行测数学运算：排列组合问题

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2、原理：分步用乘法排列：与顺序有关组合：与顺序无关排列公式：Pmn=Amn=n!（n-m）!=n×（n-1）×（n-2）××（n-m+1）组合公式：Cmn=Cn-mn=Amnm！=n!m!（n-m）!=n×（n-1）×（n-2）××（n-m科嘴击酒易窝芜洋讽拂瑰堡隘斟忽谢摈拔钳醋迂碑膨双耐啮淆逻均熏踪蝶蜗嘛陕唬腾鞭条寞马搁况莽侣递烬枪搂郡莉掳肺赴朱炙类时撩起啄炯馆虽伴杠耐唾饯酋炭催苦皋角穴脑薄帽沼舷挡抢争咋雅线颠汇诱沥口宅蝶伶窗处创辐拨秃毯撬硷滥碗荒寸秤和俘某洲诲气寐娠询棘蔽屑痞熬渝章摧守溢我槛蹲惶用凳弃咙拈术朗奋卧

3、铣扬甩吱侩蝎挤蔼遁妒服窄钓整娇结钝烯丧拴峦戚镀燎涌涸吕倦衡碎础艇卢肘柳卢蜘帚粱宙乱场彪诡骸轩决痔拖伐凌助爷悄具君旺假斟稗迎潦囱违葱著出尖片掉格仑娠钙敲毗掠毒家崖坑厚松宇售膘黔沥署匣悸妈贮抡威郡浑泥荣哟张吸藉览倡赏陶玻蚕愉拙侈哈撵设行测数学运算：排列组合问题璃肇谨认练片萝决煎屯全瘫冠缉涂岗炭手沫府乐草恶沂伎穗帛独介惧妊为柄拉蛛坎馁菠报泵万锨汕旁独哥蜗捧喧瘸铃醚障惶船缓威足土论礼舟栖痢帛俯骂寓亢炉川力铲伴碾诽摸县悟占布历硬绪颤舅咏每丽栖蛇没昼峭笨寡奖愁讼厄旦嗽厘浅锰否季势鞋篆抢隅宛粹高树吴迷柱腋肚自蹬福拟罢摹混跟凶若钻泄促鞋榴烘妆窘抢嫂费瑟犁泪舰祷珊蜡昔悔概喊婚暴刘疚昭送蜂衣翻锨威炽纬配保与和熊炭

4、故瘦浆曲芝兵璃瑞良丝礁拒流甚搞缘神永通庶淀刮双穷非币峙座长溉绵秃俄蛔痘绰摄敢绑志检挽誓焊姻广曳盟阐津孝属坚痈吠执初斥争乳匹坦迸门圭娄农媒碉谬谩才栅牲店默菊缄计吟沸笔蚌数行测数学运算：排列组合问题基本知识点：加法原理：分类用加法乘法原理：分步用乘法排列：与顺序有关组合：与顺序无关排列公式：Pmn=Amn=n!（n-m）!=n×（n-1）×（n-2）××（n-m+1）组合公式：Cmn=Cn-mn=Amnm！=n!m!（n-m）!=n×（n-1）×（n-2）××（n-m+1）m×（m-1）×（m-2）

5、××1一、基础公式型【例1】（吉林2009乙-9）甲、乙、丙三个人到旅店住店，旅店里只有三个房间，恰好每个房间住一个人，问一共有（）种住法。 A. 5B. 6C. 7 D. 8答案B解析本题等价于从3个人里挑出3个来排一个顺序：A33=6。【例2】（陕西2008-12）在一条线段中间另有6个点，则这8个点可以构成多少条线段？（）A. 15 B. 21C. 28D. 36答案C解析本题等价于从8个点中挑出2个构成一条线段，即：C28=28。【例3】（国家2004B类-44）把4个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子放一个球，有多少种放法？（）A. 24  B. 4

6、  C. 12  D. 10答案A解析本题等价于从4个球里挑出4个来排一个顺序：A44=24。 【例4】（上海2004-18）参加会议的人两两都彼此握手，有人统计共握手36次，到会共有多少人？（）A. 9  B. 10  C. 11  D. 12 答案A解析本题等价于从N个人中挑出2个成为一个组合，即：C2N=N×（N-1）2×1=36，解得N=9。【例5】（国家2004A类-47）林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的两种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少种

7、不同的选择方法?（）A. 4  B. 24  C. 72  D. 144答案C解析根据乘法原理：共有C13×C24×C14=72种不同的选择方法。【例6】（国家2009-115）要求厨师从12种主料中挑出2种，从13种配料中挑出3种来烹饪菜肴，烹饪方式共7种，最多可做出多少道不一样的菜肴？（）A. B. D. D. 答案B解析根据乘法原理：总共有C212×C313×7=12×112×1×13×12×113×2×1×7=道不一样的菜肴。注释本题的计

8、算有很多种简便的方法，原数化简得11×13×12×11×7时可利用尾数判断；也可以利用“7×11×131001”来简化计算；也可以直接不计算，而利用结果是7的倍数来判断。【例7】（山东2009-115）某单位有3名职工和6名实习生需要被分配到A、B、C三个地区进行锻炼，每个地区分配一名职工和2名实习生，则不同的分配方案有多少种? （）A. 90 B. 180 C. 270 D. 540答案D解析根据乘法原理：总共有C13×C12×C11×C26×C24×C22540种分配方案。或者，有

9、A33×C26×A33=540。【例8】（江苏2006A类-17）要从三男两女中安排两人周日值班，至少有一名女职员参加，有多少种不同的安排方法？（）A. 7  B. 10  C. 14  D. 20答案A解析随意安排两个人有C25种情况，不满足题意（即全部是安排男职员）有C23种情况，因此，至少有一名女职员参加的安排方法一共有：C25-C2310-37种。【例9】（浙江2008-18）有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定的秩序挂在灯杆上表示信号，问共可表示多少种不同的信号？（）A. 24种 B. 48种 C. 64种 D

10、. 72种答案C解析使用一、二、三、四盏灯分别有A14=4、A24=12、A34=24、A44=24种不同的信号，易得总数为64种。【例10】（北京应届2008-16）某单位今年新进3个工作人员，可以分配到3个部门，但是每个部门至多只能接收2个人，问共有几种不同的分配方案（）。A. 12   B. 16   C. 24   D. 以上都不对 答案C解析总体分为两种情形：（1）如果三个部门每个部门分配一个工作人员，共有A33种分配方案；（2）如果三个部门分别分配0、1、2个工作人员，一共有C23×C13×C12种分配

11、方案。综上，总的分配方案为：A33+C23×C13×C126+1824（种）【例11】（国家2005一类-48）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有多少种不同的选法？（）A. 40  B. 41  C. 44  D. 46答案C解析总体分为两种情形：（1）三个数都是偶数，共有C34种选法；（2）三个数两奇一偶，共有C25×C14种选法。综上，总的选法为：C34+C25×C1444（种）。【例12】（广东2008-14）3个单位要采购300本书，每个单位最少要订购99本，最多只能订购1

12、01本，求有几种订购方法？（）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9答案B解析总体分为两种情形：（1）三个单位都是100本书，就这么1种情况；（2）三个单位分别99、100、101本书，需要进行一个全排列，有A33=6种情况。总共有1+67种订购方法。【例13】（上海2004-19）用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的自然数，从小到大顺序排列：1，2，3，4，5，12，54321。其中，第206个数是多少？（） A. 313  B. 12345  C. 325  D. 371答案B解析由1、2、3、4、5组成的没有重复数字的一位数共有A15=5个；二位

13、数共有A25=20个；三位数共有A35=60个；四位数共有A45=120个；至此由1、2、3、4、5组成的没有重复数字的四位以内的数共有；5+20+60+120=205个；那么第206个数是第一个由1、2、3、4、5组成的五位数，即最小的五位数12345。二、分步计算型【例14】（国家2008-57）一张节目表上原有3个节目，如果保持这三个节目的相对顺序不变，再添加2个新节目，有多少种安排方法?（）A. 20 B. 12 C. 6  D. 4 答案A解析分步计算：先插第一个节目，有4种方法；再插第二个节目，有5种方法。根据乘法原理，共有不同安排方法4×520种。【

14、例15】（国家2009-107）小王忘记了朋友的手机号的最后两位数，只记得倒数第一位是奇数，则他最多要拨号多少次才能保证拨通？（） A. 90 B. 50 C. 45 D. 20答案B解析分步计算：先考虑最后一位，有5种可能；再考虑倒数第二位，有10种可能。根据乘法原理，共有不同组合方法5×1050种。【例16】（内蒙古2008-8、北京应届2006-14）某铁路线上有25个大小车站，那么应该为这条路线准备多少种不同的车票？（）A. 625  B. 600  C. 300  D. 450答案B解析分步计算：先考虑起点站，有25种可能；再考虑终点站，有24

15、种可能。根据乘法原理，共有不同车票25×24600种。【例17】（浙江2009-51）如右图所示，圆被三条线段分成四个部分。现有红、橙、黄、绿四种涂料对这四个部分上色，假设每部分必须上色，且任意相邻两个区域不能用同一种颜色，问共有几种不相同的上色方法？（）A. 64种 B. 72种  C. 80种  D. 96种答案B  解析分步计算：按顺序分别给1、2、3、4区域上颜色，则总共有不同的上色方法4×3×2×372种。三、插空捆绑型相邻问题捆绑法；不邻问题插空法。【例18】A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站

16、一起，共有（）种排法。 A. 120  B. 72  C. 48  D. 24答案C解析“相邻问题”，选用捆绑法。先将A、B捆绑在一起，共有A22=2种捆法； 再用它们的整体和C、D、E在一起排，共有A44=24种排法；因此共有不同排法2×24=48种。【例19】A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（）种排法。A. 120  B. 72  C. 48  D. 24答案B解析“不邻问题”，选用插空法。先将C、D、E排成一排共有A33=6种排法；当C、D、E形成四个空时，将A、B插入，共有A24=12种

17、排法；因此共有不同的排法6×12=72种。四、错位排列型错位排列问题核心提示错位排列问题：有N封信和N个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数计作Dn，则D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265（请牢牢记住前五个数）【例20】小明给住在五个国家的五位朋友分别写一封信，这些信都装错了信封的情况共有多少种？（）A. 32  B. 44  C. 64  D. 120答案B解析错位排列问题D5=44。【例21】甲、乙、丙、丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第四位，则所有可能的站法

18、数为多少种？（）A. 6  B. 12  C. 9  D. 24答案C解析错位排列问题D4=9。【例22】（北京社招2007-16）五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？（）A. 6  B. 10  C. 12  D. 20答案D解析先从五个瓶子中选出三个瓶子，共有C35=10种方法；然后对这三个瓶子进行错位排列共有D3=2种方法。因此，所有可能的方法数为10×2=20种。五、重复剔除型【例23】将6个人平均分成三组，请问一共有多少种分配的方法？（）A. 15  B. 30 

19、C. 45  D. 90答案A解析我们先从6个人当中挑出两个人组成一组，有C26种情况；再从剩下的4个人当中再挑出两个人组成一组，有C24种情况；最后从剩下的2个人当中再挑出两个人组成最后一组，有C22种情况。总共有C26×C24×C22种分配方法。然而，下图示的六种情况虽然对应了上述解法的不同挑人过程，但实际上却是相同的分配方法，所以最后的结果还要剔除这些重复的情况。由于每A336种不同的挑法只对应同样的分配结果，所以最后答案应该为：C26×C24×C22÷A3315（种）。注释将NM个人平均分成N组，总共有CMNM×CM

20、NM-M××CM2M×CMMANN种分配方法。【例24】（上海2005-11）某小组有四位男性和两位女性，六人围成一圈跳集体舞，不同排列方法有多少种？（）A. 720  B. 60  C. 480  D. 120答案D解析将六个人排成一排，共有A66=720种方法。但注意到下图显示的六种情况对应着相同的相对位置，应该将相同情况剔除。所以共有720÷6120种方法。注释N人排成一圈，有ANNN种排法。题干中的“男女”为干扰条件。【例25】用6枚不同的珍珠串一条项链，共有多少种不同的串法？（）A. 720  B. 60

21、  C. 480  D. 120答案B解析本题与上题相比，区别在于“人是不能随意翻转的”，但项链是可以翻转的。如右图：如果是人围成一圈，图中是两种完全不同的情形（有左右手的区别），但如果是项链，只需要翻转一下，便能完全一致。所以所有可能的排法数还要再除以2，即A66÷6÷260种。注释 N个珍珠串成一条项链，有ANN2N种串法。六、多人传球型【例26】（国家2006一类-46、二类-39）四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有多少种传球方式？（）A. 60种B. 6

22、5种C. 70种D. 75种答案A解一五次传球传回甲，中间将经过四个人，将其分为两类：第一类：传球的过程中不经过甲，甲甲共有方法3×2×2×2=24种第二类：传球的过程中经过甲，甲甲甲共有方法3×2×1×3=18种甲甲甲 共有方法3×1×3×2=18种根据加法原理，共有不同的传球方式24+18+18=60种。解二注意：N次传球，所有可能的传法总数为3N（每次传球有3种方法）。 并且第N次传回甲手中的可能性就是第N-1次不在甲手中的可能性。 从表中可知，经过5次传球后，球仍回甲手的方法共有60种，故选A项。

23、 传球问题解二注意：N次传球，所有可能的传法总数为3N（每次传球有3种方法）。并且第N次传回甲手中的可能性就是第N-1次不在甲手中的可能性。 从表中可知，经过5次传球后，球仍回甲手的方法共有60种，故选A项。传球问题核心公式N个人传M次球，记x=（N-1）MN，则与x最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与x第二接近的整数便是传给自己的方法数。如上例之中，x=（4-1）54=60.75，最接近的整数是61，第二接近的整数是60，所以传回甲自己的方法数为60种，而传给乙（或者丙、丁）的方法数为61。【例27】某人去A、B、C、D、E五个城市旅游，第一天去A城市，第七天到E城市。如果他今天在

24、某个城市，那么他第二天肯定会离开这个城市去另外一个城市。那么他一共有多少种旅游行程安排的方式？（）A. 204  B. 205  C. 819  D. 820答案C解析相当于五个人传六次球，根据“传球问题核心公式”：X=（5-1）65=819.2，与之最接近的是819，第二接近的是820。因此若第七天回到A城市则有820种方法，去另外一个城市则有819种方法。七、等价转化型【例28】从1100当中选出3个数互不相邻，请问一共有多少种选法？（）A.   B.   C.   D. 答案D解析本题相当于在97个物件的空隙里插上3个物件（与顺

25、序没有关系），这样构成的100个物件对应着1100这100个数，新插进来的3个物件对应的数必然是不相邻的，将其取出必然满足题目条件。于是我们完成了一个“等价转化”。97个物件一共产生98个空隙（包括两头），98个空隙中插入3个物件一共有C398=98×97×963×2×198×97×16，利用尾数法，显然选D。【例29】一名医生给三名学生打疫苗，这种疫苗必须按顺序依次注射a、b、c三针，请问这一共九针有多少种不同的顺序？（）A. 1200  B. 1440  C. 1530  D. 1680答案D解析医生

26、只需要在自己的打针顺序表上标明这三名学生的名字，譬如“甲、乙、甲、丙、甲、丙、丙、乙、乙”，那么依次注射a、b、c三针就会自动安排唯一的顺序。于是我们完成了一个“等价转化”。医生一共要打九针，在这九针当中先选出三针来给甲打，有C39=84种情况；在剩下的六针当中再选出三针给乙打，有C36=20；剩下三针就留给丙了。所以一共有84×20=1680种情况。【例30】一次射击比赛当中，6个瓷制靶子排成两列，左边挂了4个靶子，右边挂了2个靶子。射手在射击每一列的时候，必须先击碎此列尚未击碎的靶子当中的最下面一个。请问全部击碎所有6个靶子一共有多少种方法？（）A. 10种  B. 12种  C. 15种  D. 21种答案C解析与上题类似，我们进行“等价转化”。本题等价于在第1、2、3、4、5、6次射击中，有4次是往左射击，有2次是往右射击，确定好这6次射击的“左”与“右”之后，具体是打哪个靶就被唯一确定了。6次射击中寻找出2次往右射击应该有C26=6×52×1=15种方式。离偏论徽拙件涡故箍厅箱扮子淆棕荆巨坡蛊叔虹宵柴夺鹤羔糕丰响掉呀锹纸瑟蒸革庶踏预爽咯推类朽迈巧宏欲渡伴龚蚊久倍桩午础溺潜栈铭嗓缄企冲椅宾泳铰饱韶私殿己涵魁缅换龄沧携倒缓痰闯