大数定理与中心极限定理

1、第五章 大数定理与中心极限定理一、教学要求 1掌握切比雪夫不等式 2了解切比雪夫、伯努里、辛钦大数定律成立的条件及结论，理解其直观意义 3掌握棣莫弗拉普拉斯中心极限定理和列维林德伯格中心极限定理(独立同分布中心极限定理)的结论和应用条件，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率二、难点、重点： 1、运用中心极限定理近似计算有关随机事件的概率三、教学内容： 1切比雪夫不等式 设随机变量X的数学期望及方差存在，则对任何正数，有或 证明：此处依照为连续型给予证明 设的概率密度为，则： 由此： 也成立。 切比雪夫不等式表明：随机变量X的方差越小，则事件发生的概率越大，即X的取值基本上集中在它的期望附近

2、，由此可见，方差刻画了随机变量取值的离散程度。 美国教材中的“切比雪夫定理”：随机变量落在均值的个标准差区间内的概率至少为， 即： 证明：依据方差的定义： 不等号成立是因为三个积分中的两个积分是非负的。 因为 则 在剩余的积分中， 从而 所以： 即：故：例1：利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望之差大于3倍标准差的概率。假设随机变量X的数学期望为，方差为对于任意的，切比雪夫不等式成立，即： 由题意，此处 所以：当时，由正态分布的“”准则知：而依据切比雪夫不等式所得的概率估计为： 由此可见：切比雪夫不等式对概率的估计过于粗略。2伯努利大数定理概率的统计性定义，即在随机试验中，事件A发生的概

3、率P(A)是用A发生的频率的稳定值来定义的。记 则为A在n次独立试验中发生的频率。由此，概率的统计定义可以在形式上表示为 上式在理论上存在两个问题（1）是随机变量序列，极限的意义是什么？（2）为什么此极限刚好等于概率P(A)？伯努利大数定理：设独立同分布，且存在，则对任意的， 其中：证明：的期望与方差为： 由切比雪夫定理可知，当时，对有 即得： 原命题得证。此处：称以概率收敛于，且可表示为注：设是一个随机变量序列，是一个常数，若对于任意正数，有： 则称序列依概率收敛于，记为：对任意，事件发生的概率很大，从概率意义上指出了当n很大时，逼近的确切含义，我们将上式表示的敛散性称为随机变量序列依概率收

4、敛于，记为：3、切比雪夫大数定律设是相互独立随机变量序列，数学期望、方差都存在，且方差一致有上界，即存在常数c，使得则对于任何正数，有 证明：由期望和方差的性质可知： 利用切比雪夫定理，当时，对有 故原命题得证。 4辛钦大数定律(独立同分布大数定律)（弱大数定理） 设随机变量独立同分布，并具有数学期望和方差，则对任何正数，有证明：由定理的条件可知： 由于 由切比雪夫定理得： 当时辛钦大数定律可叙述为：设随机变量相互独立且同分布，并具有数学期望和方差，则序列依概率收敛于，即：5伯努里大数定律（辛钦大数定律推论） 设随机变量，则对任意正数，有 或证明：因为 所以： 其中 相互独立且都统一服从分布，

5、 因此：由辛钦大数定理可得： 即：伯努里大数定律的直观意义是，在大量独立重复试验中可以用某个事件发生的频率来近似每次试验中事件发生的概率如果事件A的概率很小，则由伯努利定理知，事件A发生的频率也是很小的，或者说事件A很少发生，即“概率很小的随机事件在个别的试验中几乎不会发生”，这一原理称为小概率原理。但小概率事件和不可能事件是有区别的，在多次试验中，小概率事件也可能发生。在数理统计中，经常要用到n个独立同分布的随机变量的和的分布，但要给出其精确的分布有时很困难。然而当所有的为二值变量，即时，可以给出独立随机变量的和的精确分布，且有正态逼近。 6列维（Levy）-林德伯格（Lindeberg）中

6、心极限定理(独立同分布中心极限定理)设随机变量相互独立，并且服从同一分布，数学期望，方差，则随机变量只和的标准化变量的分布函数对于任意满足： 这个定理的直观意义是，当足够大时，可以近似地认为，可以利用正态分布近似求得概率(较大时) 即：于是：当n充分大时，均值为，方差为的独立同分布的随机变量的算术平均值近似地服从均值为，方差为的正太分布。这一结果是数理统计中大样本统计推断的理论基础。 例2 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977. 解

7、：设是装运的第i箱的重量（单位：千克），n为所求的箱数。 由此：可以看做独立同分布的随机变量序列，n箱的总重量为： 由题意知： 依据列维（Levy）-林德伯格（Lindeberg）中心极限定理，近似服从正态分布故箱数n取决于： 由此可见： 从而 即最多可以装98箱。 7棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理设随机变量，则对任意一个实数，有 证明：将分解成个相互独立、服从同一分布的各个随机变量之和，即有：其中的分布律为：所以：由林德伯格中心极限定理得： 这个定理的直观意义是，当足够大时，服从二项分布的随机变量可认为近似服从正态分布例3：为了测定一台机床的质量，把它分解成75个部件来称量，假定每个部件的称量

8、误差（单位：Kg）服从区间（-1,1）上的均匀分布，且每个部件的称量误差相互独立，试求机床重量的误差的绝对值不超过10Kg的概率。（）解：假设第个部件的称量误差为由题意知,相互独立且都服从区间（-1，1）上的均匀分布，由独立同分布的中心极限定理可知，可以近似为： 故所求概率为： 因此，机床质量总误差的绝对值不超过10kg的概率近似为0.9544 三、小结四、作业 P160 10 12 第4章 知识点总结切比雪夫不等式随机变量的数学期望及方差存在，则对任何正数，有切比雪夫大数定理设随机变量，相互独立，数学期望，都存在，且方差是一致有上界的，即存在常数c，使得则对于任何正数，有辛钦大数定律设随机变量相互独立