双曲线及其标准方程（第1课时）

1、2.3.1 2.3.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程（第一课时）（第一课时）yxoF2F1M1F2F 0, c 0, cXYO yxM,1. 椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a ( 2a|F1F2|0) 的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的2.2.引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的实验探究实验探究两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点;|F1F2|=2c 焦距焦距. F2F1M 平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距

2、离的差的距离的差的绝对值的绝对值等于常数等于常数 的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做双曲线双曲线.（小于（小于F1F2且大于零）且大于零）注意注意一、定义一、定义02a |F1F2|)02a |F1F2|)当当02a |F1F2|时时双曲线双曲线两条射线两条射线无轨迹无轨迹| |MF1|-|MF2| | =2a双曲线冷却塔工程双曲线冷却塔工程F2F1MxOy二、求双曲线方程二、求双曲线方程 取过焦点取过焦点F1、F2的直线为的直线为x x轴，取轴，取线段线段F1、F2的中垂线为的中垂线为y y轴，建立平面轴，建立平面直角坐标系（如右图）。直角坐标系（如右图）。 设曲线上任一点为设曲线上任一点为M M

3、（x,yx,y），），| |F1F2|=2c,|=2c,则则, ,F1(-c,0),(-c,0),F F2 2(c,0).(c,0).2 2、找等量关系（列式）找等量关系（列式）4 4、化简化简3 3、代换代换| |MF1|-|MF2| | =2a1 1、建系设点建系设点aycxycx2)()(2222 将方程移项再平方将方程移项再平方两边再平方得：两边再平方得：由双曲线定义知：由双曲线定义知：2c2a0即即ca0，c2 a20设设 c2 a2=b2 得：得：b2x2 - a2y2=a2b2两边同两边同除以除以a2b2得：得：)0, 0(12222 babyaxaycxycx2)()(2222

4、 222222244ycxycxaaycx 222ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa )()(22222222acayaxac 这叫双曲线的这叫双曲线的标准方程。标准方程。aycxycx2)()(2222 焦点坐标：焦点坐标：F1(0 , -c) ， F2(0 , c)0, 0(12222 babxay222bac 思考：思考：若取过焦点若取过焦点F1、F2的直线为的直线为y y轴，取线轴，取线段段F1、F2的中垂线为的中垂线为x x轴建立平面直角坐标系轴建立平面直角坐标系, ,双曲双曲线的方程会发生怎样的变化？线的方程会发生怎样的变化？ 这叫双曲线的这叫

5、双曲线的标准方程。标准方程。yxoF2F1F2F1MxOyOMF2F1xy12222byax)0, 0( ba三、双曲线的标准方程三、双曲线的标准方程c2 = a2 + b212222bxay)0, 0( ba判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。及焦点坐标。cba,答案：答案：)0 ,6(),0 ,6(6,2,2)1( cba)0 , 2(),0 , 2(2,2,2)3( cba124)1(22 yx122)3(22 yx124)2(22 yx124)4(22 yx)6,0(),6,0(6,2,2)2( cba回顾回顾2:2:已知一已知一椭

6、圆椭圆的标准方程如何确定焦点位置？的标准方程如何确定焦点位置？12422 yx12422 xy焦点在焦点在x x轴上轴上焦点在焦点在y y轴上轴上椭椭 圆圆 看看 分分 母母 大大 小小双双 曲曲 线线 看看 系系 数数 正正 负负思考思考: :若已知若已知双曲线双曲线的标准方程如何确定焦点位置？的标准方程如何确定焦点位置？回顾回顾1 1：椭圆椭圆 的标准方程可以看作的标准方程可以看作双曲线双曲线的标准方程可以看作两个分式的平方的标准方程可以看作两个分式的平方差差等于等于1 1；两个分式的平方两个分式的平方和和等于等于1 1；)0 ,6(),0 ,6( )6, 0(),6, 0( (1)(1)

7、焦点焦点 的坐标为的坐标为(2)(2)若点是双曲线上的一点，已知若点是双曲线上的一点，已知则则(3)(3)若点是双曲线右支上的一点，已知若点是双曲线右支上的一点，已知则则(4)(4)点在双曲线的左支上，在点在双曲线的左支上，在 中，中， 则三角形的周长为则三角形的周长为P116922 yx21,FF101 PF 2PF81 PF 2PF21FPF 31 PF| |PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2| | |=2a=6=2a=6yxo1F2FP( 5, 0)4 4或或16162 2|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=6|=6|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=-2

8、a=-6|=-2a=-6|PF|PF2 2|=9|=9|F|F1 1F F2 2|=2c=10|=2c=102222例例1:1:已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为F F1 1(-5,0),F(-5,0),F2 2(5,0)(5,0)，双曲线上一，双曲线上一点点P P到到F F1 1、F F2 2的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于6 6，求双曲线的标准，求双曲线的标准方程方程. .116922 yx)0, 0(12222 babyax解解: :焦距为焦距为10101169, 11692222 xyyx“先定位后定量，若不能定位则有两种先定位后定量，若不能定位则有两种可能可能”1、写出

9、适合下列条件的双曲线的标准方程写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1)1)焦点在焦点在x x轴上轴上a=4 ，b=3 ；4,15 ca解：双曲线的标准方程为解：双曲线的标准方程为:191622 yx双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为:解：解：115, 1152222 yxxy11516222 acb补充题：补充题：2)2)焦点在焦点在x x轴上，经过点轴上，经过点 ，)3,2( )2,315( 解：解：12222 byax设方程为：设方程为：把已知两点代入方程得：把已知两点代入方程得： 12351322222baba解得：解得： 3122ba1322 yx双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为

10、:( (教材教材5555页页) )定义定义图形图形标准方程标准方程焦点焦点a a、b b、c c之之间的关系间的关系如何判断双如何判断双曲线位置？曲线位置？ 0, 012222 babxay(c,0)、( c,0)(0,c)、(0, c)c2=a2+b2 0, 012222 babyax| |MF1|-|MF2| | =2aF2F1MxOyOMF2F1xy看系数的正负看系数的正负1 1、2.3A2.3A组组( (课本第课本第6161页页) 1) 1，2 22 2、课后思考、课后思考1、写出适合下列条件的双曲线的标准方程写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1)1)焦点在焦点在x x轴上轴上a=4

11、 ，b=3 ；4,15 ca解：双曲线的标准方程为解：双曲线的标准方程为:191622 yx双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为:解：解：1151152222 yxxy或或11516222 acb补充题：补充题：2)2)焦点在焦点在x x轴上，经过点轴上，经过点 ，)3,2( )2,315( 解：解：12222 byax设方程为：设方程为：把已知两点代入方程得：把已知两点代入方程得： 12351322222baba解得：解得： 3122ba1322 yx双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为:13, 132222 xyyx双双曲曲线线发发展展史史定定 义义标标 准准方方 程程 焦焦 点点a.b.

12、c的关系的关系x x2 2a a2 2-y y2 2b b2 2= =1 1x x2 2y y2 2a a2 2+ +b b2 2 =1 =1F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，c2=a2-b2双曲线双曲线M| |MF1|-|MF2|=2a M | |MF1|+|MF2|=2ax x2 2a a2 2+ +y y2 2b b2 2= =1 1椭椭 圆圆双曲线双曲线y y2 2x x2 2a a2 2- -b b2 2= = 1 1F（0，c）F（0，c）(ab0)(a0,b0)2、求证、求证: :双曲线双曲线 与椭圆与椭圆 的焦点相同的焦点相同.151522