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1、二阶常系数非齐次线形微分方程 （1）其中p，q是常数。因为求二阶常系数非齐次线形微分方程的通解归结为求对应的齐次方程 （2）的通解和非齐次方程（1）本身的一个特解，而二阶常系数齐次线形微分方程解法已在上一知识点中讲过，所以，在此我们就只讨论方程（1）的特解。当方程中f(x)取两种常见形式时，我们用待定系数法求。型如果，则二阶常系数非齐次线形微分方程（1）具有形如 （4）的特解，其中是与同次（m次）的多项式，而k按不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0，1或2。上述结论可推广到n阶常系数非齐次线形微分方程，但要注意（4）式中的k是特征方程含根的重复次数（即若不是特征方程的

2、根，k取为0，若是特征方程的s重根，k取为s）例 求微分方程的一个特解。解 这是二阶常系数非齐次线形微分方程，且函数f(x)是型（其中,）与所给方程对应的齐次方程为 它的特征方程为 由于这里不是特征方程的根，所以应设特解为 把它代入所给方程，得 比较两端x 同次幂的系数，得 由此求得 , 于是求得一个特解为 .型如果，则二阶常系数非齐次线性微分方程（1）的特解可设为 ， （5）其中、 是m次多项式，m=maxl , n，而k按（或）不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取0或1。上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（5）式中的k是特征方程中含根（或）的重复次数。例 求微分方程 的一个特解。解 所给方程是二阶常系数非齐次线性方程，且f(x) 属于型（其中）。与所给方程对应的齐次方程为 ，它的特征方程为。由于这里不是特征方程的根，所以应设特解为 。把它代入所给

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