实验五线性卷积与循环卷积的计算

1、实验五 线性卷积与循环卷积的计算一、实验目的1、进一步加深对线性卷积的理解和分析能力；2、通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力；3、掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，并验证二者之间的关系。二、实验原理1、线性卷积线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or L. T. I系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为，系统的单位脉冲响应为，输出序列为，则系统输出为：或 上式称为离散卷积或线性卷积。图6.1示出线性时不变系统的输入、输出关系。L. T. Ih(n)  L. T. I  图6.1 线性时不变系统的输入、

2、输出关系2、循环卷积D F T设两个有限长序列和，均为点长D F T 如果则 N上式称为循环卷积或圆周卷积注：为序列的周期化序列；为的主值序列。上机编程计算时，可表示如下：3、两个有限长序列的线性卷积序列为点长，序列为点长，为这两个序列的线性卷积，则为且线性卷积的最大长，也就是说当和时。4、循环卷积与线性卷积的关系序列为点长，序列为点长，若序列和进行N点的循环卷积，其结果是否等于该两序列的线性卷积，完全取决于循环卷积的长度：当时循环（圆周）卷积等于线性卷积，即N当时，循环卷积等于两个序列的线性卷积加上相当于下式的时间混叠，即三、实验方法对于无限长序列不能用MATLAB直接计算线性卷积，在MAT

3、LAB内部只提供了一个conv函数计算两个有限长序列的线性卷积。对于循环卷积MATLAB内部没有提供现成的函数，我们可以按照定义式直接编程计算。例6.1：已知两序列： 求它们的线性卷积yl(n)=h(n)*x(n)和N点的循环卷积yc=h(n)* x(n)n，并研究两者之间的关系.MATLAB实现程序：（1） 循环卷积的函数function yc=circonv(x1,x2,N)%realize circular convolution use direct method%y=circonv(x1,x2,N)%y:output sequences%x1,x2:input sequences%N

4、:circulation lengthif length(x1)>Nerror(N must not be less than length of x1);endif length(x2)>Nerror(N must not be less than length of x2);end%以上语句判断两个序列的长度是否小于Nx1=x1,zeros(1,N-length(x1);%填充序列x1(n)使其长度为N1+N2-1(序列%h(n)的长度为N1，序列x(n)的长度为N2)x2=x2,zeros(1,N-length(x2);%填充序列x2(n)使其长度为N1+N2-1n=0:1:

5、N-1;x2=x2(mod(-n,N)+1);%生成序列x2(-n)NH=zeros(N,N);for n=1:1:NH(n,:)=cirshiftd(x2,n-1,N);%该矩阵的k行为x2(k-1-n)Nendyc=x1*H;%计算循环卷function y=cirshiftd(x,m,N)%directly realize circular shift for sequence x%y=cirshiftd(x,m,N);%x:input sequence whose length is less than N%m:how much to shift%N:circular length%y

6、:output shifted sequenceif length(x)>N error('length of x must be less than N');endx=x,zeros(1,N-length(x);n=0:1:N-1;y=x(mod(n-m,N)+1); （2） 研究两者之间的关系clear all;n=0:1:11;m=0:1:5;N1=length(n);N2=length(m);xn=0.8.n;%生成x(n)hn=ones(1,N2);%生成h(n)yln=conv(xn,hn);%直接用函数conv计算线性卷积ycn=circonv(x

7、n,hn,N1);%用函数circonv计算N1点循环卷积ny1=0:1:length(yln)-1;ny2=0:1:length(ycn)-1;subplot(2,1,1);%画图stem(ny1,yln);subplot(2,1,2);stem(ny2,ycn);axis(0,16,0,4);  运行结果4、 实验语句及结果function yc=circonv(x1, x2, N)if length(x1)>N error('N必须大于等于x1的长度');endif length(x2)>N error('N必须大于等于x2的长度&

8、#39;);endx1=x1, zeros(1,N-length(x1);x2=x2, zeros(1,N-length(x2);n=0:1:N-1;x2=x2(mod(-n, N)+1); H=zeros(N, N);for n=1:1:NH(n,:)=cirshiftd(x2, n-1, N);endyc=x1*H' %计算圆周卷积function y=cirshiftd(x, m, N) if length(x)>N error('x的长度必须小于N');endx=x, zeros(1, N-length(x);n=0:1:N-1;y=x(mod(n-m,N

9、)+1);x(n)y(n)clear allxn=1 2 3 4 5;hn=1 2 1 2;N1=length(xn);N2=length(hn);y1n=conv(xn, hn);ycn=circonv(xn, hn, 5);ny1=0:1:length(y1n)-1;ny2=0:1:length(ycn)-1;subplot(2,1,1);stem(ny1, y1n);subplot(2,1,2);stem(ny2, ycn);x(n)y(n)clear all;N1=5;N2=4;xn=1 2 3 4 5; hn=1 2 1 2;yln=conv(xn,hn);ycn=circonv(x

10、n,hn,6);ny1=0:1:length(yln)-1;ny2=0:1:length(ycn)-1;subplot(2,1,1);stem(ny1,yln);ylabel('线性卷积');subplot(2,1,2);stem(ny2,ycn);ylabel('圆周卷积');x(n)y(n)clear all;N1=5;N2=4;xn=1 2 3 4 5;hn=1 2 1 2;yln=conv(xn,hn);ycn=circonv(xn,hn,9);ny1=0:1:length(yln)-1;ny2=0:1:length(ycn)-1;subplot(2,1

11、,1);stem(ny1,yln);ylabel('线性卷积');subplot(2,1,2);stem(ny2,ycn);ylabel('圆周卷积');x(n)y(n)clear all;N1=5;N2=4;xn=1 2 3 4 5; hn=1 2 1 2;yln=conv(xn,hn);ycn=circonv(xn,hn,10);ny1=0:1:length(yln)-1;ny2=0:1:length(ycn)-1;subplot(2,1,1);stem(ny1,yln);ylabel('线性卷积');subplot(2,1,2);stem(ny2,ycn);ylabel('圆周卷积');五、思考题解答（4）线性卷积运算一般步骤为：求x1(n)与x2（n） 的线性卷积；对x1(m)或x2（m）先进行镜像移位x1（-m），对移位后的序列再进行从左至右的依次平移x(n-m),当n=0,1,2.N-1时，分别将x(n-m)与x2（m）相乘，并在m=0,1,2.N-1的区间求和，便得到y（n）。 圆周卷积运算一般步骤为：在圆周卷积过程中，求和变量为m，n为参变量，先将x2(m)周期化，形成x2(m)N,再反转形成x2(-m)N,取主值序列则得到x2(-m)NRN(m),通常称之为x2(m)的圆周反转。对x