导数与积分复习建议——区简版

1、导数与积分复习建议一、导数的要求考试内容要求层次ABC导数及其应用导数的概念与几何意义导数的概念导数的几何意义导数的运算根据导数定义求函数y=c,y=x,的导数导数的四则运算简单的复合函数（仅限于f(ax+b)形式）导数公式表导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）利用导数解决某些实际问题定积分与微积分基本定理定积分的概念微积分基本定理二、近年导数题在北京高考试题中的位置（2007年北京1913分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆

2、上，记，梯形面积为（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值（2008年北京1813分）已知函数，求导函数，并确定的单调区间（2009年北京115分）设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_.（2009年北京1813分）设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.（2010年北京1813分)已知函数()=In(1+)-+(0)。()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间。三、第一轮导数复习建议明确考试说明的要求。应对：1、熟练基本求导公式，正确求导、

3、明确概念；(1) 几个常用的特例:, , , （2） 导数的四则运算:对结构的熟悉可以灵活逆用公式来构造函数解决问题。（3） 复合函数的求导法则:（一定注意一次函数的系数与符号、求导彻底！）2、各种类型的求导：强调求导三步曲：定义域、求导（彻底、正确）、因式分解3、明确相关概念以及书写： 极大值、极小值，最大值，最小值极值、极值点: 极值点、零点4、熟练导数的基本应用（单调性、极值、最值），书写规范；（1）切线问题（2）单调性问题（3）极值与最值（4）证明不等式（5）恒成立（6）公共点个数等5、会含参一次、二次不等式的讨论；（1）注意函数的定义域；（2）注意讨论的顺序；（3）别忘了取等的情况；

4、（4）数形结合；6、会常见的求参数范围的问题与解决方法，熟练恒成立问题的解决方法。四、参考做法1、前后一致选配例题，最大限度节省课时，提高效率； 求导练习，（同时写出函数的单调区间）第一组：(1)/对于高次函数求导，不建议展开后求导，直接求导方便因式分解！(2) /(3) /(4)/第二组：(1) f(x)=x2 ax + (a1), /(2), 其中/(3) /(4)/(5)/(6) / (7) /(8) /第三组：(1) /(2)/ = (3) /(4) /2、最大限度应用一个题，深入研究各种问法与解法跳出题海训练，对熟悉的题目进行挖掘改造，来达到我们的目的。原题： 对于R上可导的任意函数

5、f(x), 若满足 , 则必有( C ) A. f(0) + f(2) < 2f(1) B. f(0) + f(2) £2f(1) C. f(0) + f(2) ³2f(1) D. f(0) + f(2) >2f(1)变式1：若改为已知的图象，原函数的图象大致？变式2：若已知的图象呢？变式3：若已知的图象呢？4、导数的应用复习课效率从哪来？导数还能怎么考？1、总结常规应用，规范结题格式；2、导数还能怎么考，换个问法，或是与函数、不等式、数列、线性规划综合，更多的是对导数本质的理解与工具性知识的变通与应用。1. (04全国文.改) 已知函数(1) 若函数f(x)在

6、区间(1,4)上为减函数, 在区间(6, +) 上为增函数, 求实数a的取值范围;aÎ 5,7 (2) 若函数f(x) 的单调递减区间是(1, 4), 求实数a的值;a = 5(3) 若函数f(x)在区间(1,4)上为减函数, 在区间(4, +) 上为增函数, 求实数a的值;a = 5(4) 若函数f(x) 存在单调递减区间, 求实数a的取值范围.a¹ 2(5)若函数f(x)在（1，4）内不单调，求实数a的取值范围。2<a<52. 已知函数(1) 若k = e, 确定函数f(x)的单调区间;(2) 若k > 0, 且对于任意,恒成立, 求实数k的取值范围;

7、(0<k<e)(3) 若存在x0, 使得, 求:实数k的取值范围;(4) 设k > e, 若令,对于-1,1内的任意实数,总存在-1,1满足:, 求: 实数k的取值范围; (5) 设k > e, 若令,对于-1,1内的任意实数,总存在-1,1满足:, 求: 实数k的取值范围; (6)设k > e, 若令,对于-1,1内的任意实数, , 满足:, 求: 实数k的取值范围; (7)求证：不等式 对任意正整数n恒成立。（8） (08西城二模)当k=1时，求的最小值; 若不等式的解集为, 且, 求实数的取值范围; /（7）由（2）可知，当kÎ（0，e）时，f(x

8、)>0成立，即ex>kx成立。 （8）例题与习题1、定义公式的灵活应用，让我们必须对导数有更深的认识。1. 设球的半径为时间t的函数R(t). 若球的体积以均匀速度C增长,则球的表面积的增长速度与球半径( D )A.成正比,比例系数为CB. 成正比,比例系数为2CC.成反比,比例系数为CD. 成反比,比例系数为2C2. (1)若函数在R上可导且满足不等式恒成立,且常数a, b满足a > b,则下列不等式一定成立的是( A )A. B. C.D. (2) f(x)是定义在上的非负可导函数, 且满足,对任意正数a、b, 若a < b,则必有( A ) A. B. C. D.

9、 (3)设函数f(x)在R上的导函数为f ¢(x), 且2f(x) + xf ¢(x) > x,下面的不等式在R内恒成立的是（A） A.B.C.D. 2、基本应用：1. (07海南)曲线在点(4, e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( D )A. B. C. D. 2. (福建09) 若曲线存在垂直于y的切线, 则实数a取值范围是_. 3.(全国I.09) 已知直线y = x+1与曲线相切,则a的值为( B )A. 1 B. 2 C. -1 D. -23、关于导数与原函数的图象问题，努力培养学生的数形结合思想与能力！1. (2007年浙江卷理8) 设是函数的导函

10、数, 将和的图象画在同一个直角坐标系中, 不可能正确的是( )/D yxO yxO y xO yxOABCD2.（2010江西理）12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为（A）3.（2009湖南卷文）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是( A )yababaoxoxybaoxyoxybA B C D4、应用导数知识的综合1、函数，极大值点在(0,1)内，极小值点在(1,2)内，则的取值范围是_。2、（2010 海淀区上学期期末14）考虑以下数列，： ； ； .其中满足性质“对任意正整数，

11、都成立”的数列有（写出满足条件的所有序号）；若数列满足上述性质，且，则的最小值为.;285、恒成立问题的两种解决方法（2010海淀一模18）已知函数其中a为常数，且.（）当时，求在（e=2.718 28）上的值域；（）若对任意恒成立,求实数a的取值范围.解：（I）（）6、积累几种常见的技巧辽宁09已知函数f(x)=x-ax+(a-1)，。（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。(II)考虑函数 /陕西09已知函数，其中若在x=1处取得极值，求a的值；求的单调区间；（）若的最小值为1，求a的取值范围。四川08已知是函数的一个极值点。（）求；（）求函数的单调区间；（）若直

12、线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。解（）（）的单调增区间是的单调减区间是（）。学探诊：判断函数是否存在最小值，若存在求出来，若不存在说明理由。解： 存在最小值。已知函数 （1）若函数在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围。 （2）若函数，若在1，e上至少存在一个x的值使成立，求实数p的取值范围。五、积分复习建议要求：1、掌握定积分的公式、性质、几何意义；2、会计算定积分，能利用定积分求所求图形的面积。1定积分基本公式被积函数一个原函数2定积分的性质3定积分的几何意义几何意义的重要性，解决相关面积问题的方法。4定积分的应用（1）求定积分运算（用公式、几何意义）（2）定积分求曲边梯形

13、面积数形结合（几何意义）几个例题1.写成定积分的形式，可记为（C）A.B.C.D.2. 计算下列定积分（1）|sinx|dx;(2)3求面积：（1）曲线y=cosx（0x）与坐标轴所围成的面积是（）A.2 B.3 C.D.4（2）求由曲线与围成的平面图形的面积.（）（3）求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积.（18.）导数单元测试题（理科）北京八中提供一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知函数，那么等于（ ）（A）（B）（C）（D）2若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)恒成立，且常数a,b满足

14、ab,则下列不等式一定成立的是（ ）（A）af(b)bf(a)（B）af(a)bf(b)（C）af(a)bf(b)（D）af(b)bf(a)3设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a等于（D ）（A） 2（B）（C）（D）-24函数F(x)=t(t-4)dt在-1,5上 （ ）（A）有最大值0,无最小值（B）有最大值0和最小值（C）有最小值,无最大值（D）既无最大值也无最小值5函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）（A）0f(3)f(2)（B）0f(3)f(2) （C）0f(3)f(3)f(2)（D）0f(3)f(2)6已知函数的定义域是，关于函数给出下列

15、命题：对于任意，函数是上的减函数；对于任意，函数存在最小值；存在，使得对于任意的，都有成立；存在，使得函数有两个零点其中正确的命题是（ ）（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在题中横线上.7.如图所示，曲线y=x21及x轴围成图形的面积S为.8. 已知函数f(x)的导函数为,且满足f(x)=3x2+2x,则=.9.若函数f(x)=在区间（m,2m+1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围是.10. 用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四

16、角截去的正方形的边长为.三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.11（本小题满分12分）设函数f（x）=x33ax2+3bx的图象与直线12x+y1=0相切于点（1，11）.（I）求a，b的值；（II）求函数f（x）的单调区间.12（本小题满分12分）已知函数f(x)=x3x2+bx+c.(I)若f(x)在（，+）上是增函数，求b的取值范围;(II)若f(x)在x=1处取得极值，且x1,2时，f(x)c2恒成立，求c的取值范围.13（本小题满分13分）已知函数f(x)=(1+x)2-aln(1+x)2在(-2,-1)上是增函数，在（-，2）上为减函数.（I

17、）求f(x)的表达式；（II）若当x1, e1时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的值；（III）是否存在实数b使得关于x的方程f(x)=x2+x+b在区间0，2上恰好有两个相异的实根.若存在，求实数b的取值范围.14（本小题满分13分）已知函数，其中（）求函数的零点；（）讨论在区间上的单调性；（）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由参考答案1.A 2.B 3.A 4.B 5.B 6.C7.8. 69.（1，010. 811解 （I）求导得=3x26ax+3b.由于f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，11），所以f（1）=11，=12，即解得a=1

18、，b=-3.（II）由a=1，b=-3得=3x26ax+3b=3(x22x3)=3(x+1)(x3).由0,解得x1或x3;又令0,解得1x3.所以当x(-,1)和(3,+）时,f(x)是增函数;当x(1,3)时,f(x)是减函数.12解 （I）=3x2-x+b,因f(x)在（，+）上是增函数，则0.即3x2x+b0,bx-3x2在（，+）恒成立.设g(x)=x3x2,当x=时，g(x)max=,b.(II)由题意知=0，即3-1+b=0，b=-2.x1,2时，f(x)<c2恒成立，只需f(x)在-1，2上的最大值小于c2即可.因=3x2x2,令=0,得x=1或x=.f(1)=-+c,f(,f(2)=2+c.f(x)max=f(2)=2+c,2+c<c2.解得c>2或c<-1，所以c的取值范围为（-，1）（2，+）.13解 (I)=2(1+x)-