车辆专业外文文献翻译

1、精选优质文档-倾情为你奉上基于有限元方法的陀螺仪的盘型制动系统的尖叫分析作者：Jaeyoung Kang【摘要】本文对一辆车的制动系统中旋转阀瓣接触两个固定垫的动力失稳性进行了研究。在现行的近似几何中，盘被有限元分析法以帽盘型结构为模型。从参考坐标系和移动坐标系见的坐标变换，对盘和垫之间的接触运动学进行了阐述。通过引入统一的二维网的方法来构造阀瓣相应的陀螺矩阵。陀螺仪的非保守性制动系统的动力不稳定性是对系统参数的数值预测。结果表明, 尖叫声倾向于转速，转速取决于参与尖叫声模式下的振动模式。而且,它强调摩擦系数的负斜率对在盘的面内扭转模式下产生尖叫声起着至关重要的作用。【关键词】陀螺仪；盘型制动

2、；制动尖叫；耦合模式1. 介绍盘式制动尖叫已经被许多学者研究了数十年。通过对尖叫机械的研究积累了许多有价值的信息。Kinkaid等1提供了关于各种盘型制动尖叫研究的概述。Ouyang 等2发行了以汽车盘型制动尖叫的数值分析为集中研究的评论性文章。他们显示一个主要研究制动尖叫的方法，是线性稳定分析。从线性化的运动微分方程来看,真正的部分特征值被计算出来，用于决定均衡的稳定性。在文献中，有两个关于线性尖叫分析的主要方向：静态平稳的复杂特征值分析滑动平稳38和旋转制动系统的稳定性分析 912,14。固定盘和垫的静态的滑动稳定的稳定性分析提供尖叫原理作为频繁摩擦领域里的合并模式的特性。Huang等6使

3、用本征值摄动法发展必要的条件没有直接的本征结果。Kang等7推导了盘对之间的合并模式的封闭解。由于固定盘假设,有限元(FE)方法被容易地应用于上面提到的评论性文章2. 同样的，Cao 等13从一个有移动垫和固定盘的FE盘型制动模型模型研究了移动荷载效应，因此,陀螺仪的影响被忽视了。Giannini等15,16验证其合并模式行为,通过使用实验尖叫频率作为尖叫开始。另一方面，旋转盘型制动的稳定性已经调查了分析的方法。旋转盘型制动系统已经模拟了一个环形物10和一个环形板12恰当的与两个垫的接触，并且环形板受制于分布式摩擦牵引力9。考虑陀螺仪的影响，真正的部分特征值对系统参数的影响已经被解决了。尽管由

4、于复杂的旋转盘建模，旋转（FE）盘型制动建模仍旧没有被发展。最近，Kang等14 用综合法开发了一种理论盘型制动模型。盘型制动模型由一个旋转的环形板接触两个固定环的扇形板组成。综合分析法解释了被耦合模式和陀螺仪的影响下的稳定特性，并为使用与先前的尖叫文学的近似值和原理提供了物理背景。然而，它仍旧包含检查制动尖叫机制的限制，因为环形板的近似值并不接近存在于物理盘型制动的所有的模态行为。例如，平面模式盘和帽式模式盘。本文中，构建一个旋转的FE盘型制动模型的方法已经得到发展。因此，它使我们能够检查受制于旋转影响下的物理FE制动模型的尖叫原理。球型接触模型10 描述在板料的接触运动学利用配置发展之间的

5、接触模型旋转阀瓣和两个固定垫。从假设的模态法、运动方程进行的摩擦制动系统方程。数值实验结果表明几个尖叫模式,说明其尖叫机制。2. 运动方程的推导过程盘的部分制动系统被模拟成一个帽式盘型结构，如图1所示。帽式盘受制于内部旋转轴选定区域的边界条件和外半径的自由边界条件。由于复杂的几何,利用有限元模态分析。盘在与未达到常规载荷（N。）两固定垫接触时产生的摩擦应力下，以相对速度（）旋转。垫的摩擦材料被模拟为统一的接触刚（kc），在球形接触模型上定义其接触应力。由于制动尖叫问题的缓慢旋转，忽略离心力。图1 帽式盘型制动系统为了更好地描述接触运动学、位移向量盘和顶部的垫片是表现在参考坐标（图2），分别如下

6、：其中，上面的p1和p2分别表示顶垫和底垫，盘位移以当地坐标（图2）定义：图2 旋转盘的坐标系，参照()和局部()图3 球形接触模型的接触点P(或P´)的接触动力学：（a）接触位移；(b)接触力。垫顶摩擦材料上的P´与盘上的P点接触。 如图3所示，顶盘的摩擦材料上的接触点P被假定为与盘上的P点和顶板的外侧固定点R接触，于是得到： 盘和顶板的速度矢量由派生的时间得出。首先，盘的位置向量以局部坐标表示为： 为描述摩擦力的矢量方向，用时间表示接触盘的速度矢量，见式（6），在参考坐标系上：其中，坐标变换由不同的局部坐标转换如下：由于制动板是固定的，顶板P´点的速度矢量是式

7、（4）中时间的一部分：由库仑摩擦定律,接触摩擦力表示为：其中，标准载荷是前面力的总和，其变化为：顶接触的相对速度为：为了获得负斜率的作用，连续摩擦曲线14被用于如下：其中，s，k和是决定摩擦系数大小和斜率的控制参数，并假定摩擦系数统一用接触面的形心来计算。盘和垫部件的横向振动中所表达的扩展形式模型缩短了用于假定模型方法的模型：其中，Nd和Np分别是盘和垫的横向模式数。其中：和分别是第n个横向模式形函数征中获得最高的垫、阀瓣和底垫组件。径向轴承和切向振动, 和也可用莫代尔形式被写成相应的模式形函数：，模态坐标重新安排了向量形式证明离散化:拉格朗日方程的离散化的利用模态坐标,给出了合成摩擦力的运动

8、微分方程：其中U是非耦合的组成盘和两个垫的总应变能，并且有：其中，Vd和Vp分别是盘和垫的体积。在相似的方式获得虚拟工作和接触应变能在顶部接触, 底部接触和也可以被导出。图4 横向模态向量在z =ZK通过统一的平面，网格法插值：（a）模态向量不规则的网格;（b）统一模态矢量平面网插在极坐标。顶部接触摩擦力的方向矢量是被泰勒在稳定的滑动平衡状态下的阐述所限定的。具体如下：其中，h.o.t表示高阶条件，是在11中的摩擦力，并且因为5，10,11，14中的摩擦的渺小从动件的力量而在后来的分析中被忽略。利用有限元方法,横向模式形函数在矩阵进行离散形式：其长度与专栏的数量在组件有限元模型节点。其径向轴承

9、和切向模式的功能还可表示为和。图5 统一的平面网格方法：(b)模式形状不规则的网格；(b)模态向量的一个统一二维网A；(c)对均匀平面网模态向量的B。A:顶转子表面；B:顶帽子的表面。如式（23），从大众规范化和滑动稳定平衡的线性化，均匀部分的运动微分方程线性化的以（N*N）矩阵形式，如下：其中，系统矩阵描述如式（37）、（36）中附录A.带入的（A.1）-(A.7)，以及特征方程的结果在确定模态稳定性和频率的Im()。式（36）中每个系统矩阵的物理意义如下。式（37）中的是陀螺矩阵，C是阻尼矩阵的结构模态，是负斜率矩阵。负斜率的摩擦影响可参考17。是式（32）中的径向耗散矩阵。同时,w

10、78;是固有频率矩阵的阀瓣和垫组件, 是接触刚度矩阵。至于完全对称的刚度矩阵，是矩阵的非对称非保守性工作所产生的摩擦的一对。是由与式（32）中的有关的内面摩擦力导出的，但是，由于其微不足道14，随后的分析也忽略了。当地的接触模型10 结合摩擦的追随者部队也被称为康等14,其中由于在数值计算和分析方式中B的显性，摩擦力的影响在临街处被显示出来。图6 衍生工具的横向模态向量在zk=4mm处（n个模量，n=19）。(a) ，(b) ，(c) ，(d) 。在有限元途径,几个技术难点计算中遇到的变化规律,见式（27）-（31），并进行了总结：l 网格接触面积的阀瓣和垫应该是完全相同的,以连接有限接触力要

11、素对相同的接触位置的配套。l Td需要一个模态向量衍生的数值。尤其是陀螺矩阵中给出的： 其中，为解决上述情况，帽盘和每个垫应该是ANSYS（或其他先于FE软件过程）均匀的圆柱网状的坐标。在一般情况下，这个任务是非常复杂的，而不是为实际目的的建议。另外，统一离散目标将通过插值到均匀网格的不规则网格的模态向量。唯一的先决条件是这个任务离散在轴向方向上产生每一层平面垂直的轴网，那里的平面网格尚不统一（如图1）光盘的几何形状。然后，分配到每一层平面网的模态向量插值到均匀网格的那些利用MATLAB在极地，这将交由统一的平面网格法坐标。图4说明了如何在不规则的平面网状态矢量是平面上的均匀网格插值。有关不规

12、则网格（图5a）所示的模式形状，插在均匀平面网格模态矢量分配到转子和帽子部分是在图上表现为表面，如图5b和c。从平面网的统一，在圆柱坐标，数值型模式向量的第n衍生物可用计算，例如：其中，是的帽子盘，分别节点的数字，在圆柱坐标（r, ,z）。图6显示了几个型衍生的帽子，在给定盘zk的模态向量。为了分配在同一地点的有限接触力元的每个盘和垫的接触有限元，平面网接触面在光盘上定义采取垫接触面以及。此外，在垫接触的模态向量插值到定义的平面网的。连接盘和垫之间的接触力有限元素被称为图7和18。因此，体积和面积的数值集成在这样一种方式，如下： 其中，Mc, Mp分别表示的接触面积数量的节点，分别垫在柱坐标，

13、f，gd, gp与平面上的均匀网格插值模态向量相关的数量。如前所述，目前的模型之间的和以前的陀螺环形板模型的主要区别之一是从不同的振动盘几何取得模式。康等 14，光盘的振动模式是唯一的环形板的横向模式。在汽车应用中，但是，横向模式近似无法捕捉到的一般模式的行为，例如，在平面模式，帽式模式，等等。图8说明帽子的铁盘模型的几个振动模式，环形板近似值是不可能捕获。图7 计划接触网：(a)不规则网格；(b)接触力分配至（rj，j）对同一接触面均匀网格图8 帽式盘的几个振动模式3. 数值结果数值仿真是为了导出表1和表2中的系统参数。下面的数值稳定性分析将分为两部分：恒定的摩擦系数和速度相关的摩擦系数。图

14、9说明摩擦速度在随后的数值分析方法曲线。依赖速度的摩擦系数是负斜率的线性矩阵Ns，然而，消失的负面影响斜坡下的摩擦系数不变的假设。通过模态分析得到在k c= 0处的固有频率可以在K = 0处发现，如图10。其中，3431和5720Hz分别对应于垫的第一个弯曲和扭转模态，而1365赫兹对应光盘的面内扭转模式。表1 盘的标准值参数表2 垫的标准值参数图9 常量摩擦系数（断裂线：=0.42）和依靠速率的摩擦系数（s=0.5,k=0.32,=1.0）图10 图中刚度频域的稳定性是为了变化的摩擦系数。标记“。”表示Re(n)>0是偶和摩擦系统（kc0，=0.42，N=92）的n个模型，n=0.00

15、2，K%=100*kc/knom。3.1 衡量摩擦系数假定 在常量摩擦系数的假定下，与摆动模型有关的尖叫原理是由特征值的敏感分析调查出来的。接触刚度和摩擦系数都选择了以下敏感性分析的参数。图10展示了尊重在=5rad/s处的接触刚度变化的耦合摩擦系统（kc0，=0.42）的频率轨迹。在刚度频域，不稳定的频率位点识别位点的频率所对应的特征值实部具有积极的标记。该模式的形状与不稳定的频率位点是检查尖叫声符。垫僵化模式和第三盘横双峰模式对被发现参与了尖叫声模式，如图11a和11b。它是有关跟踪的频率和展示方面的摩擦在下列模式之间相邻双模式耦合系数实部的位点。图11阐述了垫的两个精确模型下的二元摆动模

16、型的逐渐止住。从无旋转效应的特征值轨迹所显示出的合并的模型特点来看，可以发现，二元模型中的耦合模型足可以保证由Re()的分裂分支导致的莫代尔不稳定性。旋转效应影响通过改变我旋转盘近似值14（我旋转效应的盘模型） 的特征值轨迹的均衡稳定性。特别地，Re()轨迹的修正要归于莫代尔阻尼间距。在-Re()区域，放射状的耗散效应的径向旋转，而两者之间的径向模态耗散（粘性阻尼）条款分离围绕枢轴点的歌（）顺时针位点（= 0）增加关键，破坏了通过加强对稳定滑动平衡的Re（），这是所谓的分裂“粘性阻尼不稳定19”。由于这种特征值扰动已解析旋转效果调查14。图11 在K = 100 处的模式25,26的特征值轨迹

17、如图10，所示，由旋转效果（实线）和W / O旋转效果（虚线）组成：(a)模式的形状；(b)频率位点；(c)实部位点。图12展示了图10中的模型13,14与在第三盘与横向的双峰对和他们的耦合模态下产生不稳定性的联系。耦合模式的旋转效果也可在图12b和12c上看到。由于盘的一对双峰模式，陀螺仪进一步参与破坏稳性性的作用是因为盘的旋转。陀螺效应也已经被证明是Re()的加强分裂14。图12 在K = 100 处的模式13,14的特征值轨迹如图10所示，由转效果（实线）和W / O旋转效果（虚线）组成：(a)模态，(b)频率轨迹，(c)实部轨迹。图13 稳定的刚度频率地图在=20 rad/s处的变量摩

18、擦系数（=0.42） 与图13相比，改变图10的模型稳定的地区显示出旋转速度的增长。因为在非保守制动系统上陀螺的不稳定，附加的尖叫模型出现在较高的速度。图14说明了尖叫模型的模型体以=20rad/s出现，但是在=5rad/s时处于稳定。通过使用综合分析的模型，Kang等14已经解释了陀螺的摩擦耦合模型中的陀螺的不稳定阻挡物。由于陀螺的摩擦耦合模型与是成比例的，可以说在图13中新出现的尖叫模型因为的增长而有足够大的耦合摩擦力。因此，旋转盘式制动系统的依赖旋转的Re()可能是在精确的预测尖叫声发生方面的主题。3.2 依赖速度的摩擦系数常量摩擦系数在制动尖叫分析上已经是一种常规的假设。然而，这种假定

19、不能捕获尖叫特性是怎样止住依赖旋转的摩擦曲线的。由于一个自动制动垫的摩擦材料在尊重变化的速度的前提下，通常形成负的典型斜率的摩擦曲线20，负斜率的作用应考虑摩擦所引起的震动可能机制。然而，摩擦系数的大小变化将直接影响盘的旋转速度的尖叫倾向。因此，如图9所示，依赖速度的摩擦系数被使用在下面的稳定性分析。对于在滑动稳定的平衡中依赖旋转的尖叫的示范倾向，Re()可追溯到关于盘的旋转速度。在图15中，垫的精确的模式和盘的面内扭转模式的尖叫倾向显示出随着旋转速度的减小而增加，因此第三和第四盘的双峰模式在某些低转速下变得稳定。因为负斜率的影响，还发现分歧不稳定性在增加。图14 在K=100%和=0.42处

20、的附加尖叫模型应归于图13中的增加，(a) 模式19,20；(b) 模式39,40.(b) 当负斜率型摩擦曲线被介绍是，一个有趣的尖叫模式（即如图16所示的盘的平面扭转模式）出现了。由面内模式的耦合模式不能被纳入B，但在F中，因为面内模式不具备外平面位移，而由于旋转而产生摩擦力。众所周知，在摆动的不稳定性上F的影响是微不足道的。因此，值得注意的是，盘式尖叫模式不影响耦合模式，而是纯粹的负斜率造成的影响。图15 特征值的实部与在K=100%处的盘的转速（rad/s）。由依赖速度的摩擦曲线和相应的稳定曲线图得，可以认定的是，对于旋转速度的盘式制动系统的尖叫倾向是依与尖叫模式有关的震动模式而定的。图

21、16 图15中的面内扭转模式（1365 Hz）。4. 结论与讨论在与两个固定垫接触的一个旋转的帽式盘的有限元模型已经被构建出来了。统一的平面网状方法使我们能计算出数值派生物和在系统矩阵下的综合结果。运动的线性方程组决定了在陀螺的非保守盘式制动系统中的滑动稳定的均衡。 在分析中，两种类型的尖叫机制已发现：耦合模式型和负斜率型。耦合模式的影响可以被自由旋转的近似值中合并模式的特性证明出来。在耦合模式的二元模式中，旋转效果由陀螺的作用、摩擦力的放射成分、摩擦系数的负斜率，以及与滑动速度有关的变化的摩擦参数产生。特别的，负斜率的影响对像盘的面内扭转模型一样的非耦合模型的普遍尖叫起着重要作用。每个旋转效

22、应都有助于依靠盘的旋转速度而定的尖叫倾向。 对于与旋转速度有关的尖叫倾向的确定，依赖速度的摩擦曲线应该在尖叫分析中被介绍。从数值计算来看，发现与旋转速度有关的尖叫倾向依赖与参与尖叫模式下的振动模式。【鸣谢】 作者感谢Purdue大学的Charles Krousgrill教授和Farshid Sadeghi教授提供的关于制动尖叫研究的建议。 其中，下标P和P_分别表示顶部和底部在z=h/2和z=-h/2处的接触区域。n和n是盘和垫部件的阻尼系数和环的固有频率，并且有： 表示在滑动速度下的摩擦系数的斜率。【参考文献】1 Kinkaid NM, OReilly OM, Papadopoulos P.

23、 Automotive disc brake squeal. Journal of Sound and Vibration 2003;267:10566. 2 Ouyang H, Nack W, Yuan Y, Chen F. Numerical analysis of automotive disc brake squeal: a review. International Journal of Vehicle Noise and Vibration 2005;1:20731. 3 Nack W. Friction induced vibration: brake moan, SAE pap

24、er ; 1995. 4 Chowdhary HV, Bajaj AK, Krousgrill CM. An analytical approach to model disc brake system for squeal prediction. In: Proceedings of ASME DETC, Pittsburgh, September 2001. p. 912. 5 Flint J, Hulten J. Lining-deformation-induced modal coupling as squeal generator in a distributed parameter

25、 disc brake model. Journal of Sound and Vibration 2002;254:121.6 Huang J, Krousgrill CM, Bajaj AK. An efficient approach to estimate critical value of friction coefficient in brake squeal analysis. Journal of Applied Mechanics 2007;74:53441. 7 Kang J, Krousgrill CM, Sadeghi F. Dynamic instability of

26、 a thin circular plate with friction interface and its application to disc brake squeal. Journal of Sound and Vibration 2008;316:16479. 8 Kang J, Krousgrill CM, Sadeghi F. Analytical formulation of mode-coupling instability in discpad coupled system. International Journal of Mechanical Science 2009;

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28、lity of an elastic disk under the action of a rotating friction couple. Journal of Applied Mechanics 2004;71: 7538.12 Hochlenert D, Korspeter GS, Hagedorn P. Friction induced vibrations in moving continua and their application to brake squeal. Journal of Applied Mechanics 2007;74:5429. 13 Cao Q, Ouy

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31、equency squeal on a laboratory brake setup. Journal of Sound and Vibration 2008;310:394408.17 Ouyang H, Mottershead JE. Friction-induced parametric resonances in discs: effect of a negative frictionvelocity relationship. Journal of Sound and Vibration 1998;209(2):25164. 18 Huang J, Krousgrill CM, Ba

32、jaj AK. Modeling of automotive drum brake for squeal and parameter sensitivity analysis. Journal of Sound and Vibration 2006;289:24563.19 Hoffmann N, Gaul L. Effects of damping on mode-coupling instability in friction induced oscillations: imperfect merging of modes and viscous instability. Zeitschr

33、ift fu¨ r Angewandte Mathematik und Mechanik 2003: 52434. 20 Kang J, Choi S. Brake dynamometer model predicting brake torque variation due to disc thickness variation. Proceedings of the IMechE, Part D: Journal of Automobile Engineering 2007;221:4955.Squeal analysis of gyroscopic disc brake sys

34、tem based on finite element methodJaeyoung KangAbstractIn this paper, the dynamic instability of a car brake system with a rotating disc in contact with two stationary pads is studied. For actual geometric approximation, the disc is modeled as a hat-disc shape structure by the finite element method.

35、 From a coordinate transformation between the reference and moving coordinate systems, the contact kinematics between the disc and pads is described. The corresponding gyroscopic matrix of the disc is constructed by introducing the uniform planar-mesh method. The dynamic instability of a gyroscopic

36、non-conservative brake system is numerically predicted with respect to system parameters. The results show that the squeal propensity for rotation speed depends on the vibration modes participating in squeal modes. Moreover, it is highlighted that the negative slope of friction coefficient takes an

37、important role in generating squeal in the in-plane torsion mode of the disc.Keywords Gyroscopic; Disc brake; Brake squeal; Mode-coupling1. IntroductionDisc brake squeal has been investigated by many researchers for several decades. Much valuable information on squeal mechanisms has been accumulated

38、 throughout the research. Kinkaid et al. 1 presented the overview on the various disc brake squeal studies. Ouyang et al. 2 published the review article focused on the numerical analysis of automotive disc brake squeal. They have shown that one major approach on brake squeal study is the linear stab

39、ility analysis. From the linearized equations of motion, the real parts of eigenvalues have been calculated for determining the equilibrium stability. In the literature, there are two major directions on the linear squeal analysis: the complex eigenvalue analysis of the static steady- sliding equili

40、brium 38 and the stability analysis of rotating brake system 912,14. The stability analysis at the static steady-sliding equilibrium of the stationary disc and pads provides the squeal mechanism as mode-merging character in the frictionfrequency domain. Parti- cularly, Huang et al. 6 used the eigenv

41、alue perturbation method to develop the necessary condition for mode-merging without the direct eigensolutions. Kang et al. 7 derived the closed-form solution for mode-merging between disc doublet mode pair. Due to the stationary disc assumption, the finite element (FE) method has been easily implem

42、ented as referred to the review article 2. Alternately, Cao et al. 13 studied the moving load effect from a FE disc brake model with moving pads, where the disc was stationary, and therefore, the gyroscopic effects were neglected. Giannini et al. 15,16 validated the mode-merging behavior as squeal o

43、nset by using the experimental squeal frequencies. On the other hand, the stability of a rotating disc brake has been investigated in the analytical manner. The rotating disc brake system has been modeled as a ring 10 and an annular plate 12 in point contact with two pads, and an annular plate subje

44、ct to distributed frictional traction 9. With inclusion of gyroscopic effect, the real parts of eigenvalues have been solved with respect to system parameters. Due to the complexity of the rotating disc modeling, however, a rotating FE disc brake model has not been developed yet.Fig. 1. Hat-disc bra

45、kesystem.Fig. 2. Coordinate systemoftherotatingdisc,reference(y) andlocal(c) coordinates.Recently, Kang et al. 14 developed a theoretical disc brake model in the comprehensive manner. The disc brake model consists of a rotating annular plate in contact with two stationary annular sector plates. The

46、comprehensive analysis explained the stability character influenced by mode-coupling and gyroscopic effect, and provided the physical background on the approxima- tions and mechanisms used in the previous squeal literature. However, it still contains limitations on examining brake squeal mechanisms

47、since the annular plate approximation does not represent all of modal behaviors existing on the physical disc brake, for example, the in-plane mode and hat mode of the disc. In this paper, the methodology of constructing a rotating FE disc brake model is developed. Consequently, it enables us to exa

48、mine the squeal mechanisms in the physical FE brake model subject to rotation effects. The global contact model 10 describing the contact kinematics under the undeformed config- uration is utilized to develop contact modeling between the rotating disc and two stationary pads. From the assumed mode m

49、ethod, the equations of motion of the friction-engaged brake system are derived. The numerical results demonstrate several squeal modes and explain the corresponding squeal mechanisms.2. Derivation of equations of motionThe disc part of a brake system is modeled as a hat-disc shape structure as show

50、n in Fig. 1. The hat-disc is subject to the clamped boundary condition at the inner rotating shaft and the free boundary condition at the outer radius. Owing to the complexity of the geometry, the finite element method is utilized for modal analysis. The disc rotation with constant speed（）generates

51、friction stresses over the contact with two stationary pads loaded by pre-normal load （N0）. The friction material of the pad is modeled as the uniform contact stiffness (kc), where contact stresses are defined on the global contact model. Centrifugal force is neglected due to the slow rotation in th

52、e brake squeal problem. In order to describe the contact kinematics, the displacement vectors of the disc and top pad are expressed in the reference coordinates (Fig. 2), respectively, such thatwhere the superscripts, p1 and p2 denote the top and bottom pads, respectively, and the disc displacement

53、is also defined in the local coordinates(Fig. 2):As shown in Fig. 3, the contact point P of friction material of the top pad is assumed to be in contact with P of the disc and laterally fixed with R of the top pad, which results inFig. 3. Contact kinematicsatacontactpoint P (or P0) in the global con

54、tact model:(a)contact displacements; (b) contact forces. P0 of friction material of the top pad is in contact with P of the disc.The velocity vectors of the disc and top pad are obtained from the following time-derivatives. First, the position vectors of the disc are expressed in the local coordinat

55、es asFor describing the direction vector of friction force, the contact velocity vector of the disc is derived by taking the time-derivative in Eq. (6) in the reference coordinates:where the coordinate transformation is given by the differentia- tion in the local coordinates such thatSince the brake

56、 pad is stationary, the contact velocity vector at P of the top pad is simply the partial time-derivative of Eq. (4):From Coulombs law of friction, contact friction force is expressed aswhere the normal load is the sum of pre-stress (p0=N0/Ac) and the normal load variation:and the relative velocity

57、at top contact is given byIn order to capture the negative slope effect, the continuous friction curve 14 is used such thatWhere s,k and are the control paramerers determining the magnitude and the slope of the friction coefficient, and the friction coefficient is assumed to be uniform and calculated at the centroid of the contact area (rctr).The transverse vibrations of the disc and pad components are expressed in the modal expansion form of N= ( Nd + 2Np ) truncated modes using the assumed mode method: are the nth transv