导数及其应用1板块五微积分与定积分的应用学生版

1、板块五.微积分与定积分的应用知识内容1函数定积分：设函数定义在区间上用分点，把区间分为个小区间，其长度依次为记为这些小区间长度的最大值，当趋近于时，所有的小区间长度都趋近于在每个小区间内任取一点，作和式当时，如果和式的极限存在，我们把和式的极限叫做函数在区间上的定积分，记作，即其中叫做被积函数，叫积分下限，叫积分上限叫做被积式此时称函数在区间上可积2曲边梯形：曲线与平行于轴的直线和轴所围成的图形，通常称为曲边梯形根据定积分的定义，曲边梯形的面积等于其曲边所对应的函数在区间上的定积分，即求曲边梯形面积的四个步骤：第一步：分割在区间中插入各分点，将它们等分成个小区间，区间的长度，第二步：近似代替，

2、“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值第三步：求和第四步：取极限3求积分与求导数互为逆运算，即从到的积分等于在两端点的取值之差4微积分基本定理如果，且在上可积，则，其中叫做的一个原函数由于，也是的原函数，其中为常数一般地，原函数在上的改变量简记作，因此，微积分基本定理可以写成形式：典例分析题型一：定积分的概念【例1】 求围成图形面积【例2】 根据定义计算积分【例3】 根据定义计算定积分【例4】 根据定义计算积分【例5】 求定积分【例6】 等于（ ）ABCD【例7】 求定积分【例8】 由及轴围成的介于0与之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为_【例9

3、】 图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（ ）A BC D【例10】 求曲线以及直线，所围成的图形的面积【例11】 已知函数，试用定积分表示与轴围成的介于与之间的平面图形的面积；结合的图象猜出的值；试将上述问题推广到一般的情况【例12】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是（ ）A在时刻，甲车在乙车前面B时刻后，甲车在乙车后面C在时刻，两车的位置相同D时刻后，乙车在甲车前面【例13】 设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组个）区间上的均匀随机

4、数，和，由此得到个点，在数出其中满足的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为【例14】 （ ）A B C D【例15】 函数的图象与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积为，则函数在上的面积为_题型二：微积分基本定理【例16】 _【例17】 _【例18】 _【例19】 _【例20】 _【例21】 函数，求【例22】 下列等于1的积分是（ ）A B C D【例23】 （ ）A B C D【例24】 计算下列定积分的值：；【例25】 （ ）A B C D【例26】 曲线与坐标轴围成的面积是（ ）A B C D【例27】 =（ ）A B C D【例28】 （ ）A B C

5、 D【例29】 【例30】 由曲线、直线、和轴围成的封闭图形的面积为【例31】 设函数若，则的值为_【例32】 若，则_【例33】 若，则等于（ ） A B C或 D不确定【例34】 已知，则二项式展开式中含项的系数是【例35】 已知，若，则【例36】 求的值【例37】 ，则实数【例38】 的值等于（ ）A B C D【例39】 （ ）A B C D【例40】 ，则_【例41】 _【例42】 已知，且，求、的值【例43】 已知函数，则（ ）A BCD【例44】 试用定积分表示由直线，及轴围成的平面图形的面积，并求积分的值【例45】 试用定积分表示由直线，及轴围成的平面图形的面积，并求积分的值【

6、例46】 从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为【例47】 由曲线，围成的封闭图形面积为（ ）ABCD【例48】 设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数时，定积分的值为（ ）ABCD【例49】 已知自由落体的速度为，则落体从到所走过的路程为（ ）A B C D【例50】 若，则实数的值为【例51】 由直线，曲线及轴所围图形的面积为（ ）ABCD【例52】 给出以下命题：若，则； ；的原函数为，且是以为周期的函数，则；其中正确命题的个数为（ ）A1 B2 C3 D0【例53】 给出下列四个命题：已知，点到直线的距离为1；若，则函数在取得极值；，则函数的值域为；在极坐标系中，点到直线的距离是其中真命题是（把你认为正确的命题序号都填在横线上）【例54】 直线与抛物线所围成图形的面积为 【例55】 如图，求曲线，及直线所围成的封闭图形的面积【例56】 求曲线与轴所围成的图形的面积【例57】 如图，求曲线及直线，所围成的图形的面积【例58】 求曲线以及直线所围成的图形的面积【例59】 已知为一次函数，且，则=_【例60】 已知为一次函数，且，则=_【例61】 设是二次函数，方程有两个相等的实根，且求的表达式；求的图象与两坐标轴所围成图形