学生讲义巧解外接球问题

1、快速解决巧解外接球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题【例1】（上海中学）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ .【例2】（交大附中）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上

2、，若该正方体的表面积为，则该球的体积为_.2、求长方体的外接球的有关问题【例3】（复兴高级中学）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则此球的表面积为_.【例4】（七宝中学）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. B. C. D. 3.求多面体的外接球的有关问题【例5】（上海实验中学）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为_. .二、构造法(补形法)1、构造正方体【例6】（2015年上海高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱

3、长均为，则其外接球的表面积是_.【例7】（上海中学） 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_.【小结】 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长 即【例8】：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。图1【例 9】 （建平中学）一个四面体的所有棱长

4、都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【例10】（华二附中）在等腰梯形中，为的中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（ ）.A. B. C. D. 图4【例11】 （交大附中）已知球的面上四点A、B、C、D，则球的体积等于 .2、构造长方体【例12】（2012年上海高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，若，则球的体积是 .图5本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。三.多面体几何性质法【例13】（大同中学）已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A. B. C. D.【小

5、结】 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法【例14】（西南位育中学） 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为 .【小结】 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.五 .确定球心位置法【例15】 （上海第二中学）在矩形中，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）A. B. C. D.【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例16】（复旦附中）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，,求球的体积。 【总结】