大学物理04机械振动

1、第第4章章 机械振动机械振动4.1 简谐振动简谐振动4.2 微振动近似微振动近似4.3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动4.4 振动的叠加与分解振动的叠加与分解 振动是一种普遍存在的运动形式：振动是一种普遍存在的运动形式： 物体的物体的来回往复来回往复运动（弹簧振子、钟摆等）运动（弹簧振子、钟摆等）电流、电压的电流、电压的周期性周期性变化变化机械振动：机械振动： 物体在一定位置附近作来回往复的运动物体在一定位置附近作来回往复的运动 可以证明任何复杂的振动都可以认为是由若干个可以证明任何复杂的振动都可以认为是由若干个简单的基本振动的简单的基本振动的合成合成。这种。这种简单简单而又而又基本基本的

2、振动形的振动形式称为式称为简谐振动简谐振动。简谐振动：简谐振动：凡质点的运动遵从凡质点的运动遵从余弦余弦（或（或正弦正弦） 规律时，其运动形式为规律时，其运动形式为简谐振动简谐振动。)cos(tAx4.1 简谐振动简谐振动txo4.1.1 简谐振动的判据简谐振动的判据弹簧振子：弹簧振子： 一根轻弹簧和一个质点构成的一一根轻弹簧和一个质点构成的一 个振动系统个振动系统F根据根据胡克定律：胡克定律：（k为为劲劲度系数度系数）xkF（1）在弹性限度内，弹性力）在弹性限度内，弹性力 F 和位移和位移 x 成正比。成正比。（2）弹性力）弹性力 F 和位移和位移 x 恒反向，始终指向平衡位置。恒反向，始终

3、指向平衡位置。回复力：始终指向平衡位置的作用力回复力：始终指向平衡位置的作用力xxo振动的条件：振动的条件：（1）存在）存在恢复力恢复力；（；（2）物体具有）物体具有惯性惯性弹簧振子的动力学方程弹簧振子的动力学方程F 由由牛顿牛顿第二定律得：第二定律得：xktxmF22ddxmktx22dd得：得：xoA- -Axmktx22dd0dd222xtx令：令：mk2)cos(tAx动力学方程动力学方程运动学方程运动学方程 结论：结论： 弹簧振子的振动为简谐振动弹簧振子的振动为简谐振动 。 动力学方程中的动力学方程中的 由振动系统性质决定由振动系统性质决定 简谐振动的判据简谐振动的判据xkF0dd2

4、22xtx)cos(tAx仅对做机械运动的系统有效仅对做机械运动的系统有效 必须对方程中的必须对方程中的 做出界定做出界定 普遍有效普遍有效 式中式中x可以是任意物理量可以是任意物理量 例题例题4-1质量为质量为m的比重计，放在密度为的比重计，放在密度为 的液体中。已的液体中。已知比重计圆管的直径为知比重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，在竖试证明，比重计推动后，在竖直方向的运动为简谐振动，并计算周期。直方向的运动为简谐振动，并计算周期。解：解： 取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点平衡时：平衡时：0Fmg浮力：浮力： VgF其中其中 V 为比重计的排水体积为比重计的排水体积omgF

5、 222dd2txmgxdVmgxmgdtx4dd222222dd2txmxdgVgmgmgd2gmdT42xxo例题例题4-2 证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为mkkkk212121 证：证：2211xkxkf设物体位移设物体位移x，弹簧弹簧 分别伸长分别伸长x1和和x221xxxxkkkx2112 xk1k2o x22ddtxmf 22212122ddtxmxkkkkxkxkkkx2112mkkkk)(21210dd212122xmkkkktxmkkkk212121 xk1k2o x例题例题4-3三根长度均为三根长度均为 L = 2 米，质量均匀

6、的直杆，构成一米，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架正三角形框架 ABC，C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动。杆框架可绕转轴转动。杆 AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动。现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却在导轨上运动。现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是简谐振动。静止不动，试论证松鼠的运动是简谐振动。30cosfLmgx xLmgf32框架：框架： maxLmgff32谐振动！谐振动！gLT2321、周期、周期 频率和角频率频率和角频率周期周期T：完成一次全振动所经历的时间。完成一次

7、全振动所经历的时间。频率频率 ：单位时间内完成全振动的次数。：单位时间内完成全振动的次数。 =1/T ：角频率角频率 （或称圆频率）（或称圆频率）)cos()(costATtA22, 2TT4.1.2 描述简谐振动的物理量描述简谐振动的物理量 仅由振动系统性质决定仅由振动系统性质决定 )cos(tAxT、 或或 分别称为谐振子的分别称为谐振子的固有周期固有周期、固有频率固有频率和和固有角频率固有角频率故：故：)cos(tAxT 的单位：秒的单位：秒(s) 、 的单位：赫兹的单位：赫兹(Hz) 的单位：弧度每秒的单位：弧度每秒(rad/s)2cos(tTA)2cos(tA)cos(tAx2、振幅

8、、振幅 振幅振幅A：振子离开平衡位置的最大位移的绝对值：振子离开平衡位置的最大位移的绝对值 反映了振动系统的总能量反映了振动系统的总能量 该能量由使振子开始振动时外界输入的能量决定，该能量由使振子开始振动时外界输入的能量决定，即取决于运动的初始条件即取决于运动的初始条件20202212121kxmkAv22020vxA)cos(tAx3、相位、相位(1) ( t + + )是是 t 时刻的时刻的相位相位 (2) 是是t =0时刻的相位时刻的相位 初相初相位位将初始条件将初始条件 t=0；x=x0，v=v0 代入代入x(t)，v(t) 00tanxv)cos(tAxcos0Ax sin0Av相位

9、描述了物体的运动状态相位描述了物体的运动状态 旋转振幅矢量旋转振幅矢量旋转矢量旋转矢量A在在x轴上的投影轴上的投影点点 P 的运动规律：的运动规律：)cos(tAx 投影点投影点P 的运动与的运动与 简谐振动的运动规律简谐振动的运动规律 相同。相同。P0PPAxtP =( 2 t+ 2)-( 1 t+ 1) 相位差相位差对两同频率的谐振动对两同频率的谐振动 = 2- - 1初相差初相差 同相和反相同相和反相当当 = 2k ， ( k =0, 1, )，两振动步调相同，称两振动步调相同，称同相同相当当 = (2k+1) ，( k =0, 1,)， 两振动步调相反，称两振动步调相反，称反相反相oA

10、1-A1A2- A2x1x2T同相同相txxoA1-A1A2- A2x1x2Tt反相反相 超前和落后超前和落后若若 = 2- - 10，则，则 x2 比比 x1较早达到正最大，称较早达到正最大，称x2比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后)。超前超前、落后、落后以以 0)cos(tAx)cos(12. 0tx3cos213振动振动式式： )3cos(12. 0txx- - /3cos12. 006. 0)cos(12. 0tx)sin(12. 0tv如何确定正负？如何确定正负？ 0sin12. 00v5 . 05 . 05 . 0)3sin(12. 0ddtttttxv5 .

11、 025 . 05 . 0)3cos(12. 0ddtttttav)m(103. 0)3cos(12. 05 . 0txt)m/s(189. 0)m/s(03. 12（2）由速度、加速度定义）由速度、加速度定义 )cos(12. 0tx（3）设在某一时刻）设在某一时刻 t1， x = - -0.06 m)3(cos12. 006. 01t代入振动代入振动式式：21)3(cos1t343231或ts132311ttx3/2)cos(12. 0txs61123322tt) s (65161112tttx3/2若考虑到振幅矢量以若考虑到振幅矢量以 为其恒定角速度逆时针转动为其恒定角速度逆时针转动 当

12、质点由当质点由x=-6cm向向x轴负方向运动回到平衡位置的轴负方向运动回到平衡位置的过程对应着振幅矢量转过过程对应着振幅矢量转过5 /6的角度，因此有的角度，因此有s6565tt可见，应用相位的概念与旋转矢量图可使问题简化可见，应用相位的概念与旋转矢量图可使问题简化 例题例题4-5 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点当质点1在在 x1=A/2 处，处，且向左运动时，另一个质点且向左运动时，另一个质点2在在 x2= - -A/2 处，且向右运动。求这两个质点的相位差。处，且向右运动。求这两个质点的相位差。)(cos11tAx)(cos2

13、1tAA31t31t解：解：A- -AoA/ /2- -A/ /2x /3322t)cos(22tAA322t)()(21tt)32(3x332一质点沿直线做简谐振动，相继通过距离为一质点沿直线做简谐振动，相继通过距离为16cm的两点的两点A和和B，历时历时1s，并且在，并且在A、B两点处具有相同的速率；再经过两点处具有相同的速率；再经过1s，质点，质点第二次通过第二次通过B点。求该质点运动的周期和振幅。点。求该质点运动的周期和振幅。分析：质点简谐运动方程、参考圆、相位。分析：质点简谐运动方程、参考圆、相位。A、B一定关于原点对称一定关于原点对称 90AB 21s4Tcm845cosAcm28

14、Akm2)(sin21212222ktAmmvE动能：动能：)(cos2121222ptkAkxE势能：势能：2m222212121mvAmkAE总能量：总能量：pkEEE4.1.4 简谐振动的能量简谐振动的能量)(sin21212222ktAmmvE)(cos2121222ptkAkxEtx)cos(tAxOEktEOEp221kAE 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化， 但任一时刻总机械能保持不变。但任一时刻总机械能保持不变。 动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两 倍。倍。 频率一定时，谐振

15、动的总能量与振幅的平方成正频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正 比。（比。（适合于任何谐振系统适合于任何谐振系统）结论结论：xorcc22cddsintJmgr式中负号表示重力矩方向恰与式中负号表示重力矩方向恰与角角 的正方向相反。的正方向相反。令：令：Jmgrc2得：得：0sindd222t4.2 微振动近似微振动近似如图所示，一刚体绕过如图所示，一刚体绕过o的垂直于纸的垂直于纸面的轴转动，满足转动定律：面的轴转动，满足转动定律：! 5! 3sin 53由：由于由于 很小很小，略去，略去 3以上各项，则以上各项，则sin 0sindd222t0dd222t解为：解为：)cos(0t相应

16、的相应的角频率：角频率：Jmgrc或从机械能守恒：或从机械能守恒：)cos1 ()dd(21c2mgrtJE解为：解为：)cos(0txorcc0sinddddddc22tmgrttJ0ddc22Jmgrt两边对时间两边对时间 t 求一阶导数：求一阶导数：例题例题4-6如图轻杆摆，如图轻杆摆，k、L、m、a已知，杆竖直时弹簧无已知，杆竖直时弹簧无伸长。当摆角很小时，求摆的周期伸长。当摆角很小时，求摆的周期T。afmgkalkf切向分量为切向分量为 kakacost)(makamg22tddd)(dddtLtLtavmLkamgt22ddkamgmLT 2解：解：当摆角很小时，可做如下近似当摆角

17、很小时，可做如下近似 重力的切向分量重力的切向分量 mgmgsin例题例题4-7质量为质量为M的圆盘悬挂在劲度系数为的圆盘悬挂在劲度系数为k的轻弹簧下端，的轻弹簧下端，一套在弹簧上质量为一套在弹簧上质量为m的圆环从离盘高的圆环从离盘高h处自由下落，落在盘处自由下落，落在盘上后随盘一起作简谐振动，上后随盘一起作简谐振动，问：环碰到盘后多久到达最低点？问：环碰到盘后多久到达最低点？ Ox x0 212mghmv0()mmMvv0mgxk 02mghmMv初始条件初始条件 0sinA v0cosxA00tanx v10tankmgvkmMx0 t阻力阻力振动机械能振动机械能振幅振幅产生阻尼的原因：产

18、生阻尼的原因：摩擦、空气阻力、辐射摩擦、空气阻力、辐射一、阻尼振动的微分方程一、阻尼振动的微分方程txvFdd一级近似一级近似xkf4.3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动Fxxo4.3.1 阻尼振动阻尼振动 22ddtxmvkx 称为阻尼系数称为阻尼系数0dd2dd2022xtxtx动力学方程：动力学方程：物体大致的运动情况：物体大致的运动情况：只有弹性力只有弹性力简谐振动简谐振动加粘滞阻力后加粘滞阻力后振幅逐渐变小，即有振幅逐渐变小，即有衰减衰减如何衰减？如何衰减？考虑以考虑以 v0 运动的物体在只有粘滞阻力作用时的运动情况运动的物体在只有粘滞阻力作用时的运动情况mmk2,20令：令：x

19、xm 即即02xx vv2ddtt d2dvv积分得：积分得：tet2002lnlnvvvv动能与时间关系：动能与时间关系：temmE4202k2121vv随时间指数减少随时间指数减少0220costAext2202T方程的解：方程的解：周期：周期：0costAext220可以设想：可以设想：阻尼不太大时，物体一方面在弹性力作用阻尼不太大时，物体一方面在弹性力作用下振动，另一方面在粘滞力作用下振幅随时间指数地下振动，另一方面在粘滞力作用下振幅随时间指数地衰减。衰减。讨论：讨论：0220costAext 当（当（ ）时，为）时，为“临界阻尼临界阻尼”情况。是质点不作情况。是质点不作 往复运动的一

20、个极限往复运动的一个极限0 阻尼较小时（阻尼较小时（ ），振动为减幅振动，振幅），振动为减幅振动，振幅 随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大，随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大， 减幅越迅速。振动周期大于自由振动周期。减幅越迅速。振动周期大于自由振动周期。tAe0 阻尼较大时（阻尼较大时（ ），质点缓慢回到平衡位置，），质点缓慢回到平衡位置， 不作往复运动。不作往复运动。0txoA0teA0Ttxo临界阻尼临界阻尼过阻尼过阻尼欠阻尼欠阻尼品质因素品质因素Q 品质因素反映了在存在阻尼情况下每经过一个周期，振动系统品质因素反映了在存在阻尼情况下每经过一个周期，振动系统能量损失的大小。能量损失的大小。

21、)()()(2TtEtEtEQ定义：定义：TTkAkAkAQ22202020e1122/e2/2/2在弱阻尼情况下在弱阻尼情况下 TQ系统在周期性的外力持续作用下所系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动。发生的振动。受迫振动：受迫振动：策动力：策动力：周期性的外力周期性的外力设：设：tFFcos01、受迫振动、受迫振动rFxkfFxxo4.3.2 受迫振动受迫振动 共振共振 tFtxkxtxmcosdddd022令：令：220mmktmFxtxtxcosdd2dd02022)cos()cos(02200tAteAxt)cos(tAx稳定振动状态：稳定振动状态：220kmFAkmtan在稳定振

22、动状态下，受迫振动的频率等于在稳定振动状态下，受迫振动的频率等于策动力的频率。策动力的频率。 结论：结论：在稳态时，振动物体的速度在稳态时，振动物体的速度)2cos(ddmaxttxvv其中：其中：220max)(kmFv2、共振、共振a. 速度共振速度共振由：由：220max)(kmFv当：当：0km得：得：,0max0Fmkv此时此时2)cos(maxtvv 速度与外力同相位，外力始终做正功。速度与外力同相位，外力始终做正功。vmaxo 0v b. 位移共振位移共振当策动力的频率接近于固有频率时，受迫振动的振幅达当策动力的频率接近于固有频率时，受迫振动的振幅达到最大值的现象。到最大值的现象

23、。220kmFA由：由：2200max2mFA令：令：r2202, 0ddA得得： 阻尼系数阻尼系数 越小，越小，共振角频率共振角频率 r越接近于越接近于系统的固有频率系统的固有频率 0 ，同同时共振振幅时共振振幅Ar也越大。也越大。 结论：结论：220r22200max2mFAoA 0 r阻尼阻尼=0阻尼较小阻尼较小阻尼较大阻尼较大 某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐振动，其振动方程分别表示为：谐振动，其振动方程分别表示为：)cos(111tAx x1x2x)cos(222tAx x1A2A12A21AAA21xxx4.4 振动的叠加与

24、分解振动的叠加与分解4.4.1 同方向同频率振动的叠加同方向同频率振动的叠加 一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐振动，其合成运动仍为简谐振动振动，其合成运动仍为简谐振动。 结论：结论：)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinarctanAAAA, 2, 1, 0212kk(1)若若：, 2, 1, 0) 12(12kk(2)若若：212122212AAAAAAA则则:212122212AAAAAAA则则：例题例题4-8两个同方向的简谐振动曲线如图所示，求：两个同方向的简谐振动曲线如图所示，求：1. 合振动的

25、振幅；合振动的振幅；2. 合振动的振动式。合振动的振动式。12AAA解：解：T20cos11A22110cos22A22221A2AA1A2Ax)(1tx)(2txTt)22cos(12tTAAx1A2AA2由矢量图由矢量图： 设两同方向，角频率分别为设两同方向，角频率分别为 和和 的两简谐振动的两简谐振动（ ）。它们所对应的旋转矢量分别为）。它们所对应的旋转矢量分别为 和和 211A2A122A相对于相对于 的转动角速度：的转动角速度：121A两矢量同向重合时：两矢量同向重合时： 合振动振幅合振动振幅 极大极大A 合振动振幅合振动振幅 极小极小A两矢量反向重合时：两矢量反向重合时： 拍：合振动的振幅时大时小的现象拍：合振动的振幅时大时小的现象1A12A2xO4.4.2 两个同方向不同频率振动的叠加两个同方向不同频率振动的叠加 拍拍 考虑两个考虑两个振幅、初相位相等振幅、初相位相等，频率相近的简谐振动：，频率相近的简谐振动： )2cos()cos(111tAtAx)2cos()2cos(2121tAtAxxx)22cos(22cos21212ttAx其合运动其合运动 )2cos()cos(222tAtAx利用和化积公式可得：利用和化积公式可得： tA22cos212振幅振幅随时间缓慢变化随时间缓慢变化)22cos(12t为一谐振因子为一谐振因子)22cos(22co