导数的概念经典

1、教学内容一：导数的概念教学目的：使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的 定义求导数的一般方法教学重点：导数的概念是本节的重点和难点教学过程：一、复习(导数定义的引入)1瞬时速度：非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度2怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在关系，那么我们就会计算任意一段的平均速度，通过平均速度来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？二、新课 我们现在会算任意一段的

2、平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的时间段内的平均速度，请同学们看下面的表格表格1问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2）关于这些数据，下面的判断对吗？2当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1。3 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；4 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；5 -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1。 这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1，现在我们一起回忆一下是如何得到的： 首先，算

3、出上的平均速度=，接着观察当趋近于0时，上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度。为了表述方便，我们用 表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于确定值-13.1”。 结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值三函数在处的瞬时变化率如何表示？导数的定义：函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即=。 例如：2秒时的瞬时速度可以表示为或。 附注：导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；定义的变化形式：=；=；=；，当时，所以求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。四典例分析：例1（1

4、）求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求f=y=f(x)-f()=6x+(x)2, 再求再求 解：（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解： 例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义 解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和根据导数定义，所以；同理可得: 意义：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升 注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况五课堂练习1

5、质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为2求曲线y=f(x)=x3在时的导数3.若（ ） A 2k B k C ½k D 以上都不是六、小结1导数就是瞬时变化率；2导数的计算公式：=。3. 求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限”教学内容二：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及导数的几何意义教学重点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一、导函数：如果在开区间(a,b)内每一点都是可导的，则称在区间(a,b)可导。这样，对开区间(a,b)内每个值x，都对应一个确定的导数、于是，在区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数，记为 导

6、函数通常简称为导数，如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数。2、 1、基本初等函数的导数公式表函数导数2、 导数的运算法则导数运算法则1233、推论：（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三、导数的几何意义：设函数的图像如图所示，AB为过点与的一条割线，由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率。当低昂B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线过点A的切线，即=切线AD的斜率由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于练习题：1、求切线方程(1)求曲线x2-y=0在点（2，4）处的切线的方程. (2)曲线y=x2

7、在点P的切线斜率是-4,求点P的坐标.(3)求曲线y=在点（3，）处的切线斜率.(4)求过点P（3，5）且与曲线y=x2相切的直线方程.(5)求曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴、x=2所围成的三角形的面积。2.用导数公式表求下列函数的导数：y=x4 y=e5y=5xy=tan x f(x)=3-2x H(t)=-2t2+6t-5 g(x)=3x2 - F(u)=u3.设曲线上的点处的切线平行于直线.（1）求切点；（2）求切线的方程4. 若，则=，=，=， =。5.已知曲线上一点，求：（1）点A的切线的斜率（2）点A处的切线方程6.设函数在点处可导，试求下列各极限的值1；2 3若，则等于

8、（ ） A1 B2 C1 D教学内容三：导数与函数单调性教学目的：能够运用导数与函数单调性的关系解决相关习题教学重点：掌握导数与函数单调性的关系教学过程： 1问题：如图（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：4. 运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数相应地，5. 从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数相应地，2函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导

9、数正负的关系结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数3求解函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间二、典例分析例1已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，试画出函数图像的大致形状例2判断下列函数的单调性，并求出单调区间； ； 例3如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与

10、时间的函数关系图像 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快反映在图像上，（A）符合上述变化情况同理可知其它三种容器的情况思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些例4求证：函数在区间内是减函数说明：证明可导函数在内的单调性步骤：（1）求导函数；（2）判断在内的符号；（3）做出结论：为增函数，为减函数例5已知

11、函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围例6已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.3、 课堂练习1.若f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且x(a,b)时，f(x)>0,又f(a)<0,则A.f(x)在a,b上单调递减，且f(b)>0B.f(x)在a,b上单调递增，且f(b)<0C.f(x)在a,b上单调递减，且f(b)<0D.f(x)在a,b上单调递增，但f(b)的符号无法判断2.函数y=3xx3的单调增区间是A.(0,+)B.(,1) C.(1,1)D.(1,+)3.f(x)=x+ (x>0)的单调减区间是A.(2,+) B.(0,2) C

12、.(,+) D.(0, )4 若函数的减区间为，则的范围是A B C D 5 定义在R上的函数的导数，其中常数，则函数A 在上递增 B 在上递增 C 在上递增 D 在上递减6 函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线, 则的图象的顶点在 ( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限7.设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如右图，则导函数f(x)的图象可能是(）8.三次函数f(x)=x33bx+3b在1，2内恒为正值，求b的取值范围.9.已知函数，.（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围教学内容四：导数的极值与最值教学目的：能够

13、运用导数相关知识解决极值与最值问题教学重点：掌握解决极值与最值问题的技巧教学过程：一、创设情景，导入新课1观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在t=a处的导数是多少呢？（2）在点t=a附近的图象有什么特点？ （3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？共同归纳: 函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当ta时,函数单调递增, 0;当ta时,函数单调递减, 0,即当t在a的附近从小到大经过a时, 先正后负,且连续变化,于是h/(a)=0. 当x变化时

14、, ,f(x)的变化情况如下表:x(-,a)a(a,+)+0+f(x)单调递增单调递减二、探索研讨1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：（1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?（3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?2、极值的定义: 设函数f（x）在a附近有定义，如果对a附近的所有的点，都有f（x）>f（a），则我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；如果对a附近的所有的点，都有f（x）<f（a），

15、则我们把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点x0取得极值的充要条件吗？ 充要条件：且点x0的左右附近的导数值符号要相反4、引导学生观察图1.3.10，回答以下问题：（1）找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？（2）极大值一定大于极小值吗？5、随堂练习: 如图是函数y=f(x)的图像,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数y=的图象?三、讲解例题例1：求函数的极值归纳：求函数y=f(x)

16、极值的方法是: 1.求, 2.解方程=0,当=0时: 3.（1）如果在x0附近的左边0,右边0,那么f(x0)是极大值. （2）如果在x0附近的左边0,右边0,那么f(x0)是极小值例2：求函数在0,3上的最大值与最小值。练习题：1函数在内有最小值，则的取值范围是（ ）A B C D 2函数的最小值是（ ）A 0 B C D 3给出下面四个命题：（1）函数的最大值为10，最小值为；（2）函数的最大值为17，最小值为1；（3）函数的最大值为16，最小值为16；（4）函数无最大值，无最小值。其中正确的命题有A 1个 B 2个 C 3个 D 4个4函数的最大值是_，最小值是_。5函数的最小值为_。6已知为常数），在2，2上有最大值3，求函数在区间