基本积分方法

1、§2 基本积分方法一、换元积分法 1第一类换元积分法：设f(u)，为连续函数，可导，且，则常见的凑微分形式： 例2.1计算解:令，则 =。例2.2计算下列积分：（1）； （2）解：（1）（2） 2第二类换元积分法：单调、可导且，又有原函数。则第二类换元法中常用的变量代换： 三角代换：变根式积分 Þ 三角有理式积分注意：辅助三角形可为变量还原提供方便。 倒数代换：可消去分母中的变量x。 指数代换： 适用被积函数由a x 或e x 构成的代数式。例2.3计算积分解：令例2.4计算积分。解：=例2.5计算积分解：令，则 =二、分部积分法分部积分公式： 分部积分法条件： u，v 具

2、有连续导数。选取u，v 的原则： 可用分部积分法求积分的类型：u(x)u，v 可任选dvu(x)dv例2.6 计算积分。解：原式=例2.7 计算积分解： 。例2.7设，计算。解：，设，则，。= 。三、几种特殊类型的积分：1有理函数的积分 部分分式之和的积分对于任意有理函数，存在一个固定的代数算法，可以把它分解为四种基本形式的有理分式的和，而这四种基本形式的有理分式存在相应的积分公式。列出如下：(1) (2) (3) (4)其中；dt=dx；。可以很容易地求出（4）中的第一个积分为。而对于第二个积分式，我们可以得到递推公式，其中：。【注意】从理论上讲，任意有理函数的积分都可以被积出来，但要分析被

3、积函数的特点，灵活选择解法，常用的方法中有凑微分法和变量替换法。例2.8 计算积分。解： =例2.9 计算下列积分（1）； （2）解：（1）令，则，于是原式= = =（2）令，则，于是原式= =2三角函数有理式的积分 有理函数的积分由，及常数，经过有限次四则运算所得到的函数称为三角函数有理式，记作：，积分称为三角函数有理式积分。【解题方法】 尽量使分母简单，为此可以分子、分母同乘以某个因子，把分母化成 sinkx 或 coskx 的单项式，或将分母整个看作一项。 尽量使 R(cosx，sinx) 的幂降低，常用倍角公式或积化和差公式。常用积化和差公式：倍角公式：， 在积分的过程中注意“”的妙用

4、。例2.10 计算下列积分（1）；（2）；（3）。解： 故 原积分= （2） = = =（3） = = 故 原积分= =3无理函数的积分有理函数的积分无理函数的积分，一般是通过选择变量替换，化为有理函数的积分来进行。【解题方法】 利用第二类换元法中的三角代换； 若被积函数含有，可令，； 若被积函数含有，可令，其中m，n为正整数，p为m，n的最小公倍数。【注意】无理函数分子或分母可有理化时，应先有理化。例2.11 计算积分解：令原积分= =。四、分段函数的积分 连续函数必有原函数，且原函数连续。因此有 如果函数在分界点连续，则在包含该点的区间内原函数存在。 如果分界点是函数的间断点，那么在包含该

5、点的区间内，不存在原函数。 【解题方法】 方法一 先分别求出函数的各分段在相应区间内的原函数； 由原函数的连续性确定出各积分常数之间的关系。方法二 利用变上限积分函数，先求出的一个原函数，则有=+C（注意：方法二省去了确定常数的麻烦）例2.12 设，求。解法一：由于f (x)在在x=0连续，故f (x)的原函数存在，因此先分别求出 f (x)在(，0)，(0，+)内的原函数。由原函数F(x)的连续性，考虑F(x)在x= 0处的左、右极限，得 解法二：设f (x)的一个原函数为，而=故 =。例2.13 求。解：由于min1,x²在x=1，x=1连续，故min1,x² 的原函数存在，因此先分别求出min1,x²在(，1)，(1，1)，(1，+ )内的原函数。由原函数F(x)的连续性，考虑F(x)在x=1，x=1处的左、右极限，得故 ，。因此 五、抽象函数的积分所谓抽象函数的不定积分，是指被积函数由抽象函数所构