课件信号第4章

1、第4章离散时间信号的时域分析离散时间信号的分析方法在许多方面和连续时间信号的分析方法有着并行的相似性（用求和取代，差分取代微分）：如差分方程取代微分方程，卷积和取代卷积等等；因此在学习离散时间信号与系统理论时可以参照连续时间信号的某些方法。ss-chap4-201812018/6/84.4用产生和实现离散时间信号和系统4.3线性时不变离散时间系统的样值响应4.2离散时间系统4.1离散时间信号序列第4章离散时间信号的时域分析学习目标：1.熟练描述离散时间信号xn，区分离散时间信号与连续时间信号的差异；（a） 重要序列dn和un及其关系；（b） 序列的基本运算；（c） 周期序列的含义及条件2.理解

2、线性时不变性（LTI）离散时间系统的数学模型（a）线性常系数非齐次差分方程及其求解（b）熟练应用冲激响应hn分析LTI离散时间系统因果性；稳定性；零状态响应与零输入响应；级联、并联LTI系统的分析ss-chap4-201822018/6/8离散时间信号序列4.14.1.1离散时间信号的表示只在某些离散瞬时给出函数值的时间函数，称为离散时间信号，简称为离散信号或序列（sequence）。用符号表示为： f (tn), x (tn) ；若 tn = nT（n = 0, ±1, ±2, ），则表示为f (nT )或x(nT)或进一步简化为：f n ，xn注：n只能取整数，表示各函

3、数值在序列中出现的先后序号。称 f n（或xn）为信号在第n个样点的“样本”或“样值”（sample）。ss-chap4-201832018/6/8离散时间信号序列4.14.1.1离散时间信号的表示= ××× 1x n = 2n,1, 2, 4,8,×××12­8xn4210.5-1 0 1 23nss-chap4-201842018/6/84.1.2典型序列1样值信号（unit sample sequence）x(t)n = 0n ¹ 0d n = ì1(4.1-1）í0(1)î0t

4、ìïd (t) = 0,t ¹ 0í¥ïî ò-¥d (t)dt = 1ss-chap4-201852018/6/8d (t) ¹ ì0,t ¹ 0í1,t = 0î4.1.2典型序列2阶跃序列（unit step sequence）un = ì1n0í0(4.1-2）n < 0î¥un = å d n - mm=0n= å d k k =-¥d n = un - un - 1ss

5、-chap4-201862018/6/84.1.2典型序列3矩形序列（rectangular sequence）nN - 1R n = ì10í0(4.1-3）N其他î序列的长度：Nss-chap4-201872018/6/84.1.2典型序列4. 单边实指数序列（single sided exponential sequence）ìïan，n ³ 0xn = í(4.1-4）ïî0, n < 0ss-chap4-201882018/6/84.1.2典型序列5单边正弦序列（single sided

6、sinusoidal sequence）xn = ìsin w0nn ³ 0n < 0í0(4.1-5）î若 w0 = p /10周期N0 = 20ss-chap4-201892018/6/84.1.2典型序列xn = sin w0n对正弦序列如果：2p/w0 = p/q（p, q为互质整数） 列为周期序列；如果：2p/w0是无理数，则正弦序列是非周期序列。w0为序列正弦包络的振荡频率，也称为正弦序列的频率。数，则正弦序x (t) = sin(8 p t)x (t) = sin( 2 p t)例：1233x n = sin(8 p n)x n =

7、sin( 2 p n)1233ss-chap4-2018102018/6/84.1.2典型序列6斜变序列（ramp sequence）ìn, n ³ 0xn = í0, n < 0(4.1-9)îxn7复指数序列（complex exponential sequence）xn = ejw0 n = cosw n + jsin w n00(4.1-10)ss-chap4-2018112018/6/84.1.3序列的运算xn = x1n ± x2n（1）序列的加减：(4.1-12)(4.1-13)(4.1-14)（2）序列的乘积和数乘： xn

8、 = x1n × x2nyn = a xnxnun = ìxn, n ³ 0í0,从而有n < 0îìïan，n ³ 0xn = í= a unn这样n < 0ïî0,（3）序列移位：yn = xn m(4.1-15)Exn = x n +1 ，Emxn = x n+mE1 xn = x n 1 ，Em xn = x n mss-chap4-2018122018/6/84.1.3序列的运算（4）序列的差分和累加运算：序列的一阶前向差分定义为Dxn = xn+1 - xn序列

9、的一阶后向差分定义为Ñxn = xn - xn-1序列的累加运算定义为n(4.1-17)(4.1-18)åm=-¥yn =xm(4.1-19)（5）序列的能量：E =¥ån=-¥xn 2(4.1-20)ss-chap4-2018132018/6/84.1.3序列的运算（6）序列的分解：xn =¥åxmd n - m(4.1-21)m=-¥¥nun = å d n - m =å d m(4.1-22)m=0m=-¥d n = un - un - 1RN n = un

10、- un - N = å d n - mm=0(4.1-23)N -1(4.1-24)yn = x-n（7）序列的反褶：(4.1-25)（8）序列的卷积和sn = xn * yn =¥åm=-¥xmyn - m(4.1-26)ss-chap4-2018142018/6/84.1.3序列的运算卷积和的计算方法也类似于卷积的四个步骤，即反褶、相乘、求和。xn = un,yn = anun，（0 < a <1），试求例4.1-3假设sn = xn * yn。解：由式(7.1-26)知¥¥ååuman-mun

11、- msn = xn * yn =xmyn - m =m=-¥m=-¥n 1 - a-(n+1)1 - a-1an+1- 1n= å an-mun = aun =una - 1m=0该离散线性卷积的计算过程如下图所示。ss-chap4-2018152018/6/84.1.3序列的运算ss-chap4-2018162018/6/84.1.3序列的运算例4.1-4假设两序列为xn = 3d n + 2d n - 1 + 2d n - 2 + d n - 3yn = 2d n + d n - 1 + 5d n - 2sn = xn * yn求解：。sn = 6, 7,

12、21, 14,0 £ n £ 511, 5,ss-chap4-2018172018/6/84.1.3序列的运算种类1.根据序列的长度分：有限长序列和无限长序列ì右边序列ï无限长序列í左边序列ï双边序列î-无限长序列（双边序列）x n = 2n1x n = 2n (0 £ n £ M )-有限长序列，长度（M+1）22. 根据序列所处的时段分：因果序列和非因果序列3. 根据序列的重复性分：周期序列和非周期序列4. 根据序列的对称性分：偶序列和奇序列ss-chap4-2018182018/6/84.2离散时间

13、系统4.2离散时间系统及其性质离散时间系统可以看一个离散信号的变换器，当输入信号xn经过该离散系统后，将变换成另一个序列输出信号yn，其框图如图4.2-1所示。最基本的一类系统：线性时不变离散时间系统线性离散系统是指满足叠加性与均匀性的离散系统。ss-chap4-2018192018/6/84.2.1离散时间系统及其性质时不变离散系统是指在同样起始状态下，系统响应与激励施加于系统的时刻无关。即：若激励信号xn产生的响应为yn，则激励信号xn - m产生的响应为yn - m，即发生同步延迟。ss-chap4-2018202018/6/84.2.1离散时间系统及其性质例4.2-1滑动平均滤波器的线

14、性特性及时不变特性。广义的滑动平均系统的输出yn与输入xn满足以下关系M 21åyn = Txn =Mxn - k - M+ 1k =M121解：假设 y1n =Tx1n和y2n = Tx2n，即y1n和y2n分别为输入x1n和x2n时的输出信号。（1）当输入信号为x3n= ax1n时，输出信号为= ay1n因而该系统满足均匀性。ss-chap4-2018212018/6/84.2.1离散时间系统及其性质（2）输入信号为x4n= x1n+x2n时，输出信号为M 21+1 ån =n - knTnTnk =M1M 21+1 å=n - kn - k)- M1k =M

15、11M 2M 21åk =M1å x2n - kk =Mn - k +x1- M+1M - M+2121= y1n + y2n该系统满足叠加性，所以该系统是线性系统。ss-chap4-2018222018/6/84.2.1离散时间系统及其性质（3）假设输入信号为x5n= x1n-m，则输出信号为因而该系统是时不变系统。综合以上讨论，该系统是一个线性时不变系统。223 3ss-chap4-20182018/6/84.2.1离散时间系统及其性质Ø 因果离散系统与稳定离散系统如果系统的输出信号yn在n = n0时刻的输出样本yn0仅由输入信号xn在n £ n0

16、时刻的样本值，即xn|n £n0决定，而与n > n0时的样本值xn无关，则该系统是因果系统。当且仅当每一个有界的输入信号xn激励系统时，产生的输出信号yn也是有界的，则系统称为稳（BIBO）。224 4ss-chap4-20182018/6/84.2.1离散时间系统及其性质例4.2-2滑动平均滤波器的因果性与稳定性M 21åyn = Txn =Mxn - k - M+ 1k =M121解：（1）如果M2 > M1 ³ 0，则系统是因果系统，如取M1 =0，M2 =1，则yn=( xn+ xn-1)/2，即输出样本仅取决于现在的输入样本xn和过去的输入

17、样本xn-1。如果M1 < M2 £ 0，则系统是非因果系统，如取M1 =-1，M2 =0，则yn=( xn+1 + xn)/2，即输出样本取决于包括现在的输入样本xn和未来的输入样本xn+1。（2）如果M1，M2是有限数值，则系统是稳。ss-chap4-2018252018/6/84.2.2线性常系数差分方程离散时间信号的基本运算xn = x1n ± x2nxn = x1n × x2n yn = a xn加法运算：乘法运算：或差分运算：Dxn = xn+1 - xnÑxn = xn - xn-1或和累加运算nåm=-¥yn =

18、xmss-chap4-2018262018/6/84.2.2线性常系数差分方程例：以的储蓄与业务描述：存款业务为例：零存整取存款方式储蓄设每月的存款额为Rn，存款时间N计算到期后账户款总额P。，存款月利率为I，设第n-1末账户款额为yn-1，第n末存款款额为yn，则它们之间的关系为yn = yn-1 + Rn + I yn-1y0 = R0 ,Rn, 0 £ n £ N-1ss-chap3-2018272018/6/84.2.2线性常系数差分方程离散时间系统的基本运算单元符号数乘ss-chap4-2018282018/6/84.2.2线性常系数差分方程例4.2-3下图所示的

19、离散系统，它由移位、相加、数乘等三个基本单元组合而成，试写出其激励xn和响应yn之间关系的差分方程。解：移位（延时）器：输入为yn，输出为yn-1；数乘单元：输入为yn-1，输出为ayn-1；加法器单元：输入为xn和ayn-1，输出为yn。加法器可以写出： yn = xn + ayn-1因此，yn-ayn-1 = xn-一阶常系数线性后向差分方程(4.2-3)移项整理可得：ss-chap4-2018292018/6/84.2.2线性常系数差分方程例4.2-4将例4.2-3图所示的离散系统中的延时器位置稍做调整，组成如下图所示的系统，试写出其输入、输出关系式。解：延时器的输出为yn，则输入必为y

20、n+1，即加法器输出为yn+1， 加法器可写出yn+1 = xn + aynyn+1-ayn = xn(4.2-4)即-一阶常系数线性前向差分方程ss-chap4-2018302018/6/88.1.2线性时不变离散时间系统的数学模型例4.2-5对下图所示的离散系统，试写出其输入、输出关系式。解：加法器可列出如下方程：yn = a1yn-1+a2yn-2 +b0xn + b1xn-1 + b2xn-2yn -a1yn -1 -a2yn -2 = b0xn + b1xn-1 + b2xn-2即ss-chap4-2018312018/6/84.2.2线性常系数差分方程例：yn-ayn-1 = xn

21、设输入 xn=dn，并假设 y-1=0，差分方程的求解条件：（1） 输入信号，方程右边的自由项（2） 起始条件，考虑一般是后向差分，故为 y-1, y-2, y-Ny0 = x0 + ay-1 = 1y1 = x1 + ay0 = ay2 = x2 + ay1 = a 2Myn = xn + ayn-1 = a n此范围仅限于n 0，差分方程的求解方法1. 递推解法（迭代法）2. 时域经典法3. 零输入、零状态响应解法4. z变换法5. 状态空间分析法故yn = anunss-chap4-2018322018/6/84.2.3线性常系数差分方程的经典解法例：yn-ayn-1 = xn设输入 x

22、n=un，并假设 y-1=0， yhn = Aanypn = B, n³0 （xn=1, n³0）Þ B- aB=1ÞB=1/(1- a) yn = yhn+ypn=Aan+1/(1-a), n³0因为：y0 = x0 + ay-1 = 1ÞA=-a/(1- a)yn =(1-an+1)/(1-a) n³0dy(t) + 3y(t) = 6x(t)dtx(t) = u(t),y(0- ) = 1-3tyh (t) = Aey (t) = B, t > 0 (x(t) = 1, t > 0)pÞ y (t

23、) = 2, t > 0py(t) = y (t) + y (t)h= Ae-3tp+ 2, t > 0Þ A = -1( y(0- ) = 1 = y(0+ )Þ y(t) = -e-3t + 2,t > 0ss-chap4-2018332018/6/84.2.3线性常系数差分方程的经典解法例：yn-0.4yn-1 +0.03yn-2= 2xn设输入 xn=un，并假设 y-1=0，y-2=1Þ a1= 0.1， a2= 0.3解： a n- 0.4a n-1+0.03a n-2=0yhn = A1(0.1)n+ A2(0.3)nypn = B

24、, n³0 （xn=1, n³0）Þ B- 0.4B+0.03B=2ÞB=200/63yn = yhn+ypn = A1(0.1)n+ A2(0.3)n +200/63, n³0因为：y0 = 2x0 + 0.4y-1 -0.03y-2= 1.97y1 = 2x1 + 0.4y0 -0.03y-1= 2.788ÞA1=0.1261，A2=-1.3307yn = 0.1261´(0.1)n-1.3307(0.3)n+3.1746， n³0ss-chap4-2018342018/6/84.2.3线性常系数差分方程的经典

25、解法几种典型激励信号对应的特解函数形式自由项E (常数)nm , m是正整数a ncosw0 nsin w0n特解B (常数)nm-1+ B+ . + B n + BnmBm-1m10Ba nB1 cosw0n + B2 sin w0n注：自由激励信号得到（与激励信号表相同），特解（强迫响应）的表与自由项相同，故也与激励信号表相同；但自由响应与激励信号完全不同。ss-chap4-2018352018/6/84.3LTI离散时间系统的样值响应4.3.1零输入响应与零状态响应经典法求解系统的完全响应可分为：完全响应=自由响应+强迫响应yn = yh n + yp n系统的完全响应也可分为：完全响应

26、=零输入响应+零状态响应yn = yzi n + yzs nss-chap4-2018362018/6/84.3.1零输入响应与零状态响应零输入响应 yzi n：当激励信号 xn = 0时，由起始状态y-1, y-2, y-N所产生的响应。零输入响应应的形式，即Ny n = å Aanzizikkk =1其中系数Azik由起始条件y-1, y-2, y-N来确定。ss-chap4-2018372018/6/84.3.1零输入响应与零状态响应零状态响应 yzsn：当起始状态为零时，即y-1= y-2= y-N=0 ，由激励信号xn 所产生的响应。零状态响应的形式为：Ny n = 

27、29; Aa+ y nnzszskkpk =1其中系数Azsk由初始状态y0, y1, yN-1来确定。ss-chap4-2018382018/6/84.3.1零输入响应与零状态响应NNyn = å Aa+ å Aa+ y (t)(4.3 -1)nnzikkzskkp1k =412431k =144424443零输入响应零状态响应N= å（A+ A)a+(4.3 - 7)ny (t)pzikzskk1k =144424443自由响应强迫响应例4.3-1 已知LTI离散系统的差分方程为yn - 1 yn -1 = 1 xn2y-1 = 13且 xn=un,，应、强迫

28、响应、零输入响应、零状态响应和全响应。ss-chap4-2018392018/6/84.3-1零输入响应与零状态响应解：y-1 = 1y-1 ：起始条件，确定零输入响应的系数，y0：初始条件，确定全响应的系数，y0 = 1 x0 + 1 y-1 = 5326y 0 = 1 x0 + 1 y -1 = 1y0：确定零状态响应的系数,zszszs3231）求全响应yn特征根为a = 1/ 2 ，所以 yh n = A(1 / 2) ，n而 yp n = 2/ 3 , (因为 xn=1，n³0)yn = A(1 / 2)n + 2 / 3全响应为由初始条件 y0=5/6 , 求出系数 A=

29、 1/6 ，所以yhn=(1/6)(1/2)nyn = (1 / 6) ´ (1 / 2)n + 2 / 3(n ³ 0)ss-chap4-2018402018/6/84.3.1零输入响应与零状态响应2）求零输入响应yziny n = A(1 / 2)nziziy-1 = 1,由起始条件可求出系数Azi=1/2 ，所以y n = 1 (1 / 2)nzi23）求零状态响应yzsn，输入xn=uny n = A(1 / 2)n + y n = A(1 / 2)n + 2 / 3zszspzs由零状态初始条件 yzs0=1/3 , 求出系数 Azs= -1/3 ，所以yzs n

30、 = (-1 / 3) ´ (1 / 2) + 2 / 3n(n ³ 0)或解：yzs n = yn - yzi n = (-1 / 3) ´ (1 / 2) + 2 / 3n(n ³ 0)ss-chap4-2018412018/6/84.3.1零输入响应与零状态响应常系数线性差分方程描述的系统在下面几点上是线性的（1） 响应的可分解性：系统响应可分解为零输入响应和零状态响应。（2） 零状态响应线性：系统的零状态响应与各激励信号成线性关系，且系统为时不变系统，所以零状态响应满足微积 分特性。（3） 零输入响应线性：系统的零输入响应与各起始状态成线性关系。

31、ss-chap4-2018422018/6/84.3.2样值响应（冲激响应）定义冲激信号dn 作为激励，系统产生的零状态响应冲激响应”，以hn表示。以称为“类似地，以状态响应称为“阶跃信号 un 作为激励，系统产生的零阶跃响应”，以gn或sn表示。1. 冲激响应hn的求解aN yn + aN -1 yn -1 +L+ a1 yn - (N -1) + a0 yn - N = bM xn + bM -1xn -1 +L+ b1xn - (M -1) + b0 xn - M 将及代入上式，得h0 = bM d 0 + bM -1d -1 +L+ b1d -(M -1) + b0d -M = bMh

32、1 = bM d 1 + bM -1d 0 +L+ b1d -M + 2) + b0d 1- M - aN -1h0= bM -1 - aN -1bMss-chap4-2018432018/6/84.3.2样值响应上述利用迭代的方法比较简单，但难以给出闭式的解。利用通用的经典解法：Nhn = å A an ³ 0n ,kkk =1由于输入 xn=dn=0, n>0, 故其强迫响应部分ypn=0, n>0。而系数Ak可以由初始状态hn，n=0,1,2,N-1求出。也就是说不论哪种方法求解冲激响应，都需要依据差分 方程及输入信号dn迭代得到系统的N个初始状态值hn，

33、 n=0,1,2,N-1。ss-chap4-2018442018/6/84.3.2样值响应2. 阶跃响应gn的求法例4.3-4试利用线性时不变系统的特性，讨论离散系统对阶跃信号un的零状态响应应hn之间的关系。解：由式(4.1-22)第一个等号，即阶跃响应gn与样值响¥un = å d n - mm=0利用线性时不变系统的时不变特性和叠加性，有¥gn = å hn - mm=0另一方面，根据式(4.1-23)，得(4.3-9)d n = Ñun = un - un - 1hn = Ñgn = gn - gn - 1(4.3-10)从而

34、有ss-chap4-2018452018/6/84.3.3LTI离散时间系统的卷积和分析d n ¾L¾TI离¾散时¾间系¾统¾的零¾状态¾响应¾® hn冲激响应¥åxmd n - mxn =如果m=-¥根据线性时不变系统的性质， 有¥åxmhn - m = xn* hnyzs n =(4.3-11)m=-¥¥¥åumhn - m = å hn - m如：gn = hn * un =m=-¥m=0系统的全响应，表N如下¥yn = å Aåm1=-4¥an+xmhn - m4424443零状态响应zikkk1=14243零输入响应ss-chap4-2018462018/6/84.3.3LTI离散时间系统的卷积和分析Ø 在4.1.3节中已经说明：与卷积相似，卷积和的计算也可以分为四个步骤，但用求和代替了，即反褶、相乘、求和。Ø 卷积和也属于线性运算，故而具有相应的运算定律，即交换律、结合律和分配律Ø 卷积和的移位性质及其他性质：sn = xn * yn若则 sn - n1 - n2 = xn - n1