套利定价理论

1、第11章套利定价理论1. 假定影响美国经济的两个因素已被确定：工业生产增长率与通货膨胀率。目前，预计工业生产 增长率为3%，通货膨胀率为5%。某股票与工业生产增长率的贝塔值为1，与通货膨胀率的贝塔值为0.5， 股票的预期收益率为12%。如果工业生产真实增长率为 5%，而通胀率为8%，那么，修正后的股票的期 望收益率为多少？2. 假定F1与F2为两个独立的经济因素。无风险利率为 6%，并且，所有的股票都有独立的企业特有(风险)因素，其标准差为45%。下面是优化的资产组合。资产组合F1的贝塔值F 2的贝塔值期望收益率A1.52.031B2.2-0.227在这个经济体系中，试进行期望收益-贝塔的相关

2、性分析。3. 考虑下面的单因素经济体系的资料，所有资产组合均已充分分散化。资产组合E(r )(%)贝塔A121.2F60现假定另一资产组合E也充分分散化，贝塔值为0.6，期望收益率为 8%，是否存在套利机会？如果 存在，则具体方案如何？4. 下面是Pf公司一证券分析家构建的三只股票的投资方案。股票价格/美元A10B15C50a. 使用这三支股票构建一套利资产组合。衰退平均-152025101215不同情况下的收益率 (%)繁荣30-1012b. 当恢复平衡时，这些股票价格可能会如何变化？举例说明，假定 C股票的资金回报率保持不 变，如何使C股票的价格变化以恢复均衡？5. 假定两个资产组合 A、

3、B都已充分分散化， E(rA)12%，E(rB)9%，如果影响经济的要素只有一 个，并且 A1.2， B0.8，可以确定无风险利率是多少？6. 假定股市收益以市场指数为共同影响因素。经济体系中所有股票对市价指数的贝塔值为 1，企 业特定收益都有30%的标准差。如果证券分析家研究了20种股票，结果发现其中有一半股票的阿尔法值为 2%，而另一半股票的阿 尔法值为-2%。假定分析家买进了 100万美元的等权重的正阿尔法值的股票资产组合，同时卖空 100万 美元的等权重的负阿尔法值的股票资产组合。a. 确定期望收益(以美元计)。其收益的标准差为多少？b. 如果分析家验证了50种股票而不是20种，那么答

4、案又如何？100种呢？7. 假定证券收益由单指数模型确定：Ri i iRMei其中，Ri是证券i的超额收益，而RM是市场超额收益，无风险利率为 2%。假定有三种证券A、B、C， 其特性的数据如下所示：证券iE (Ri )(%)(ei )(%)A0.81025B1.01210C1.21420a. 如果 M20%，计算证券A、B、C的收益的方差。b. 现假定拥有无限资产，并且分别与 A、B、C有相同的收益特征。如果有一种充分分散化的资 产组合的A证券投资，则该投资的超额收益的均值与方差各是多少？如果仅是由 B种证券或C 种证券构成的投资，情况又如何？c. 在这个市场中，有无套利机会？如何实现？具体

5、分析这一套利机会 (用图表)。8. 证券市场线的相关分析表明，在单因素模型中，证券的期望风险溢价与该证券的贝塔值直接成比例。假定不是这种情况，例如，在右图中，假定期望收益以大于贝塔的比例增长。a. 如何构建一套利机会 (提示：考虑资产组 合A与资产组合 B的组合，并与投资于 C 的结果进行比较)。b. 在第13章中，可以看到一些研究人员已 经对分散化投资的平均收益与这些投资的 和 2的相关性分析进行了研究。关于2 对投资收益的影响，应得出什么结 论？9. 如果套利定价理论是有用的理论，那么经济体系中系统因素必须很少。为什么？10. 人们期望通过某些因素来确定风险收益。而套利定价理论本身并不能提

6、供关于这一问题的指 导。那么，研究人员该如何确定哪些因素是值得研究的呢？例如，为什么说对于检测风险溢价，行业的生产是一种合理的因素呢？11. 考虑如下一种特定股票收益的多因素证券收益模型：贝塔值风险溢价(% )1.260.580.33要素 通货膨胀 行业生产 石油价格a. 目前，国库券可提供 6%的收益率，如果市场认为该股票是公平定价的，那么请求出该股票 的期望收益率。b. 假定下面第一列给出的三种宏观因素的值是市场预测值，而实际值在第二列给出。在这种情况下，计算该股票修正后的期望收益率。要素预计变化率(%)实际变化率(%)通货膨胀54行业生产36石油价格2012. 假定市场可以用下面的三种系

7、统风险及相应的风险溢价进行描述：要素风险溢价(% )工业生产(I)6利率(R )2消费者信心(C)4特定股票的收益率可以用下面的方程来确定：r15%1.0I0.5R0.75Ce使用套利定价理论确定该股票的均衡收益率。国库券利率为 6%，该股票价格是低估还是高估了？ 解释原因。B13. 如果X与Y都是充分分散化的资产组合，无风险利率为 8%：资产组合期望收益率(%)贝 塔 值X161.00Y120.25根据这些内容可以推断出资产组合 X与资产组合Y：a. 都处于均衡状态。 b. 存在套利机会。 c. 都被低估。 d. 都是公平定价的。答案：第11章套利定价理论1. 股票预期收益率的调整估计值应该

8、是原来的估计值加上各要素未预期到的变化乘以敏感性系 数，例如：调整估计值=12+1×2%+0.5×3%=15.5%2. 使用式11-6。E(rp)=rf+ p1E(r1)-rf+ p2E(r2)-rf我们要找出这两个要素的风险溢价： RP1=E(r1)-rf和RP2=E(r2)-rf，则必须解下列有两个未知数 的方程组：31=6+22.5×RP1+2.0×RP227=6+2.2×RP1+(-0.2)×RP2 方程组的解分别为： RP1=10% 和 RP2=5% 因此，预期收益率- 关系为：E(rp)=6%+ p1×10%+

9、p2×5%3. 资产组合F的预期收益率等于无风险利率，因为它的 等于0。资产组合A的风险溢价比 的比率 为：(12-6)/1.2=5%，而资产组合E的比率却只有(8-6)/1.2=3.33%。这说明存在着套利机会。例如，你 可以通过持有相等的资产组合 A和资产组合F构建一个资产组合 G，其 等于0.6(与E相同)。资产组合 G 的预期收益率和 值分别为：E(rG)=0.5×12%+0.5×6%=9%G=0.5×1.2+0.5×0=0.6比较G和E，G有相同的 ，但收益率却更高。因此，通过买入资产组合 G和卖出等量的资产组合 E可以获得套利机会。

10、如果你这么做，你资产组合的每一份投资的收益为：E(rG)-rE=(9%+0.6×F)-(8%+0.6×F)=1%4. a. 第一步，将各种情况下的收益率转化为每股美元收益，如下表所示：(单位：美元)价格1情况23A$1010(1-0.15)=$8.510(1+0.20)=$1210(1+0.30)=$13B1515(1+0.25)=18.7515(1+0.10)=16.515(1-0.10)=13.5C5050(1+0.12)=5650(1+0.15)=57.550(1+0.12)=56要确认一套利机会经常涉及零投资组合。该资产组合必须在所有的情况下都表现为非负的收入。 例

11、如，卖空两股A和两股B的收入必须足够用来买入一股C。(-2)10+(-2)15+50=0价格/美元股数投资/美元A$10-2-$20B15-2-30C50+1500所有情况下的零投资资产组合的收入表为：1情况(金额/美元)23-$17-$24-$26-37.5-33-275657.556+1.5+0.5+3该资产组合满足套利资产组合，因为它不仅是零投资组合，而且在所有的情况下都有正的收益。b. 如果A和B的价格由于卖空而下降，而 C的价格由于买进的压力而上升，则 (A+B)的收益率将会 上升而C则下降。现在我们来求出一个价格变化以保证消除上面的套利机会。首先要注意的是随着 C的价格变化，任何投

12、资的资产组合的比例也会相应变化。其次，持有 C多头和A+B空头的最坏的情况是情况 2。持有等量的A和B的卖空头寸，我们解出情况 2时的零收益情况。用X表示股票A和B的卖空头寸的数量，让其收益正好等于一股 C的多头头寸。现在我们令情况 2时的收 益为零：12X+16.5X+57.5=0；X=-2.017 5这表明我们每持有一股C，卖空2.017 5 股A和B(注意在前面的套利资产组合中 X=-2)。 然后，根据A股和B股的持有数，我们要求C的每股价格为多少才能使得资产组合投资收益为零？10X+15X+PC=0这里PC是C的新的价格，代入X=-2.0175我们得出：10(-2.017 5)+15(

13、-2.017 5)+ PC=0PC =50.437 5这说明要消除套利机会所必须的最小的价格变动要大于 43.75美分。检查我们的结果，让我们看看 在价格变动为50美分时，即PC=50.50美元时的收益表。价格/美元股数投资额/美元1情况(金额/美元)23A$10-2.02-$20.2-$17.17-$24.24-$26.26B15-2.02-30.3-37.875-33.33-27.27C50.50+150.505657.5560+.955-0.07+2.47注意零投资组合必须重新计算(X=-2.02)，而事实上收益不但不再全部为正，在情况 2时还是负值。 因此套利机会消失。这道练习题证明了

14、 C的价格上升将会消除我们在 4a中发现的用等量的 A和B卖空而 构建的套利机会。但是，它并未消除掉所有的套利机会。例如，在 PC=50.50美元时，一个套利组合可 以通过XA=-1.95，XB=-2.07的比例分别持有A和B的卖空头寸来构建。5. 在收益- 关系式中，代入资产组合收益和 值，我们得到两个方程，未知数为无风险利率和风 险溢价要素RP。12=rf+1.2RP9=rf+0.8×RP 解这个方程组，我们得到： rf=3% 和 RP=7.5%6.a等量地卖空 10种负 的股票并将收入等量投资于 10种正 的股票，将消除市场的风险暴露并构 建一个零投资的资产组合。预期的美元收益

15、为：1 000 000 ×0.02+(-1 000 000)(-0.02)= 40 000美元该资产组合的 为零，因为是等权重的，其中一半的权数为负，所有的 都等于1。因此，整体风 险中系统性的成分为 0。但是，分析家的利润的方差却不为零，因为这一资产组合没有充分分散化。 总体方差就等于非系统风险：2= 2(ep)= 2(ei)/n=302/20=45且 =6.71%b. 改变股票数量造成的唯一的变化是资产组合的方差下降：2(50)=302/50=18和 =4.24%2(100)=302/100=9和 =3%7. a.M+2= 2 22(e)本题中的方差为：(e)A25B10C20且

16、 M=20。因此，2A=0.82×202+252=8812B=1.02×202+102=5002C=1.22×202+202=976b. 如果存在无限数量的资产都具有相同的特征，每一类充分分散化的资产组合都将只有系统风 险，因为当n很大时，非系统风险趋近于0。均值将等于各个股票(都相同)的值。c. 错，没有套利机会，因为充分分散化的资产组合都画在证券市场线 (SML)上。因为它们都是 公平定价的，因而没有套利的可能。8. a. 一个包括股票A和B的等权重资产组合P的多头头寸，有 P= C。但是，它的收益率高于资产组 合C。因此，将资产组合 P与C的空头头寸组合，将

17、产生一个零投资、零 且有正的收益率的 套利组合。b. 关于(a)的争论引出了这样的命题，即 2的系数必须为0，才能排除套利机会。9. 如果我们可以自由地选择无数解释变量，任何类型的收益都可以“被解释”。如果一个资产定 价理论有价值，它就必须使用有限数量的解释变量 (系统性因素)来解释收益。10. APT 的要素必须与不确定性的来源有关，这些不确定性的来源必须是许多投资者关注的。研 究人员应该调查与消费和投资机会的不确定性有关的因素。国内生产总值、通货膨胀率、利率被认为 是决定风险溢价的因素的一部分。尤其是，工业产值 (IP)是行业周期变化的一个很好的指标。因此， 工业产值是一个在经济体系中与投资和消费机会的不确定性高度相关的一个待选因素。11. a. E(r)=6+1.2×