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1、第二章 导数与微分总结 一、导数与微分概念 1导数的定义 设函数在点的某领域内有定义，自变量在处有增量，相应地函数增量。如果极限 存在，则称此极限值为函数在处的导数（也称微商），记作，或，等，并称函数在点处可导。如果上面的极限不存在，则称函数在点处不可导。 导数定义的另一等价形式，令，则 我们也引进单侧导数概念。 右导数： 左导数： 则有 在点处可导在点处左、右导数皆存在且相等。 2导数的几何意义与物理意义 如果函数在点处导数存在，则在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。 切线方程： 法线方程： 设物体作直线运动时路程与时间的函数关系为，如果存在，则表示物体在时刻时的瞬时速度。 3函数的可导性与

2、连续性之间的关系 如果函数在点处可导，则在点处一定连续，反之不然，即函数在点处连续，却不一定在点处可导。例如，在处连续，却不可导。 4微分的定义 设函数在点处有增量时，如果函数的增量有下面的表达式 其中为为无关，是时比高阶的无穷小，则称在处可微，并把中的主要线性部分称为在处的微分，记以或。 我们定义自变量的微分就是。 5微分的几何意义 是曲线在点处相应于自变量增量的纵坐标的增量，微分是曲线在点处切线的纵坐标相应的增量（见图）。 6可微与可导的关系 在处可微在处可导。 且 一般地，则 所以导数也称为微商，就是微分之商的含义。 7高阶导数的概念 如果函数的导数在点处仍是可导的，则把在点处的导数称为在点处的二阶导数，记以，或，或等，也称在点处二阶可导。 如果的阶导数的导数存在，称为的阶导数，记以，等，这时也称是阶可导。 二、导数与微分计算 1导数与微分表（略） 2导数与微分的运算法则 （1）四则运算求导和微分公式 （2）反函数求导公式 设的反函数为，则 （3）复合函数求导和微分公式 设，则 （4）隐函数求导法则 每一次对求导，把看作中间变量，然后解出 例：，确定，求 解：两边每一项对求导，把看作中间变量 然后把解出来 （5）对数求导法 取

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