理论力学第二章

1、 第二章 平面汇交力系和平面力偶系2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法一一. .平面汇交力系合成的几何法平面汇交力系合成的几何法力多边形法则力多边形法则211RFFF3131R2RiiFFFFiniiFFF1R力多边形力多边形力多边形法则：力多边形法则：平面汇交力系合成时，各分力沿同一方向首尾相接，合力沿反方向构成封闭边。二二. .平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的充要条件：平面汇交力系平衡的充要条件：0iF平面汇交力系平衡的几何条件：平面汇交力系平衡的几何条件：该力系各分力组成的力多边形自行封闭该力系各分力组成的力多

2、边形自行封闭例例2.1 已知AC=CB，P=10kN，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。支架的横梁AB与斜杆DC以铰链C相连，并以铰链A、D连接于铅直墙上。杆DC与水平线成45角，梁和杆的重量忽略不计。解：解：(1)取AB为研究对象，受力分析，所受的三个 力应组成一封闭的力三角形。(2)选取比例尺，作封闭的力三角形。(3)从图上量得长度(或按几何关系计算)，按比换算得：FA=22.4kN，FC=28.3kN， 由作用 反作用关系知，DC杆受压，压力大小为28.3kN。三三. .平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法1.1.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解力在坐标轴上的投影与力沿轴的分

3、解FR=FRx+FRy=FRxi+FRy j2.2.合矢量投影定理合矢量投影定理合矢量投影定理：合矢量投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。 即：FRx=Fx1+Fx2+Fxn =Fx FRy=Fy1+Fy2+Fyn =Fy3.3.平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法由合力矢投影定理得：由合力矢投影定理得：ixxFFRiyyFFR合力矢的大小为：合力矢的大小为：2R2RRyxFFFRR),cos(FFiFixRR),cos(FFjFiy合力矢的方向：合力矢的方向：作用点为力的汇交点作用点为力的汇交点. .例例2.2 求平面汇交力系的合力解：解：1、投影F

4、Rx=Fxi=F1cos30-F2cos60-F3cos45+F4cos45=129.3NFRy=Fyi=F1cos60+F2cos30-F3cos45-F4cos45=112.3N合力大小: 合力的方向：cos（FR，i）= FRx/FR=129.3/171.3=0.754， =41 cos（FR，j）= FRy/FR=112.3/171.3=0.6556， =492、合力N3.1712R2RRyxFFF四四. .平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程平衡条件：平衡条件：0RF 0 xF 0yF平衡方程：平衡方程：例例2.3 压榨机自重不计，AB=BC，F=3kN，h=200mm，l=

5、1500mm。求压块C对工件与地面的压力。解：解：1、取DB研究，受力分析如图，列平衡方程。 Fx=0， FBA cos- FBCcos=0 Fy=0， -F+ FBA sin+ FBCsin=0sin=解得： FBA =FBC=F/2sin=11.35kN2、取压块C研究，受力分析如图。列平衡 方程由BC杆平衡，知FCB=FBC。 Fx=0， FCB cos- FCx=0 Fy =0， -FCBsin+ FCy=0解得：FCx=11.25kN，FCy=1.5kN压块C对地面的压力为1.5kN，向下；压块C对工件的压力为11.25kN，向右。2-2-2 2 平面力对点之矩、平面力偶平面力对点之

6、矩、平面力偶一一. .力对点之矩（力矩）力对点之矩（力矩）力对刚体的作用效果力对刚体的作用效果移动（力矢）移动（力矢）转动（力矩）转动（力矩）力矩作用面，力矩作用面，O称为矩心，称为矩心， O到力的作到力的作用线的垂直距离用线的垂直距离h称为力臂称为力臂两个要素：两个要素：1.1.大小：力与力臂的乘积大小：力与力臂的乘积 2.2.方向：转动方向方向：转动方向力对点之矩:是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负.常用单位Nm或KNm若以矢量表示：MO（F）= rF力矩大小：MO（F）= rFsin=2AOAB力矩方向：垂直平面，按右手法

7、则， 逆时针向上，为正， 顺时针向下，为负。二二. .合力矩定理与力矩的解析表达式合力矩定理与力矩的解析表达式1、合力矩定理、合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。MO(FR)=MO(Fi) 证：证：FR=F1+F2+Fn rFR= rF1+ rF2+ rFn MO(FR)=MO(Fi)上式适用于任何有合力存在的力系。2、力矩的解析表达式、力矩的解析表达式ixiiyiOiOOxyxOyOOFyFxFMFMFMyFxFFyFxFMFMFM)()()(cossin)()()(RR例例2.4 图示踏板，各杆自重不计，已知：F、l、B点坐标(xB、yB)。

8、求(1)力F对A点之矩；(2)平衡时杆CD的拉力。解：解：(1)求力F对A点之矩 MA(F)=MA(Fx)+ MA(Fy)=FcosyB- FsinxB(2)求杆CD的拉力 取ACB研究，受力分析如图。列平衡方程。 MA(Fi)=0， MA(FA)+ MA(FCD)+ MA(F)=0 0-FCDl + FcosyB- FsinxB=0 解得：FCD=( FcosyB- FsinxB)/ l三三. .力偶和力偶矩力偶和力偶矩1、力偶、力偶 由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作系称为力偶，记作),(FF2、力偶矩、力偶矩两个要素两

9、个要素 a.大小：力与力偶臂乘积大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向方向：转动方向力偶中两力所在平面称为力偶作用面力偶中两力所在平面称为力偶作用面.力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂.力偶矩：M=Fd=2AABC，代数量，逆为正，顺为负。单位：Nm，或kNm力偶不能合成为一个力，或用一个力来等效替换；力偶不能合成为一个力，或用一个力来等效替换；力偶也不能用一个力来平衡。力偶也不能用一个力来平衡。四四. .同平面内力偶的等效定理同平面内力偶的等效定理1、等效定理、等效定理定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。2 2. .力偶在任意坐标轴上的

10、投影等于零力偶在任意坐标轴上的投影等于零. .3 3. .力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 变而改变变而改变. . FdxFxdFFMFMFFMOOO11111,FddFxFxdFFFMO 22,23 3. .只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变的作用效果不变. .=ABDABC？ABDABCABDdFFFM2,1RRRABCFdFFM2,=五五. .平面力偶系的合成和平

11、衡条件平面力偶系的合成和平衡条件1、平面力偶系的合成、平面力偶系的合成同一平面内有两个力偶（F1，F,1）和（F2，F,2） ，力偶臂分别为d1和d2，力偶矩分别为M1和M2。（F1，F,1）和（F2，F,2）等效（F3，F,3）和（F4，F,4） 力臂d相同合力偶（F，F, ）dFdFM3111证明：证明：dFdFM422243FFF43FFF 214343MMdFdFdFFFdMiMM平面内任意力偶可以合成一个合力偶，该合力偶等于各个力偶矩的代数和，即：2、平面力偶系的平衡条件、平面力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的充要条件：所有各力偶矩的代数和等于零平面力偶系平衡的充要条件：所有各力偶矩的

12、代数和等于零. .0M0iM例例2.5已知：已知：M1=M2=10 Nm，M3=200 Nm，l=200 mm。求：。求： 光滑螺柱光滑螺柱AB 所受水平力所受水平力. 0M0321MMMlFA解：由力偶只能由力偶平衡的性质，其受力图解：由力偶只能由力偶平衡的性质，其受力图解得：解得：FA ， FB 2-2-3 3 平面任意力系的简化平面任意力系的简化一、力的平移定理一、力的平移定理定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力 F 对新作用点B的矩.FdFMMBB)(二、平面任意力系向作用面内一点简化、主矢和主矩二、平面任意力系向作用

13、面内一点简化、主矢和主矩1111()OFF MMF2222()OFFMMF()nnnOnFFMMF iiFFFR)(iOiOFMMM主矢主矢)(iOOFMM主矩主矩iFFR主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关. .RxixixxFFFFRyiyiyyFFFF主矢大小主矢大小22R()()ixiyFFF 方向方向RRcos( , )ixFFiFRRcos( , )iyFFjF作用点作用点作用于简化中心上作用于简化中心上主矩主矩)(iOOFMM三、固定端约束三、固定端约束=四、平面任意力系的简化结果分析四、平面任意力系的简化结果分析0RF0OM1

14、、四、平面任意力系的简化结果分析四、平面任意力系的简化结果分析0RF0OM1、四、平面任意力系的简化结果分析四、平面任意力系的简化结果分析0RF0OM1、0RF2、0OMRFMdOdFMORFFFRR)()(RiOOOFMMFM0RF3、0OM若为若为O1 1点，如何点，如何? ?主矩与简化中心的位置无关主矩与简化中心的位置无关0RF4、0OM（平衡）（平衡）已知已知: :1450kN,P 2200kN,P 1300kN,F kN701F例例2.62.6求：力系向求：力系向O点的简化结果；点的简化结果； 合力与合力与OA的交点到点的交点到点O的距离的距离x； 合力作用线方程。合力作用线方程。

15、解：解：（1 1）主矢：）主矢：12122cos232.9kNsin670.1kNxyFFFFPPF 22R()()709.4kNxyFFFRRRRcos(, )0.3283,cos(, )0.9446yxFFFiFjFF RR(, )70.84 ,(, )18019.16FiFj 主矩：主矩：112( )31.53.92355kN mOOMMFFPP （2 2）求合力及其作用线位置：）求合力及其作用线位置：003.514mcos 9070.84dx （3 3）求合力作用线方程：）求合力作用线方程：RRRRROOyxyxMMFx Fy Fx Fy F2355670.1232.9xy607.12

16、32.923550 xy2-2-4 4平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系平衡的充要条件是：平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零力系的主矢和对任意点的主矩都等于零)()()(22RiOOyxFMMFFF因为因为1.1.平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件0RF0OM2 2. .平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代

17、数和也等于零及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零. .000 xyOFFM一般式一般式二矩式二矩式000BAxMMF两个取矩点连线，不得与投影轴垂直两个取矩点连线，不得与投影轴垂直000CBAMMM三个取矩点，不得共线三个取矩点，不得共线三矩式三矩式3 3. .平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 0 xF0000 0 xF0coscoscos321FFF 0yF0sinsinsin321FFF两点连线不得与各力平两点连线不得与各力平行行00BAMM各力不得与投影轴垂直各力不得与投影轴垂直00AyMF平面平行力系的方程为两个，有两种形式平面平行力系的方程为两个，有两种形式例例2.72

18、.7已知：已知：110kN,P 240kN,P 尺寸如图。尺寸如图。解：解：取起重机，画受力图取起重机，画受力图. . 0 xF 0yF0AM 0AxBFF120AyFPP125 1.53.50BFPP 解得解得50kNAyF31kNBF 31kNAxF求：求：轴承轴承 处的约束力处的约束力. .BA,其中其中113302FqlkN 0 xF0AM 0yF060cosFPFAy0360sin60cos1lFlFlFMMA316.4kNAxFkN300AyFmkN1188AM060sin1FFFAx例例2.82.8已知：已知：m1,kN400,mkN20,mkN20,kN100lFqMP求：求：

19、 固定端固定端A处约束力处约束力. .解：解：取取T型刚架，画受力图型刚架，画受力图. .2 2- -5 5 物体系的平衡物体系的平衡静定和超静定问题静定和超静定问题静定问题静定问题：未知量数=独立平衡方程数，所有未知力都能由平衡方程求出。超静定（静不定）问题超静定（静不定）问题：未知量数独立平衡方程数一、静定与超静定一、静定与超静定每个受平面任意力系作用的物体，均可列出三个平衡方程。如物体系由n个物体组成，则共有3n个独立方程。对超静定问题，须考虑物体因受力而产生的变形，加列补充方程，使方程数等于未知量数。须在材料力学和结构力学中研究。二、物体系的平衡问题二、物体系的平衡问题求解求解可以选每

20、个物体为研究对象可先取整个系统研究，再从系统中选取某些物体研究0yF 0cos BFF22cosRlFlFFB 0 xF 0sinN BFF22NtanRlFRFF 例例2.92.9已知：已知：不计物体不计物体自重与摩擦自重与摩擦, ,系统在图示位置平衡系统在图示位置平衡; ;,FlABROA求求: :力偶矩力偶矩M的大小，轴承的大小，轴承O处的约束力，处的约束力，连杆连杆AB受力，冲头给导轨的侧压力受力，冲头给导轨的侧压力. .解解: :取冲头取冲头B , ,画受力图画受力图. .取轮取轮, ,画受力图画受力图. . 0 xF22OxFRFlR 0yFOyFF FRM 0OM0sin AOy

21、FF0cos AOxFF0cos MFA 例例2.102.10 已知已知: : F=20kN,q=10kN/m, ,20kN m,M l=1m;求求: :A,B处的约束力处的约束力. .解解: :取取CD梁梁, ,画受力图画受力图. .0CMsin60cos30202BlFlqlFl FB=45.77kN32.89kNAxF0yF sin602cos300AyBFFqlF2.32kNAyF 0AM22sin60 3cos3040ABMMqllFlFl10.37kN mAM取整体取整体, ,画受力图画受力图. .0 xF cos60sin300AxBFFF2 2- -6 6 平面简单桁架的内力计

22、算平面简单桁架的内力计算桁架桁架：一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后几何 形状不变。节点节点：桁架中杆件的铰链接头。一、桁架一、桁架桁架的优点：桁架的优点：（1）杆件主要受拉力或压力（2）节约材料，减轻结构的重量平面桁架的假设条件：平面桁架的假设条件：（1）桁架的杆件都是直的（2）杆件用光滑的铰链连接（3）桁架所受的力都作用在节点上， 而且在桁架的平面内（4）桁架杆件的重量忽略不计，或者 平均分配在杆件两端的节点上理想桁架理想桁架桁架中每根杆件均为二力杆桁架中每根杆件均为二力杆总杆数总杆数mn总节点数总节点数32 nm32(3)mn32 nm平面复杂（超静定）桁架平面复杂（超

23、静定）桁架32 nm平面简单（静定）桁架平面简单（静定）桁架32 nm非桁架（机构）非桁架（机构）节点法节点法：逐个取节点为研究对象。截面法截面法：只要求计算桁架内某几个杆件的内力，适当的选取一截面，假 象把桁架截开。一、求解桁架内力一、求解桁架内力例例2.112.11已知已知: : P=10kN, ,尺寸如图；尺寸如图；求求: :桁架各杆件受力桁架各杆件受力. .解解: :取整体，画受力图取整体，画受力图. .0 xF 0yF 0BM0BxF042AyFP5kNAyF0PFFByAy5kNByF28.66kNF ( (拉拉) )030cos012 FF0 xF 110kNF ( (压压) )030sin01 FFAy0yF 取节点取节点A，画受力图画受力图. .取节点取节点C，画受力图，画受力图. .0 xF 030cos30cos0104FF0yF 030sin0413FFF410kNF ( (压压) )310kNF ( (拉拉) )取节点取节点D, ,画受力图画受力图. .0 xF 025 FF58.66kNF ( (拉拉) )例例2.122.