研究生数值分析

1、数值分析数值分析第第5 5章章 插值与逼近插值与逼近主讲老师主讲老师: 雷鸣雷鸣 插值与逼近都是指用某个简单函数在满足一插值与逼近都是指用某个简单函数在满足一定条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复定条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复杂或者解杂或者解 析表达式未给出的函数，以便于对后者析表达式未给出的函数，以便于对后者的各种计算或揭示后者的某些性质。的各种计算或揭示后者的某些性质。 第第5章章 插值与逼近插值与逼近1 问题的提出问题的提出 在科学研究和工程计算中，经常要研究变在科学研究和工程计算中，经常要研究变量之间的函数关系，但是在很多情况下，又很量之间的函数关系，但是在很多情况下，

2、又很难找到具体的解析表达式，往往只能通过测量难找到具体的解析表达式，往往只能通过测量或者观察，获得一张数据表，即或者观察，获得一张数据表，即1 代数插值代数插值x0 x1x2xnxy0y1y2yny 这种用表格形式给出的函数，无法求出不在表这种用表格形式给出的函数，无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的分析性中的点的函数值，也不能进一步研究函数的分析性质，如函数的导数及积分等。为了解决这些问题，质，如函数的导数及积分等。为了解决这些问题，我们设法通过这张表格求出一个简单的函数我们设法通过这张表格求出一个简单的函数P(x)( )iiP xy(0,1, )in这种求这种求P(x)的方

3、法称为的方法称为插值法插值法。使使定义定义1 设函数设函数y=f(x)在区间在区间a,b上有定义，且上有定义，且01naxxxb上的值为上的值为01,nyyy，若存在一个简单的函数，若存在一个简单的函数p(x) ，使，使 ()iiP xy(0,1,)in 成立，则称成立，则称p(x)为为 f (x)的插值函数。的插值函数。(0,1, )ix in为为插值节点插值节点；( )iiP xy(0,1, )in为为插值条件插值条件；f(x)为为被插值函数被插值函数;2 插值问题的概念插值问题的概念已知在点已知在点其中其中 , a,b为为插值区间插值区间； 从几何上说，插值法就是求一条曲线从几何上说，插

4、值法就是求一条曲线 y = P(x) 使它通过已知的使它通过已知的 (n+1)个点个点(,)iixy(0,1, )in并取并取( )( )P xf x如图如图 根据不同要求，可以选择不同的插值函数。根据不同要求，可以选择不同的插值函数。其中最简单的一类是多项式插值。多项式插值的其中最简单的一类是多项式插值。多项式插值的基础问题是：基础问题是：根据给出的函数表，求一个不高于根据给出的函数表，求一个不高于 n 次的代数多项式次的代数多项式01( )nnnP xaa xa x()niiPxy(0,1, )in满足插值条件满足插值条件的多项式的多项式，称为函数，称为函数f( (x) )在节点在节点ix

5、(0,1, )in上的上的 n 次插值多项式。次插值多项式。使使 特别当特别当 n =1时，时，所求的一次插值多项式为通所求的一次插值多项式为通过两点的直线，称相应的插值问题为线性插值；过两点的直线，称相应的插值问题为线性插值； 函数插值是计算方法的重要工具，我们常函数插值是计算方法的重要工具，我们常常借助于插值函数常借助于插值函数 P (x) 来计算被插值函数来计算被插值函数 f (x)的函数值、零点和积分等的近似值。的函数值、零点和积分等的近似值。 当当 n=2时，所求的二次插值多项式为通过三点时，所求的二次插值多项式为通过三点的抛物线，称相应的插值问题为抛物线插值。的抛物线，称相应的插值

6、问题为抛物线插值。从插值多项式的定义可知，要求满足从插值多项式的定义可知，要求满足插值插值( )niiP xy的的 n 次插值多项式次插值多项式01( )nnnP xaa xa x只要把只要把代入代入，即可得，即可得 (n+1) 个方程个方程3 插值多项式的存在唯一性插值多项式的存在唯一性条件式条件式 20102000201121112012nnnnnnnnnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xy01,naaa的的n+1元线性方程组元线性方程组 这是关于这是关于其系数行列式其系数行列式是是n+1阶范德蒙德（阶范德蒙德（Vandermonde）行列式，）行列式，由线

7、性代数知识由线性代数知识0()ijnijDxx 因节点互异，故因节点互异，故D0 ，方程组有唯一解。，方程组有唯一解。nnnnnnxxxxxxxxxD212110200111定理定理1 当插值节点互异时，满足插值条件当插值节点互异时，满足插值条件( )niiP xy(0,1, )in的的 n 次插值多项式次插值多项式01( )nnnPxaa xa x存在且唯一。存在且唯一。于是有于是有 我们在讨论插值多项式的存在唯一性时，已经我们在讨论插值多项式的存在唯一性时，已经提供了一种求插值多项式的方法，即通过求解线性提供了一种求插值多项式的方法，即通过求解线性方程组方程组201020002011211

8、12012nnnnnnnnnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xy4 插值多项式的求法插值多项式的求法 由于这种求法计算工作量大，而且不能获得简由于这种求法计算工作量大，而且不能获得简明的表达式，明的表达式，给理论研究和应用带来不便。通常我给理论研究和应用带来不便。通常我们采用的是构造方法，直接构造一个满足条件们采用的是构造方法，直接构造一个满足条件()iiP xy(0,1, )in的的 n 次插值多项式。次插值多项式。下面，我们介绍这种简便实用的方法。下面，我们介绍这种简便实用的方法。的系数的系数ia(0,1, )in来确定插值多项式来确定插值多项式01( )n

9、nnPxaa xa x当当n=0时时20102000201 121112012nnnnnnnnnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xy为为00ay因而因而000( )P xay当当n=1时时，为，为010001 11aa xyaa xy5 基本插值多项式基本插值多项式解得解得001110010010111yxyxx yx yaxxxx 0110101011111yyyyaxxxx因而因而1001101011010( )x yx yyyP xaa xxxxxx01010110 xxxxyyxxxx若令若令 01010110( ),( )xxxxlxlxxxxx则有则

10、有 10 01 1( )( )( )P xy lxy l x这里的这里的0( )lx和和1( )l x可以分别看作满足可以分别看作满足0001()1, ( )0l xl x及及1011()0, ( )1l xl x的一次插值多项式。的一次插值多项式。插值条件插值条件这两个插值多项式称为这两个插值多项式称为一次插值的基本插值多项式一次插值的基本插值多项式。10 01 1( )( )( )P xy lxy l x表明一次插值多项式表明一次插值多项式1( )P x可以通过基本插值多项式可以通过基本插值多项式0( )lx和和1( )l x的线性组合得到，且系数恰为所给数据的线性组合得到，且系数恰为所给

11、数据0y和和1y。表达式表达式现在来讨论现在来讨论n次多项式的插值问题。次多项式的插值问题。为了得到为了得到n次多项式插值次多项式插值( )nP x，我们先求一个，我们先求一个n次多项式次多项式( )klx，满足，满足 011( ) 0, , () 0, ( ) 1, () 0, , ( ) 0kkkkkkkknl xl xl xl xl x即即 0( )1kikiiklxik其中，其中，0in 所以所以( )klx含有如下含有如下n个因子：个因子：0111,kknxx xxxxxxxx于是于是( )klx可以写成可以写成0111( )()()()()()kkkknl xA x xx xx xx xx x其中其中kA为待定常数。为待定常数。由于由于0111,kknxxxx