复数的几何意义及应用

1、复数的几何意义及应用一、教学目标：(一)知识与技能:通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。(二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力;2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点；3、提高知识之间的理解与综合运用能力。(三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用四、教学工具：计算机、投影仪五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法六、教学过程：(一

2、)设置情境，问题引入问题1：复数z的几何意义？设复平面内点Z表示复数z= a+bi（a，bR），连结OZ，则点Z， ，复数z= a+bi（a，bR）之间具有一一对应关系。直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应 一一对应 一一对应向量 复数z=a+bi问题2：z的几何意义？若复数z= a+bi（a，bR）对应的向量是，则向量是的模叫做复数z= a+bi（a，bR）的模，|z|=| a+bi |=（a，bR）。问题3：z1-z2的几何意义？两个复数的差所对应的向量就是连结并且方向指向（被减数向量）的向量,(二)探索研究根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程：1圆的定义:平面内到定点的

3、距离等于定长的点的集合(轨迹)设以为圆心， 为半径的圆上任意一点,则 （1）该圆向量形式的方程是什么? （2）该圆复数形式的方程是什么? （3）该圆代数形式的方程是什么? 2椭圆的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的和等于常数(大于)的点的集合(轨迹)设是以为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一点,则 （1）该椭圆向量形式的方程是什么? （2）该椭圆复数形式的方程是什么? 变式:以为端点的线段（1）向量形式的方程是什么? （2）复数形式的方程是什么? 3双曲线的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的差的绝对值等于常数(小于) 的点的集合(轨迹)设是以为焦点，2a为实轴长的双曲线的上任意一点,则

4、 （1）该双曲线向量形式的方程是什么? （2）该椭圆复数形式的方程是什么? 变式:射线（1）向量形式的方程是什么? （2）复数形式的方程是什么? 变式：以为端点的线段的垂直平分线（1）该线段向量形式的方程是什么? 即（2）该线段复数形式的方程是什么? 即（三）应用举例例1复数 z 满足条件z+2-z-2=4， 则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（ ）（A） 双曲线 （B）双曲线的右支 （C）线段 （D）射线答案：（D）一条射线变式探究：（1）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是两条射线，复数 z 应满足什么条件？（2）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是线段，复数 z 应满足什么条件？（3）若复数

5、z 所对应的点 Z 的轨迹是双曲线的右支，复数 z 应满足什么条件？（4）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是双曲线，复数 z 应满足什么条件？（5）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是椭圆，复数 z 应满足什么条件？（6）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是线段的垂直平分线，复数 z 应满足什么条件？例2若复数z满足条件， 求的最值。解法1：（数形结合法）由可知，z对应于单位圆上的点Z； 表示单位圆上的点Z到点P（0，2）的距离。 由图可知，当点Z运动到A（0，1）点时，,此时z=i； 当点Z运动到B（0，-1）点时，, 此时z=-i。解法2：（不等式法） ，解法3：（代数法）设，则 ，即 当，即时，； 当，即时，=3,解法4：（性质法） ，即 当，即时，； 当，即时，,变式探究：（1） ， ；0；2（2） ， ；（3） ， ；（4） ， ；例3已知z1、z2C，且， 若，则的最大值是（）（A）（B）（C）（D）解法1： 的最大值是4解法2：, ,即 表示以原点为圆心，以1为半径的圆； 表示以（0，2）为圆心，以1为半径的圆。 的最大值为两圆上距离最大的两点间的距离为4。(四)反馈演练：1 复数z满足条件z+i+z-i=， 则z+i-1的最大值是_ 最小值是_. 12 复数z满足条件z-2+z+i=， 则z