对坐标的曲线积分

1、10.2 对坐标的曲线积分一、概念的引入设一质点在面内从点沿光滑曲线弧移动到点,在移动过程中,该质点受到变力的作用,其中函数,在上连续,现计算变力所作的功。在上任意地插入个点将划分成个小弧段,且点的坐标为 。由于光滑且很短,可用有向线段来近似地代替它,其中,分别是在坐标轴上的投影。又因为函数, 在上连续,可用上任意一点处的力来近似地代替该小弧段上的变力。质点沿有向小弧段移动时,变力所作功可近似地取为 从而 为得到的精确值,只需令,(是这个小弧段长度的最大者),对上述和式取极限。即 (1)(1)式右端和式的极限是又一类新的和式极限, 为此, 我们引入对坐标的曲线积分概念。【定义】设为面内从点到点

2、的一条有向光滑曲线弧, 函数,在上有界,用上的个点将分成个有向小弧段,设,是这个小弧段长度的最大者任取点如果极限 存在, 则此极限值就叫做函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分，记作 。类似地,如果极限存在,则此极限值就叫做函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分,并记作。即 其中:,叫做被积函数,叫做积分弧段。注记:1、对坐标的曲线积分中的是有向弧段在轴上的投影, 它的值可正也可负。这与对弧长的曲线积分中的恒为正值是有区别的。2、应用中经常出现这种形式,今后,可将之简记成从而,变力沿有向曲线所作功可表成3、上述定义可推广到积分曲线弧为空间有向曲线弧的情形并且 可简记成形式4、对坐标的曲线积分存在定理若

3、,在有向光滑曲线弧上连续,则 , 都存在。这一定理可类似地推广到空间曲线的情形。二、对坐标曲线积分的性质1、若将分成与, 且,的方向由的方向所决定的,则2、设是有向曲线弧,而是与方向相反的有向曲线弧,则这一性质表明:对坐标的曲线积分应特别注意积分曲线弧的方向。3、若,是常数,则三、对坐标曲线积分计算法【定理】设 ,在有向曲线弧上有定义且连续；曲线的参数方程为当参数单调地由变到时,点从的起点沿运动到终点；函数,在以,为端点的区间上具有一阶连续导数,且则曲线积分存在,并且 (4)证明:在上任意地插入一系列点( 依从至的方向 )它们对应于参数值为这一列参数值是单调变化的。据对坐标的曲线积分定义有若设

4、点对应于参数值,那么应在与之间,且又 这里, 而在与之间。于是 因为函数在闭区间( 或)上连续, 那么可将上式中的换成,从而而等价于,因此上式右端的和式极限就是定积分 。由于连续,这个定积分存在,因此上式左端的曲线积分 也就存在,且有同理可证将两式相加便得到了(4)式。几种特殊情形的对坐标曲线积分1、如果由方程给出时,(4)式成为这里: 下限对应于的起点, 上限对应于的终点。2、如果由方程给出时,(4)式成为这里: 下限对应于的起点, 上限对应于的终点。3、公式(4)可方便地推广到空间曲线由参数方程给出的情形这里:下限对应于的起点, 上限对应于的终点。【例1】计算, 其中为(1)、半径为, 圆

5、心在原点依逆时针绕行的上半圆周；(2)、从点沿轴到点的直线段。解1:的参数方程为 时,对应于的起点,时,对应于的终点,解2:的方程为,时,对应于的起点；时,对应于的终点,此例表明: 两个对坐标的曲线积分尽管被积函数相同, 积分曲线的起点与终点也相同,而积分曲线不同时,其值并不相同。【例2】计算, 其中为(1)、抛物线上从到的一段弧；(2)、抛物线上从到的一段弧；(3)、有向折线,这里依次是, , 。解1、解2:解3:此例表明: 虽然沿不同的曲线弧,但第二类曲线积分的值可以是相同的。换句话说,计算曲线积分时, 积分值仅与起点, 终点的坐标有关, 而与连接这两点的曲线形式无关。 四、两类曲线积分的关系设有向曲线弧的起点为,终点为,取弧长为曲线弧的参数,曲线的全长,这里。设曲线弧由参数方程给出,函数 ,在 上具有一阶连续的导数,又函数,在上连续。对坐标的曲线积分其中: 由莱布尼兹微分三角形可知: 与是有向曲线弧在点的切线向量