第六章相关与回归分析(新)

1、6-1第六章第六章 相关与回归分析相关与回归分析n第一节第一节 相关与回归分析的基本概念相关与回归分析的基本概念n第二节简单线性相关分析第二节简单线性相关分析n第三节一元线性回归分析第三节一元线性回归分析6-2函函数数关关系系与与相相关关关关系系相相关关关关系系的的判判断断基本概念基本概念 相关与回归分析相关与回归分析简单线性相关分析简单线性相关分析一元线性回归分析一元线性回归分析相相关关关关系系的的类类型型相相关关分分析析与与回回归归分分析析的的关关系系相相关关系系数数的的检检验验相相关关系系数数的的计计算算特特点点相相关关系系数数的的概概念念和和作作用用回回归归系系数数的的估估计计回回归归

2、模模型型的的检检验验一一元元线线性性回回归归模模型型回回归归模模型型的的估估计计和和预预测测6-3第一节第一节 相关与回归分析的基本概念相关与回归分析的基本概念一、函数关系与相关关系一、函数关系与相关关系1.函数关系函数关系当一个或几个变量取一定的值当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确定值与之时，另一个变量有确定值与之相对应，我们称这种关系为确相对应，我们称这种关系为确定性的函数关系。定性的函数关系。6-4（函数关系（函数关系）（1）是一一对应的确定关系）是一一对应的确定关系（2）设有两个变量）设有两个变量 x 和和 y ，变量变量 y 随变量随变量 x 一起变化，一起变化，并完全依赖

3、并完全依赖于于 x ，当变量，当变量 x 取某个数值时，取某个数值时， y 依确依确定的关系取相应的值，则定的关系取相应的值，则称称 y 是是 x 的函数，记为的函数，记为 y = f (x)，其中，其中 x 称为自变称为自变量，量，y 称为因变量称为因变量（3）各观测点落在一条线上）各观测点落在一条线上 6-5变量间的关系变量间的关系（函数关系）（函数关系） 函数关系的例子函数关系的例子某种商品的销售额某种商品的销售额(y)与销售量与销售量(x)之间的关之间的关系可表示为系可表示为 y = p x (p 为单价为单价)圆的面积圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为与半径之间的关系可表示为S

4、= r2 企业的原材料消耗额企业的原材料消耗额(y)与产量与产量(x1) 、单位产、单位产量消耗量消耗(x2) 、原材料价格、原材料价格(x3)之间的关系可之间的关系可表示为表示为y = x1 x2 x3 6-62. 相关关系：相关关系： 当一个或几个相互联系的当一个或几个相互联系的变量取一定数值时，与之相对应的另一变量取一定数值时，与之相对应的另一变量的值虽然不确定，但它仍按某种规变量的值虽然不确定，但它仍按某种规律在一定的范围内变化。律在一定的范围内变化。现象之间客观存在的不严格、不确定的数量依存关系。6-7变量间的关系变量间的关系（相关关系）（相关关系）（1）变量间关系不能用函数关）变量

5、间关系不能用函数关系精确表达；系精确表达；（2）一个变量的取值不能由另）一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定；一个变量唯一确定；（3）当变量）当变量 x 取某个值时，变取某个值时，变量量 y 的取值可能有几个；的取值可能有几个；（4）各观测点分布在线周围。）各观测点分布在线周围。6-8（相关关系）（相关关系） 相关关系的例子相关关系的例子商品的消费量商品的消费量(y)与居民收入与居民收入(x)之间的关系之间的关系商品的消费量商品的消费量(y)与物价与物价(x)之间的关系之间的关系商品销售额商品销售额(y)与广告费支出与广告费支出(x)之间的关系之间的关系粮食亩产量粮食亩产量(y)与施肥量与施

6、肥量(x1) 、降雨量、降雨量(x2) 、温度温度(x3)之间的关系之间的关系收入水平收入水平(y)与受教育程度与受教育程度(x)之间的关系之间的关系父亲身高父亲身高(y)与子女身高与子女身高(x)之间的关系之间的关系6-9二、相关关系的种类二、相关关系的种类n1.按相关关系的程度划分可分为完全相关，不完按相关关系的程度划分可分为完全相关，不完全相关和不相关。全相关和不相关。n2.按相关形式划分可以分为线性相关和非线性相按相关形式划分可以分为线性相关和非线性相关。关。) 1 ()2() 3()4(）为非线性相关。）、（）为线性相关，（）、（图中（43216-10（1）正相关：两个相关现象间，当

7、一个变量）正相关：两个相关现象间，当一个变量的数值增加（或减少）时，另一个变量的数的数值增加（或减少）时，另一个变量的数值也随之增加（或减少），即同方向变化。值也随之增加（或减少），即同方向变化。 例如收入与消费的关系。例如收入与消费的关系。（2）负相关：当一个变量的数值增加（或减）负相关：当一个变量的数值增加（或减少）时，而另一个变量的数值相反地呈减少少）时，而另一个变量的数值相反地呈减少（或增加）趋势变化，即反方向变化。（或增加）趋势变化，即反方向变化。 例如物价与消费的关系。例如物价与消费的关系。3.按相关的方向划分可分为正相关和负相关按相关的方向划分可分为正相关和负相关6-114.按相

8、关关系涉及的变量多少划分分为单相关、按相关关系涉及的变量多少划分分为单相关、复相关和偏相关。复相关和偏相关。n两个变量之间的相关，称为单相关。两个变量之间的相关，称为单相关。n当所研究的是一个变量对两个或两个以上其他变量当所研究的是一个变量对两个或两个以上其他变量的相关关系时，称为复相关。例如，某种商品的需的相关关系时，称为复相关。例如，某种商品的需求与其价格水平以及收入水平之间的相关关系便是求与其价格水平以及收入水平之间的相关关系便是一种复相关。一种复相关。n在某一现象与多种现象相关的场合，假定其他变量在某一现象与多种现象相关的场合，假定其他变量不变，专门考察其中两个变量的相关关系称为偏相不

9、变，专门考察其中两个变量的相关关系称为偏相关。例如，在假定人们的收入水平不变的条件下，关。例如，在假定人们的收入水平不变的条件下，某种商品的需求与其价格水平的关系就是一种偏相某种商品的需求与其价格水平的关系就是一种偏相关。关。6-12n5、按相关的性质划分可分为真相关和伪相关、按相关的性质划分可分为真相关和伪相关6-13三、相关分析与回归分析的关系三、相关分析与回归分析的关系（一）概念：（一）概念：1.相关分析相关分析就是用一个指标来表明现象间相互就是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。广义的相关依存关系的密切程度。广义的相关分析包括相关关系的分析（狭义的分析包括相关关系的分析（狭义

10、的相关分析）和回归分析。相关分析）和回归分析。2.回归分析回归分析是指对具有相关关系的现象，根据是指对具有相关关系的现象，根据其相关关系的具体形态，选择一个其相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型（称为回归方程合适的数学模型（称为回归方程式），用来近似地表达变量间的平式），用来近似地表达变量间的平均变化关系的一种统计分析方法。均变化关系的一种统计分析方法。6-14（二）相关分析与回归分析的（二）相关分析与回归分析的区别区别 n 1.在相关分析中，不必确定自变量和因变量；在相关分析中，不必确定自变量和因变量；而在回归分析中，必须事先确定哪个为自变而在回归分析中，必须事先确定哪个为自变量，哪个

11、为因变量，而且只能从自变量去推量，哪个为因变量，而且只能从自变量去推测因变量，而不能从因变量去推断自变量。测因变量，而不能从因变量去推断自变量。n2.相关分析不能指出变量间相互关系的具体相关分析不能指出变量间相互关系的具体形式；而回归分析能确切的指出变量之间相形式；而回归分析能确切的指出变量之间相互关系的具体形式，它可根据回归模型从已互关系的具体形式，它可根据回归模型从已知量估计和预测未知量。知量估计和预测未知量。n3.相关分析所涉及的变量一般都是随机变量，相关分析所涉及的变量一般都是随机变量，而回归分析中因变量是随机的，自变量则作而回归分析中因变量是随机的，自变量则作为研究时给定的非随机变量

12、。为研究时给定的非随机变量。6-15（三）相关分析与回归分析的联系（三）相关分析与回归分析的联系n相关分析和回归分析有着密切的联系，它们相关分析和回归分析有着密切的联系，它们不仅具有共同的研究对象，而且在具体应用不仅具有共同的研究对象，而且在具体应用时，常常必须互相补充。相关分析需要依靠时，常常必须互相补充。相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。只有当变量之间存在数量变化的相关程度。只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析寻求其相关的着高度相

13、关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。具体形式才有意义。n简单说：简单说：1、相关分析是回归分析的基础和前相关分析是回归分析的基础和前提提；2、回归分析是相关分析的深入和继续回归分析是相关分析的深入和继续。6-16定性分析定性分析定量分析定量分析四、相关关系的判断四、相关关系的判断6-17 (一一)相关表：相关表：将自变量将自变量x的数值按照从小到大的顺序，的数值按照从小到大的顺序，并配合因变量并配合因变量y的数值一一对应而平行排列的表。的数值一一对应而平行排列的表。 例：为了研究分析某种劳务产品完成量与其单位产品成本之间的关系，调查30个同类服务公司得到的原始数据如表。完成量（小时

14、）20 30 20 20 40 30 40 80 80 50 40 30 20 80 50单位成本（元/小时）18 16 16 15 16 15 15 14 14 15 15 16 18 14 14完成量（小时）20 50 20 30 50 20 50 40 20 80 40 20 50 80 30单位成本（元/小时）16 16 18 16 15 18 15 14 16 14 15 16 14 15 15整理后有整理后有完成量（小时）20 20 20 20 20 20 20 20 20 30 30 30 30 30 40单位成本（元/小时）15 16 16 16 16 18 18 18 18

15、15 15 15 16 16 14完成量（小时）40 40 40 40 50 50 50 50 50 50 80 80 80 80 80单位成本（元/小时）15 15 15 16 14 14 15 15 15 16 14 14 14 14 156-18( 二二)相关图：又称散点图。将相关图：又称散点图。将x置于横轴上，置于横轴上，y置于置于纵轴上，将（纵轴上，将（x,y）绘于坐标图上。）绘于坐标图上。用来反映两变用来反映两变量之间相关关系的图形。量之间相关关系的图形。广告费（万元）3033334056586572808090年销售收入（百万元）12121213141420222626306-1

16、9第二节第二节 简单线性相关分析简单线性相关分析一、相关系数和作用一、相关系数和作用(一一)相关系数的定义相关系数的定义1.简单相关系数：在线性条件下说明两个变简单相关系数：在线性条件下说明两个变量之间相关关系密切程度的统计分析指标，量之间相关关系密切程度的统计分析指标，简称相关系数。简称相关系数。若相关系数是根据总体全部数据计算的，若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为称为总体相关系数，记为若是根据样本数据计算的，则称为样本相若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为关系数，记为 r6-20（二）相关系数的作用（二）相关系数的作用n1、判断两变量之间存在的线性相关关

17、系的方、判断两变量之间存在的线性相关关系的方向；向；n2、判断两变量之间存在的线性相关关系的密、判断两变量之间存在的线性相关关系的密切程度；切程度；n3、确定是否需要进一步对两变量之间的依存、确定是否需要进一步对两变量之间的依存关系做进一步的回归分析。关系做进一步的回归分析。6-21二、相关系数的计算和特点二、相关系数的计算和特点6-226-23yxxyr2样本相关系数的定义公式实质样本相关系数的定义公式实质6-24(二二)相关系数的特点相关系数的特点1.的取值介于与之间，的取值介于与之间， r 的取值范围是的取值范围是 -1,12.在大多数情况下，在大多数情况下，|，即，即与与的样本的样本观

18、测值之间存在着一定的线性关系，当观测值之间存在着一定的线性关系，当时，时，与为正相关，当与为正相关，当时，时，与与为负相关。为负相关。 |的数值愈接近于的数值愈接近于1，表示，表示x与与y直线相关程度愈直线相关程度愈高；反之，高；反之， |的数值愈接近于的数值愈接近于0，表示，表示x与与y直直线相关程度愈低。通常判断的标准是线相关程度愈低。通常判断的标准是: |0.3称为微弱相关，称为微弱相关，0.3 |0.5称为低度相关，称为低度相关，0. |0.8称为显著相关称为显著相关 ，0.8 |1称为高度相关或强相关。称为高度相关或强相关。6-253.如果如果|=1，则表明，则表明与与完全线性相关，

19、完全线性相关，当当=1时，称为完全正相关，时，称为完全正相关， 而而=-1时，称为完全负相关。时，称为完全负相关。4.是对变量之间线性相关关系的度量。是对变量之间线性相关关系的度量。 =0只是表明两个变量之间不存在线性关系，只是表明两个变量之间不存在线性关系，它并不意味着它并不意味着与与之间不存在其他类型的之间不存在其他类型的关系。关系。 6-26相关关系的测度相关关系的测度（相关系数取值及其意义）（相关系数取值及其意义）6-2722)()()(yyxxyyxxr yxnxyyyxx1)(222)(1)(xnxxx222)(1)(ynyyy计算相关系数计算相关系数的的“积差法积差法”(三三)相

20、关系数的计算实例相关系数的计算实例yyLxxLxyLr )()(yxxynxyL2)(2xxnxxL2)(2yynyyL6-28 例：下表是有关例：下表是有关15个地区某种食物需求量和地区人口个地区某种食物需求量和地区人口增加量的资料。增加量的资料。6-29yxxynLxy2261362664785115151937928663342362610676141522)(xxnLxx222613950391522)(yynLyy81346481346428663341519379yyxxxyLLLr9950. 06-30计算公式还可以有：计算公式还可以有：yxnynxnxy22)()()(yyxx

21、yyxxrnyyxxnyyxx/ )()(/)(22yxyxxynyynxxnyyxx2)(2)()(6-31三、相关系数的显著性检验三、相关系数的显著性检验 n1、检验两个变量之间是否存在线性相关、检验两个变量之间是否存在线性相关关系关系n2、采用、采用 t 检验检验n3、检验的步骤为、检验的步骤为n提出假设提出假设：H0： ；H1： 0n 确定显著性水平确定显著性水平 ，并作出决策，并作出决策 若若tt，拒绝，拒绝H0 若若tt，接受，接受H06-32相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验（实例）（实例） n 对前例计算的相关系数进行显著性检对前例计算的相关系数进行显著性检(0.05)1

22、.提出假设提出假设：H0： ；H1： 02.计算检验的统计量计算检验的统计量种食物需求量和地区人口增加量种食物需求量和地区人口增加量6-33什么是回归分析？什么是回归分析？ （内容）（内容）1.从一组样本数据出发，确定变量之间的数学从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式关系式2.对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著些变量的影响显著，哪些不显著3.利用所求的关系式，根据一个或几个变量的利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个

23、特定变量的取值，取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度并给出这种预测或控制的精确程度第三节第三节 简单线性回归分析简单线性回归分析6-34回归模型回归模型1. 回答回答“变量之间是什么样的关系？变量之间是什么样的关系？”2. 方程中运用方程中运用n1 个数字的因变量个数字的因变量(响应变量响应变量)n被预测的变量被预测的变量n1 个或多个数字的或分类的自变量个或多个数字的或分类的自变量 (解释变量解释变量)n用于预测的变量用于预测的变量3. 主要用于预测和估计主要用于预测和估计6-35回归模型的类型回归模型的类型回归模型回归模型多元回归多元回归一元回归一元回归线性

24、线性回归回归非线性非线性回归回归线性线性回归回归非线性非线性回归回归6-36一、一、 一元线性回归模型一元线性回归模型 （概念要点（概念要点）1.当只涉及一个自变量时称为当只涉及一个自变量时称为一元回归一元回归，若因变，若因变量量 y 与自变量与自变量 x 之间为线性关系时称为之间为线性关系时称为一元线一元线性回归。性回归。2.对于具有线性关系的两个变量，可以用一条线对于具有线性关系的两个变量，可以用一条线性方程来表示它们之间的关系。性方程来表示它们之间的关系。3.描述因变量描述因变量 y 如何依赖于自变量如何依赖于自变量 x 和误差项和误差项 的方程称为的方程称为回归模型。回归模型。6-37

25、n (一一)总体回归函数总体回归函数 i01iui（6.3） u i是随机误差项，又称随机干扰项，它是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的随机变量，反映未列入方程式是一个特殊的随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对的影响。的其他各种因素对的影响。n (二二)样本回归函数样本回归函数: （i i，. n). n) i称为残差，在概念上，称为残差，在概念上，i与总体误差与总体误差项项ui相互对应；是样本的容量。相互对应；是样本的容量。01iiyxe6-38一元线性回归模型一元线性回归模型 （概念要点（概念要点）对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表对于只涉及一个自变量的简单线性回归模

26、型可表示为示为 yi= 1 x i模型中，模型中，y 是是 x 的线性函数的线性函数(部分部分)加上误差项加上误差项n线性部分反映了由于线性部分反映了由于 x 的变化而引起的的变化而引起的 y 的变化的变化n误差项误差项 i 是随机变量是随机变量,反映了除反映了除 x 和和 y 之间的线之间的线性关系之外的随机因素对性关系之外的随机因素对 y 的影响的影响,是不能由是不能由 x 和和 y 之间的线性关系所解释的变异性之间的线性关系所解释的变异性n 0 和和 1 称为模型的参数称为模型的参数6-391、总体回归线是未知的，只有一条。样本回归线是根据样本数、总体回归线是未知的，只有一条。样本回归线

27、是根据样本数据拟合的，每抽取一组样本，便可以拟合一条样本回归线。据拟合的，每抽取一组样本，便可以拟合一条样本回归线。2、总体回归函数中的、总体回归函数中的0和和1是未知的参数，表现为常数。而样是未知的参数，表现为常数。而样本回归函数中的本回归函数中的 是随机变量，其具体数值随所抽取是随机变量，其具体数值随所抽取的样本观测值不同而变动。的样本观测值不同而变动。3、总体回归函数中的、总体回归函数中的ui是是i与未知的总体回归线之间的纵向距与未知的总体回归线之间的纵向距离，它是不可直接观测的。而样本回归函数中的离，它是不可直接观测的。而样本回归函数中的i是是i与与样本回归线之间的纵向距离，当根据样本

28、观测值拟合出样样本回归线之间的纵向距离，当根据样本观测值拟合出样本回归线之后，可以计算出本回归线之后，可以计算出i的具体数值。的具体数值。01和6-40（三）（三）的的基本标准假定基本标准假定1.误差项误差项ui是一个期望值为是一个期望值为0的随机变量，即的随机变量，即E(ui)=0。对于一个给定的。对于一个给定的 x 值，值，y 的期望值为的期望值为E ( yi ) = 0+ 1 xi2.对于所有的对于所有的 x 值，值，ui的方差的方差2 都相同都相同3.误差项误差项ui是一个服从正态分布的随机变量，且是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即相互独立。即uN( 0 ,2 )n独立性意味

29、着对于一个特定的独立性意味着对于一个特定的 x值，它所值，它所对应的对应的u与其他与其他 x 值所对应的值所对应的u不相关不相关n对于一个特定的对于一个特定的 x 值，它所对应的值，它所对应的 yi值与值与其他其他 xi所对应的所对应的 y 值也不相关值也不相关6-41总体回归线与随机误差项总体回归线与随机误差项P168 （t）01iXYiY 。 。 。ui 6-42（四）回归方程（四）回归方程 （概念要点）（概念要点）1. 描述描述 y 的平均值或期望值如何依赖于的平均值或期望值如何依赖于 x 的的方程称为方程称为回归方程。2. 简单线性回归方程的形式如下简单线性回归方程的形式如下 E( y

30、 ) = 0+ 1 x方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程方程 0是回归直线在是回归直线在 y 轴上的截距，是当轴上的截距，是当 x=0 时时 y 的期望值的期望值 1是直线的斜率，称为回归系数，表示当是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每每变动一个单位时，变动一个单位时，y 的平均变动值的平均变动值6-43估计估计( (经验经验) )的回归的回归方程方程3. 简单线性回归中估计的回归方程为简单线性回归中估计的回归方程为其中：其中： 是估计的回归直线在是估计的回归直线在 y 轴上的截距，轴上的截距， 是直线是直线的斜率，它表示对于一个给定的的

31、斜率，它表示对于一个给定的 x 的值，是的值，是 y 的估计的估计值，也表示值，也表示 x 每变动一个单位时，每变动一个单位时， y 的平均变动值。的平均变动值。 2. 用样本统计量用样本统计量 和和 代替回归方程中的未知参代替回归方程中的未知参数数 和和 ，就得到了，就得到了1. 总体回归参数总体回归参数 和和 是未知的，必需利用样是未知的，必需利用样本数据去估计本数据去估计6-44n二、参数二、参数 0 和和 1 的最小二乘估计的最小二乘估计6-45（一）最小二乘法（一）最小二乘法 （概念要点（概念要点）1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达使因变量的观察值与估计值之间的离差平方

32、和达到最小来求得到最小来求得 和和 的方法。即的方法。即016-46最小二乘法最小二乘法（图示）（图示）(xn , yn)(x1 , y1)(x2 , y2)(xi , yi)ei = yi-yi6-47 设设 将对求偏导数，并令其等于零，可得将对求偏导数，并令其等于零，可得: n加以整理后有：加以整理后有： 22)(tttYYeQ210)(ttXY0102()0iiQYX0112()0itiQX YX 01iinXY 201iiiiXXX Y6-48最小二乘法最小二乘法 （ 和和 的计算公式的计算公式） 解方程组解方程组可得求解可得求解 和和 的标准方程如下：的标准方程如下：6-49例：现以

33、前例的资料配合回归直线，计算如下：例：现以前例的资料配合回归直线，计算如下：6-50yxxynLxy2261362664785115151937928663342362610676141522)(xxnLxx5301. 0286633415193791xxLxyL226136260.0530122.5905011515yx 15n6-51xxy5301. 05905.2210所以上式中上式中 表示人口增加量每增加（或减少）表示人口增加量每增加（或减少）1千千人，该种食品的年需求量平均来说增加（或减少）人，该种食品的年需求量平均来说增加（或减少）0.5301十吨即十吨即5.301吨。吨。16-5

34、2估计方程的求法估计方程的求法（Excel的输出结果）的输出结果）016-53（二）估计标准误差（二）估计标准误差 Sy1.实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根。实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根。2.反映实际观察值在回归直线周围的分散状况。反映实际观察值在回归直线周围的分散状况。3.从另一个角度说明了回归直线的拟合程度。从另一个角度说明了回归直线的拟合程度。4.计算公式为计算公式为由样本资料计算由样本资料计算由总体资料计算或由总体资料计算或在大样本情况下在大样本情况下6-54)(4215. 62150644.53622) (十吨nyyQS计算例子计算例子6-55可得简化式：（可得简

35、化式：（P172）上式的推导证明（上式的推导证明（P172）6-56了解了解（三）最小二乘估计量的性质（三）最小二乘估计量的性质（四）回归系数的区间估计（四）回归系数的区间估计6-57（一）（一） 回归模型检验的种类回归模型检验的种类 回归模型的检验包括理论意义检验、一级检回归模型的检验包括理论意义检验、一级检验和二级检验。验和二级检验。（二）拟合程度的评价（二）拟合程度的评价n 所谓拟合程度，是指样本观测值聚集在样本所谓拟合程度，是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧密程度。判断回归模型拟合回归线周围的紧密程度。判断回归模型拟合程度优劣最常用的数量尺度是样本决定系数程度优劣最常用的数量尺度是

36、样本决定系数（又称决定系数）。它是建立在对总离差平（又称决定系数）。它是建立在对总离差平方和进行分解的基础之上的。方和进行分解的基础之上的。三、一元线性回归模型的检验三、一元线性回归模型的检验6-58总离差平方和的分解总离差平方和的分解1. 因变量因变量 y 的取值是不同的，的取值是不同的，y 取值的这种取值的这种波动称为波动称为变差变差。变差来源于两个方面：。变差来源于两个方面：n由于自变量由于自变量 x 的取值不同造成的；的取值不同造成的；n除除 x 以外的其他因素以外的其他因素(如如x对对y的非线性影响、的非线性影响、测量误差等测量误差等)的影响。的影响。2. 对一个具体的观测值来说，变

37、差的大小可对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差以通过该实际观测值与其均值之差 来来表示。表示。6-59离差平方和的分解离差平方和的分解（图示）（图示）y离差分解图离差分解图6-60离差平方和的分解离差平方和的分解 （三个平方和的关系）（三个平方和的关系）2. 两端平方后求和有两端平方后求和有SST = SSR + SSE总变差平方和总变差平方和（SST）回归平方和回归平方和（SSR）残差平方和残差平方和（SSE）6-61离差平方和的分解离差平方和的分解 （三个平方和的意义（三个平方和的意义）1.总平方和总平方和(SST)n 反映因变量的反映因变量的 n 个观察值与

38、其均值的总离差个观察值与其均值的总离差2.回归平方和回归平方和(SSR)n 反映自变量反映自变量 x 的变化对因变量的变化对因变量 y 取值变化的取值变化的影响，或者说，是由于影响，或者说，是由于 x 与与 y 之间的线性关之间的线性关系引起的系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平的取值变化，也称为可解释的平方和。方和。3.残差平方和残差平方和(SSE)n 反映除反映除 x 以外的其他因素对以外的其他因素对 y 取值的影响，取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和。也称为不可解释的平方和或剩余平方和。6-62样本决定系数样本决定系数 （判定系数（判定系数 r2 ）1.回归平方和占总离

39、差平方和的比例：回归平方和占总离差平方和的比例：2. 反映回归直线的拟合程度反映回归直线的拟合程度3. 取值范围在取值范围在 0 , 1 之间之间4. r2 1，说明回归方程拟合的越好；，说明回归方程拟合的越好；r20，说明回归方程拟合的越差，说明回归方程拟合的越差5. 判定系数等于相关系数的平方，即判定系数等于相关系数的平方，即r2(r)26-63（三）回归方程的显著性检验（三）回归方程的显著性检验 （线性关系的检验线性关系的检验 ）1. 检验自变量和因变量之间的线性关系是否检验自变量和因变量之间的线性关系是否显著显著2. 具体方法是将回归离差平方和具体方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余

40、同剩余离差平方和离差平方和(SSE)加以比较，应用加以比较，应用F检验来检验来分析二者之间的差别是否显著分析二者之间的差别是否显著如果是显著的，两个变量之间存在线性关系如果是显著的，两个变量之间存在线性关系如果不显著，两个变量之间不存在线性关系如果不显著，两个变量之间不存在线性关系6-64回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验 （检验检验的步骤）的步骤）1.提出假设提出假设nH0：线性关系不显著：线性关系不显著6-65回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验 （方差分析表方差分析表）1296.5266-66回归系数的显著性检验回归系数的显著性检验（要点）（要点）3. 在一元线性回归中，等价于

41、回归方程的在一元线性回归中，等价于回归方程的显著性检验显著性检验1. 检验检验 x 与与 y 之间是否具有线性关系，或之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量者说，检验自变量 x 对因变量对因变量 y 的影响的影响是否显著是否显著6-671.1. 是根据最小二乘法求出的样本统计量，它是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自己的分布有自己的分布2.2. 的分布具有如下性质的分布具有如下性质分布形式：正态分布分布形式：正态分布数学期望：数学期望：标准差：标准差：由于由于 无未知，需用其估计量无未知，需用其估计量S Sy y来代替得到来代替得到 的估计的标准差的估计的标准差回归系数的显著性检验回归系

42、数的显著性检验（样本统计量（样本统计量 的分布）的分布）11)(E2)(1xxi2)(1xxSSiy6-68回归系数的显著性检验回归系数的显著性检验（样本统计量（样本统计量 的分布）的分布）2)(1xxSSiy 的抽样分布的抽样分布11)(E6-69回归系数的显著性检验回归系数的显著性检验 （步骤）（步骤）1.提出假设提出假设nH0: 1 = 0 (没有线性关系没有线性关系) nH1: 1 0 (有线性关系有线性关系) 2.计算检验的统计量计算检验的统计量3. 确定显著性水平确定显著性水平 ，并进行决策，并进行决策 t t，拒绝，拒绝H0； t t=2.201，拒绝，拒绝H0，表明，表明人均收入人均收入与人均消费之间有线性关系与人均消费之间有线性关系对前例的回归系数进行显著性检验对前例的回归系数进行显著性检验( 0.05)6-71回归系数的显著性检验回归系数的显著性检验(Excel输出的结果）输出的结果）051872. 0867789. 1111St418049. 88047.39000StniiyxxxnSS122)()(10niiyxxSS12)(16-72四、利用回归方程进行估计和预测四、利用回归方程进行估计和预测1. 根据自变量根