us ,212uus ,21nnuuus ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 常数项级数的概念常数项级数的概念如果如果ns没有极限没有极限, ,则称无穷级数则称无穷级数 1nnu发散发散. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 常数项级数的概念常数项级数的概念如果如果ns没有极限没有极限, ,则称无穷级数则称无穷级数 1nnu发散发散. .发散发散, ,如果级数如果级数 1nnu收敛于收敛于, s则部分和则部分和, ssn 们之间的差们之间的差 21nnnnuussr(3)称为级数的称为级数的余项余项. .显然有显

4、然有, 0lim nnr而而是用是用|nrns近似代替近似代替 所产生的所产生的误差误差. .s注注: :按定义按定义, ,级数级数 1nnuns与数列与数列同时收敛或同时同时收敛或同时它它机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1 讨论级数讨论级数.)1(1.321211 nn的收敛性的收敛性. .解解nu)1(1 nn,111 nn)1(1.321211 nn 111.3121211nn.111 n所以所以nns lim 111limnn, 1 即题设级数收敛，即题设级数收敛，ns其和为其和为1.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2 证

5、明级数证明级数 n321是发散的是发散的. .证证级数的部分和为级数的部分和为nsn 321,2)1( nn,lim nns显然，显然，故题设级数发散故题设级数发散. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3 讨论等比级数讨论等比级数(又称为几何级数又称为几何级数) 0nnaq)0.(.2 aaqaqaqan的收敛性的收敛性. .解解 当当, 1 q有有ns12. naqaqaqa.1)1(qqan 若若, 1 q有有, 0lim nnq则则limnns.1qa 若若, 1 q有有,lim nnq则则limnns. 若若, 1 q有有,nasn 则则limnns.

6、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3 讨论等比级数讨论等比级数(又称为几何级数又称为几何级数) 0nnaq)0.(.2 aaqaqaqan的收敛性的收敛性. .解解 若若, 1 q则级数变为则级数变为,)1(121na 个个nnaaaaa1)1(. ns易见易见limnns不存在不存在. . 综上所述综上所述, ,等比级等比级数收敛数收敛, , 且且.2 naqaqaqa.1qa 当当1 q时时,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3 讨论等比级数讨论等比级数(又称为几何级数又称为几何级数) 0nnaq)0.(.2 aaqaqaqan的

7、收敛性的收敛性. .解解综上所述综上所述, ,等比级等比级数收敛数收敛, , 且且.2 naqaqaqa.1qa 当当1 q时时,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3 讨论等比级数讨论等比级数(又称为几何级数又称为几何级数) 0nnaq)0.(.2 aaqaqaqan的收敛性的收敛性. .解解 综上所述综上所述, ,等比级数收敛等比级数收敛, 且且.2 naqaqaqa.1qa 当当1 q时时,注注: : 几何级数几何级数是收敛级数中最著名的一个级数是收敛级数中最著名的一个级数. . 它在它在数展开为无穷级数等方面都有广泛而重要的应用数展开为无穷级数等方面都有广泛

8、而重要的应用.求无穷级数的和以及将函求无穷级数的和以及将函判断无穷级数的收敛性、判断无穷级数的收敛性、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 性质性质 1 如果级数如果级数、 1nnu 1nnv分别收敛于和分别收敛于和，、BA则对任意常数则对任意常数，、 级数级数 1)(nnnvu 收敛收敛, ,且且.)(1BAvunnn 证证设级数设级数、 1nnu 1nnv及及 1)(nnnvu 的部分和的部分和分别为分别为nnBA 、及及,ns则则)()()(2211nnnvuvuvus )()(2121nnvvvuuu 收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质机动机动 目录目录 上页上

9、页 下页下页 返回返回 结束结束 )()(2121nnvvvuuu 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )()(2121nnvvvuuu nnBA 于是于是)(limlimnnnnnBAs 11nnnnvuBA 因此因此 1)(nnnvu 收敛收敛, ,且且 111)(nnnnnnnvuvu .BA 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 性质性质 2 在级数中去掉、在级数中去掉、 加上或改变有限项加上或改变有限项, ,不会不会改变级数的收敛性改变级数的收敛性. .证证 这里只证明这里只证明“改变级数的前面有限项不会改改变级数的前面有限项不会改变级数

10、的收敛性变级数的收敛性”, , 其它两种情况容易由此结果其它两种情况容易由此结果设有级数设有级数 nkknnuuuuuu1211(1)若改变它的前有限项若改变它的前有限项, ,得到一个新的级数得到一个新的级数 nkkuuvvv121(2)推出推出. .设级数设级数(1)的前的前 项和为项和为n,nA,21auuuk 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设级数设级数(1)的前的前 项和为项和为n,nA,21auuuk 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设级数设级数(1)的前的前 项和为项和为n,nA,21auuuk 则则nknuuaA 1设级数设

11、级数(2)的前的前 项和为项和为n,nB,21bvvvk 则则nkknuuvvvB 121bauuuuunkk 121baAn 于是于是, ,数列数列nAnB与与具有相同的收敛性具有相同的收敛性, ,即级数即级数(1)与与(2)具有相同的收敛性具有相同的收敛性. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 性质性质 3 在一个收敛级数中在一个收敛级数中, ,任意添加括号所得到任意添加括号所得到的新级数的新级数证证 设级数设级数,1sunn 其部分和为其部分和为.ns将这个级数的将这个级数的项任意加括号项任意加括号, ,所得的新级数为所得的新级数为 )()(21111nnnuu

12、uu设它的前设它的前k,k 项和为项和为则则 )()(21111nnnkuuuu 仍收敛于原来的和仍收敛于原来的和. . )(11kknnuu.1 kk 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )()(21111nnnkuuuu 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )()(21111nnnkuuuu 于是于是,limlimssknkkk 所以所以 1kk 收敛收敛, ,且且.1skk ).(11kknnuu 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注注: :性质性质3成立的前提是级数收敛成立的前提是级数收敛, ,否则结论不成否则结

13、论不成如级数如级数 111)1(1111)1(nnn是发散的是发散的, , 但加括号后所得到的级数但加括号后所得到的级数 )11()11()11(是收敛的是收敛的. .立立. .推论推论 1如果加括号后所成的级数发散如果加括号后所成的级数发散, ,则原来则原来机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 推论推论 1如果加括号后所成的级数发散如果加括号后所成的级数发散, ,则原来则原来机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 推论推论 1如果加括号后所成的级数发散如果加括号后所成的级数发散, ,则原来则原来级数也发散级数也发散. .证明证明 设设,1sunn 其

14、部分和为其部分和为,ns则由则由得得,1 nnnssu. 0limlimlim1 ssssunnnnnn性质性质 4若级数若级数 1nnu收敛收敛, ,则则. 0lim nnu注注: : 性质性质4表明表明: :级数的一般项趋于零是级数收敛级数的一般项趋于零是级数收敛的必要条件的必要条件. .其逆否命题为其逆否命题为: : 若级数的一般项不趋若级数的一般项不趋机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注注: : 性质性质4表明表明: :级数的一般项趋于零是级数收敛级数的一般项趋于零是级数收敛的必要条件的必要条件. .其逆否命题为其逆否命题为: : 若级数的一般项不趋若级数的一

15、般项不趋机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注注: : 性质性质4表明表明: :级数的一般项趋于零是级数收敛级数的一般项趋于零是级数收敛的必要条件的必要条件. .其逆否命题为其逆否命题为: : 若级数的一般项不趋若级数的一般项不趋于零于零, ,则级数发散则级数发散. .这个结论可用于判断级数的发这个结论可用于判断级数的发散性散性. .例如例如, ,级数级数因其一般项因其一般项,1 nnun n当当时不趋于零时不趋于零, ,因此该级数是发散的因此该级数是发散的. .,1433221 nn机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注意注意:0limnnu并

16、非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如例如, 调和级数调和级数nnn13121111虽然虽然，01limlimnunnn但此级数发散但此级数发散 .事实上事实上 , 假设调和级数收敛于假设调和级数收敛于 S , 则则0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但但nnSS2矛盾矛盾! 所以假设不真所以假设不真 .21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4 1)1(121nnnn求级数求级数的和的和. .解解 根据等比级数的结论根据等比级数的结论, , 知知 121nn. 1 21121 而而 1)1(1nnn, 1 所以所以 1)1(121nnn

17、n11112(1)nnnn n2.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5 设级数设级数 1nnu收敛，收敛， 1nnv发散，发散，证明：证明： 1)(nnnvu发散发散. .证证 用反证法用反证法, , 已知已知 1nnu收敛收敛, , 假定假定 1)(nnnvu收敛收敛, ,nnnuvu )(nv由由 1nnv收敛收敛, , 这与题设矛盾这与题设矛盾, ,所以级数所以级数 1)(nnnvu发散发散. .与 级 数 性 质 得 知与 级 数 性 质 得 知机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6 判别级数判别级数.10121.1021211

18、01212 nn是否收敛是否收敛. .解解 将所给级数将所给级数得到新级数得到新级数. )10121(1 nnn因为因为 121nn收敛，收敛，而级数而级数 1101nn 11101nn发散，发散， 1)10121(nnn所以级数所以级数发散，发散， 根据性质根据性质3的推论的推论1，每相邻两项加括号每相邻两项加括号去括号后的级数去括号后的级数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6 判别级数判别级数.10121.102121101212 nn是否收敛是否收敛. .解解因为因为 121nn收敛，收敛，而级数而级数 1101nn 11101nn发散，发散， 1)10121(nnn所以级数所以级数发散，发散， 根据性质根据性质3的推论的推论1，去括号后的级数去括号后的级数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6 判别级数判别级数.10121.102121101212 nn是否收敛是否收敛. .解解 因为因