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文档简介

1、第第4 4章:信息率失真函数章:信息率失真函数 实际通信系统允许一定的失真存在,有时也没必要要求完全无失真传输。1打电话;2放电影,视觉暂留性。u每秒传送25帧图,可以满足人类视觉要求;u几千HZ到十几千HZ可以满足人类听觉要求. 1、失真函数、失真函数信源信源信源信源编码编码信道信道编码编码信道信道信道信道译码译码信源信源译码译码信宿信宿干扰干扰 根据信道编码定理,我们可以把信道编码、信道和信道根据信道编码定理,我们可以把信道编码、信道和信道解码等价成是一个没有任何干扰的广义信道,这样收信者收解码等价成是一个没有任何干扰的广义信道,这样收信者收到消息后,所产生的失真只是由信源编码带来的。我们

2、也可到消息后,所产生的失真只是由信源编码带来的。我们也可以把信源编码和信源译码等价成一个信道。以把信源编码和信源译码等价成一个信道。我们称此信道我们称此信道为为试验信道试验信道。4.1.1 失真函数和平均失真度失真函数和平均失真度信源信源信宿信宿试验信道试验信道 现在我们要研究在给定允许失真的条件下,是否可以设计一种信现在我们要研究在给定允许失真的条件下,是否可以设计一种信源编码使信息传输率为最低。为此,我们首先讨论失真的测度。源编码使信息传输率为最低。为此,我们首先讨论失真的测度。 设离散信源概率分布为设离散信源概率分布为 称为称为单个符号的失真度(或称失真函数)单个符号的失真度(或称失真函

3、数). 经信道传输后输出序列为经信道传输后输出序列为: )(,),(,),(),( , , , , ,)( 2121niniapapapapaaaaXPX.21mbbbY 对任一),(jiba指定一个非负数0),(jibad 失真函数用来表征信源发出一个符号失真函数用来表征信源发出一个符号ai,而在接收端再,而在接收端再现成符号现成符号bj所引起的误差或失真。所引起的误差或失真。d越小表示失真越小,等越小表示失真越小,等于于0表示没有失真。表示没有失真。 可以将所有的失真函数排列成矩阵的形式:可以将所有的失真函数排列成矩阵的形式:我们称它为我们称它为失真矩阵失真矩阵。),(.),(),(.),

4、(.),(),(),(.),(),(212221212111mnnnmmbadbadbadbadbadbadbadbadbadD 例例 删除信源删除信源。信源变量信源变量Uu1,u2,ur ,接收变量,接收变量V v1,v2,vs (s = r+1) 。定义其单个符号失真度为:。定义其单个符号失真度为: 则02111210Dd(0,0)=d(1,2)=0 d(0,2)=d(1,0)=1d(0,1)=d(1,1)=1/2sjjijivudji 2/110),(除j=s以外所有的j和i所有ijiajibadji0),(0.0.0aaaaaa1常用失真函数1a当汉明失真称为0111011102)()

5、,(ijjiabbad2称称平方误差失真函数平方误差失真函数.2( ,)()ijjid u vvu012U 012V 014101410D如:绝对值误差失真测度绝对值误差失真测度信源输出符号X = 0, 1, 2,信道输出符号Y = 0, 1, 2 ,给出失真测度d i j = xi - yj i, j = 0, 1, 2则失真测度矩阵为 012101210D平均失真度平均失真度nimjjiijinimjjijijibadabpapbadbapbadED1111),()/()(),()(),(平均失真 是对在给定信源分布p(x)条件下,通过有扰信道传输而引起失真的统计平均度量。 D 若平均失真

6、度若平均失真度 不大于我们所允许的失真不大于我们所允许的失真D(预先给定的预先给定的某一限定值某一限定值),我们称此为,我们称此为保真度准则保真度准则。DDD凡满足保真度准则的这些试验信道称为凡满足保真度准则的这些试验信道称为D失真失真许可的试验信道。把所有许可的试验信道。把所有D失真许可的试验信失真许可的试验信道组成一个集合,用符号道组成一个集合,用符号BD表示。表示。N次扩展信道的平均失真度:Niiiaa 1niiN, 1,1Nni, 2 , 1输入 )(,),(),( , , , 2121NNnNnXNppppXNmj, 2 , 1 Njjjbb .1mjjjN1,21输出 )(,),(

7、),( , , , 2121NNmNmYNppppYNkjijijijjiikkNNNNjibadbadbadbbaadd1),( ),(),( ),(),(1111:)/(定义为的失真函数与输出扩展信道的输入次的离散无记忆信道jiNYXYPX由信源和信道的无记忆性)/()/()()( 11kkkjjNkijjNkiabppappNkkNjiijnimjiDDDdppND:NNN1111 ),()/()()(的平均失真度为次离散无记忆扩展信道DDk:显然DNND)(:则有NDND)(:。N,N,N相应的保真度准则为倍信道的通过单符号度是单符号信源次扩展信道的平均失真的通过离散无记忆信次扩展信源

8、离散无记忆信源的即:例:设信源X取值于0,1,失真函数数分别为d(0,0)=d(1,1)=0,d(0,1)=d(1,0)=1.其N=3次扩展信源的输入X=X1X2X3,经信道传导输后,输出为Y=Y1Y2Y3,求失真矩阵D(N).),(),( ),(),(1111NNNNjijijijjiibadbadbbaadd0)0 , 0()0 , 0()0 , 0()000,000(dddd所以1) 1 , 0()0 , 0()0 , 0()001,000(ddddnaaax,21信源编码器信源编码器nbbby,21XY假想信道假想信道将信源编码器看作信道将信源编码器看作信道4.1.2 信息率失真函数定

9、义信息率失真函数定义DDD D失真许可的 试验信道试验信道: )/(DDabpPijD称)/(ijabp调整 使);(min)()/(YXIDRDijPabp)/()(min),(min)(XYHXHYXIDRDPR(D)的物理意义:的物理意义: 对于给定的信源,在满足保真度准则下,必对于给定的信源,在满足保真度准则下,必须传送的最小信息量,它既反映了用户容忍程度须传送的最小信息量,它既反映了用户容忍程度,也反映了信息率允许压缩的最小值,也反映了信息率允许压缩的最小值,R(D)越大越大,越难压缩,反之可压缩率就大越难压缩,反之可压缩率就大.对于固定的信源分布,平均互信息量对于固定的信源分布,平

10、均互信息量I(X;Y)是信道是信道转移概率转移概率 的下凸函数。也就是说的下凸函数。也就是说:存在一个存在一个信道使某一特定信源经过此信道传输时,信道的平信道使某一特定信源经过此信道传输时,信道的平均互信息达到极小值均互信息达到极小值.)/(ijabp N次无记忆扩展信源和信道:)(: )/()(NDNDabpPijND);(min)()()/(YXIDRNDijPabPN)()(DNRDRN 允许失真度D的下限可以是零,即不允许任何失真的情况。 1、 R(D)的定义域R(D)的定义域为 且:minmax0DDDmin( )min( , )yxDp xd x ymaxmin( )( , )yx

11、Dp x d x y不允许失真,此时H(X/Y)=0;也可理解为不允许压缩信源. 123,a a aminDmaxD 123213321d123()min(1,2,3)()min(2,1,3)()min(3,2,1)p ap ap amin( )min( , )yxDp xd x y ( ,)ijd a b(|)1jip baminD100( | )010001p y x max123123123min( )( , )min() 1() 2() 3 ,() 2() 1() 2 ,() 3() 3() 1yxDp x d x yp ap ap ap ap ap ap ap ap a 2()1p b13( )()0p bp bmaxD010(|010010pyx 2、 R(D)是关于平均失真度D的下凸函数 设 为任意两个平均失真, ,则有: 12,D D01a1212(1)()(1) ()R aDa DaR Da R D3 、 R(D) 是 区间上的连续和严格单调递减函数。 由信息率失真函数的下凸性可知, R(D)在 上连续。又由R(D)函数的非增性且不为常数知, R(D)是区间 上的严格单调递减函数。 minmax(

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