基于稀疏表示的超分辨率重建(2)

1、稀疏表示问题的优化算法最优化方法 另外一种优化算法是基于 l1范数的稀疏表示模型，将原来无法进行求解的 NP组合最优化问题转换为求解线性规划最优化问题，也是近几年研究的一个热点。针对此类目标函数提出的最基本优化算法是基追踪方法，之后，很多学者对此问题进行了深入研究。近几年求解 TV 最小化问题的Bregman 迭代算法在 l1范数的稀疏表示问题上的成功应用，提高了此类问题的重建效果。 NP是指非确定性多项式（non-deterministic polynomial，缩写NP）。所谓的非确定性是指，可用一定数量的运算去解决多项式时间内可解决的问题。NP 问题通俗来说是其解的正确性能够被“很容易检

2、查”的问题，这里“很容易检查”指的是存在一个多项式检查算法。基追踪方法基追踪方法是采用线性规划算法来解决公式(1)的 l1约束的线性反演问题。设变量RM ，其标准的线性规划方程为： (2)为将公式(1)转换为公式(2)的优化问题，将 分为两部分：=+- ： (3)则 l1范数可以转换为 和 的内积，可表示为： (4)通过上式建立了基追踪与线性规划的联系，可采用单纯性法和内点法求解上式问题。Bregman 迭代正则化方法 Bregman 迭代最初是用于全变分模型： (5) 其中全变分函数： (6)上述全变分函数的计算可采用基于 Bregman 的迭代方法。设凸函数 J ( )，在点 u 和 v

3、之间的 Bregman 距离可定义为： (7)其中 ，是在点 v 处的次微分。通常情况下，由于 公式(7)定义的 Bregman 距离并不是一般意义上的距离概念。然而，它能表示点u 和 v 点间的接近程度。 公式(5)的求解，并不是能通过一次迭代过程求解，其 Bregman迭代方法包含一系列凸问题的迭代过程： (8)Bregman 迭代算法如下： Darbon 等提出的基于 Bregman 距离的方法，证明了如果 ，则k收敛于 的全变分最小化： 。显然，这种基于 Bregman 的方法同样适用于 l1范数的稀疏优化问题： (9) 其中 H ()是可微凸函数。Bregman 的迭代过程如下： (

4、10)其中k是第 k 次迭代的步长，由于公式(10)中待估计变量 在每次迭代都单独处理，即：每个迭代值k都是通过收敛操作单独计算，称之为软阈值操作： (11)其中 Bregman 迭代正则化方法相当于将稀疏正则项转换为Bregman 距离，同时将保真项作泰勒展开，取其线性项，将其线性化。相对于基追踪的方法，这类基于 Bregman 迭代的算法重建效果较好，需要的测量数也相对较少，而且有效。但是此类方法计算速度较慢，对于解决大尺度问题难以实际应用。基于稀疏贝叶斯的方法 以稀疏贝叶斯（Sparse Bayesian）为代表的统计优化算法性能介于前两者算法之间，它是基于统计的角度，从数学期望中计算信

5、号的最稀疏表示。该思想最早是由 Tipping提出，并由 Wipf 等进行了改进扩展。 根据公式 的稀疏表示模型，假设噪声 n满足独立同高斯分布，设方差为 2，即： 。则信号 x 的条件概率密度函数为： (12)给定 2，系数 的 ML 估计为： (13)然而，上式 ML 规则是未限定的。采用 MAP 估计方法： (14)然而，上式要求先验 p ( )已知。假设其满足高斯分布： ，并且， 为i的方差。 (15)则 x 的概率密度函数为： (16) 其中 (17) 理论上，选择似然参数 ，来最大化概率 然而，该参数计算非常困难。通常采用的方法是：固定参数 2和 ， 的条件概率密度函数为： (18)其中