第三章导数的应用

1、导数的应用应用数学精品课程教案第三章 导数的应用第一节 中值定理教学目标：1了解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理；2掌握中值定理的简单应用教学重点：罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理教学难点：中值定理的简单应用共2学时一、 拉格朗日中值定理定理1（罗尔中值定理）：设函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）。则在内至少存在一点，使得（）。定理2（拉格朗日中值定理）：设函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导。则在内至少存在一点，使得，拉格朗日中值定理的意义：由， 得，即曲线上至少有一点M处的切线的斜率与过两点的直线的斜

2、率相同。函数在区间上的增量可用区间内某点的导数与区间长度的乘积表示。例1、 设函数在区间上是否否满足拉格朗日中值定理的条件？若满足，求适合定理的值。解：因为是初等函数，在区间上连续，且在开区间内可导，且所以函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件。由拉格朗日中值定理得， 即 ， 解得推论：在区间I内，若，则证明：任取，不妨设，则函数在上满足拉格朗日中值定理的条件，则至少存在一点，使得 由于，故所以 ，即 。这说明在内的任意两点的函数值相等，所以在区间内是一个常数。第二节 洛必达法则教学目标：1.掌握洛必塔法则； 2.会运用洛必塔法则求不定式的极限；3.了解运用洛必塔法则可化为不定式的极限

3、0;教学重点：洛必塔(LHospilal)法则  教学难点：洛必塔(LHospilal)法则的应用；未定式极限共4学时定理1、设函数、满足：（1）、，；（2）、在的某去心邻域内，与存在，且；（3）、存在或为无穷大，则 。证明从略。定理1的意义：时，未定式型在符合定理条件下，可以通过分子、分母分别求导后再求极限，这种确定未定式的值的方法称为洛必达法则。例1、 求例2、 求.例3、 求例4、 求解： =即：在使用洛必达法则时，若还是型未定式，且函数与仍满足洛必达法则的条件，则可继续使用洛必达法则：=。例5、 求；二、型未定式的极限定理2、设函数、满足：（1）、，；（2）、在的某

4、去心邻域内，与存在，且；（3）、存在或为无穷大，则 。对于有类似的结论。例6、求下列极限（1）、求（2）；（2）、；（3）、（，n为正整数）；三、其它未定式的极限对于等未定式，可以通过适当的变形将它们先转化为型或型的未定式，再用洛必达法则计算。例7、求下列极限（1）（n>0）；（2）；（3）；注意：定理中的条件对于结论来讲是充分的，即若存在，则存在，而当不存在时则未必不存在。这时洛必达法则失效，改用其它方法求极限。对于有相应的洛必达法则。例3求；例4；作业：P103T（1）（4），T3（1）（2），T4。第三节 函数的极植与最大值、最小值 教学目标： 1了理解函数的极值概念；2

5、. 掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法；3掌握较简单的最大值和最小值的应用问题的求解教学重点：利用导数判断函数的单调性和求极值教学难点：简单的最大值和最小值的应用问题函数的极值及其求法共4学时一 函数的单调性的判定定理1（函数单调性的判定定理）设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，（1） 如果在内，则函数在上单调增加；（2） 如果在内，则函数在上单调减少。证明：任取，不妨设，则函数在上满足拉格朗日中值定理的条件,则有 若在内，则，且，于是 ，即 。这就是说，在上单调增加。同理，若在内，则，于是，即 。这就是说，在上单调减少。注：若将定理中的闭区间换成开区间或无穷区间，判定定理的结论仍然成

6、立。例2、 判别函数的单调性。解：因为，且只有当时，所以函数在定义域内是单调增加的。由例2知：当在某区间内的有限个点处为零，其余各点处均为正（负）时，函数在该区间内仍为单调增加（减少）的。例3、 讨论函数的单调性。例4、 讨论函数的单调性。解：函数在内连续，当时，没有使导数等于零的点，但当时不存在。在内，函数单调减少；内，函数单调增加。由此可见，导数不存在 的点也可能是函数增减区间的分界点。结论：讨论连续函数的单调性时，先求也使导数为零的点和导数不存在的点，用这些点将定义域划分为若干个区间，然后在每个区间上根据导数的正负来确定函数的单调性。二、函数的极值定义1、函数在点的某邻域内有定义，若对于

7、该邻域内的任一点，均有，则称是的一个极大值，称为函数的极大值点；若对该邻域内的任一点，均有，则称是的一个极小值，称为函数的极小值点。函数的极大值与极小值勤统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。定理1、（极值的必要条件）设在点处具有导数，且在处取得极值，那么定理1证明从略。导数为零的点，称为驻点。定理2、（极值的第一充分条件）设函数在点的某一邻域内可导，且，那么，在此邻域内有：（1） 若当时，当时，则在处取得极大值；（2） 若当时，当时，则在处取得极小值；（3） 若当时的符号符号保持不变，则在处没有极值。即：当在的邻近渐增地经过时，如果的符号由正变负，那么在处取得极大值；如果的符号由负变正

8、，那么在处取得极小值；如果的符号并不改变，那么在处没有极值。例1、求函数的极值。解：函数的定义域为，令，即，解得驻点用把定义域分成三个部分区间，列表讨论如下：所以，函数的极大值为 函数的极小值为 13+00+极大值极小值例2、求的极值。解：函数的定义域为，令解得驻点，不可导点，这两个点把定义域分成三个部分区间，。+不存在+极大值极小值列表讨论如下：所以，函数的极大值为 函数的极小值为 。定理3、（极值的第二充分条件）设在处有二阶导数，且则（1）、当时，为极大值；（2）、当时，为极小值。例3、求函数的极值。解：，令，得驻点 ， ，没有不可导点，因此，可用第二充分条件判断， 所以，函数的极大值为

9、函数的极小值为 求函数极值的步骤：（1）、求出函数的定义域及导数；（2）、求出的驻点与不可导点；（3）、考察的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，用第一充分条件判定该点是否为极值点及极大值点、极小值点；或用第二充分条件判定驻点是哪种极值点。（4）、求出各极值点的函数值，就得函数的全部极值。三、函数的最值极值是一个发展局部部概念，是与极值点邻近的所有点的函数值相比而言的，而最大值、最小值是一个整体概念，是函数在整个区间上全部数值中的最大者、最小者。下面分别就两种情况讨论最大值、最小值的存在性及求法：（1）、为闭区间上的连续函数，由连续函数的性质定理知，在上存在最大值与最小值。又由函数极值

10、的讨论，的最大值、最小值只能在区间端点、驻点及不可导点处取得。因此，只须将上述特殊点的函数值进行比较，其中最大者就是在上的最大值（记作），最小者就是在上的最小孩子值（记作）。例1、求在区间上的最大值与最小值。解：，令，得驻点，其函数值为 区间端点处的函数值为 ，。故函数在上最大值最小值。（2）、函数在内只有一个驻点，并且是函数的极值点，那么，当是极大值时，也是在内的最大值；当是极小值时，也是在内的最小值。例5 设有一块边长为的正方形铁皮，从四个角截去同样大小的正方形小方块，做成一个无盖的方盒子，小方块的边长为多少才能使盒子容积最大？解：设小块的边长为，则方盒的底边长为方盒容积 ， ， 令，得函

11、数有内的唯一驻点，又 ， 所以是函数在内的唯一极大值点，故当剪去的小方块的边长为时，盒子的容积最大。作业第四节 曲线的凹凸性与拐点教学目标：1了解凹凸性和拐点的概念2掌握利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点的方法 3初步掌握描绘较简单的函数的图形(包括水平和铅直渐近线)教学重点：利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；描绘函数的图形(包括水平和铅直渐近线)教学难点：描绘函数的图形(包括水平和铅直渐近线)共4学时一、 曲线的凹凸性与拐点定义：设曲线在内各点都有切线，如果曲线上每一点处的切线都在它的下方，则称曲线在内是凹的，也称为曲线的凹区间；如果曲线上每一点处的切线都在它的上方，则称曲线在内是凸的，也

12、称为曲线的凸区间。如何判定曲线的凹凸呢？定理 设函数在内具有二阶导数，那么：（1） 如果在内，则曲线在内是凹的；（2） 如果在内，则曲线在内是凸的。例1、 讨论曲线的凹凸性。解 函数的定义域为，当时，曲线在区间内是凸的；当时，曲线在区间内是凹的。当时，时，且点是曲线上由凹变凸的分界点。例2、 求曲线的凹凸区间。解 函数在定义区间内连续，当时， ，所以，当时，为函数的凹区间；当时，为函数的凸区间。显然，是不存在的点，且点是曲线上由凹变凸的分界点。一般地，连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。曲线拐点求法步骤：(1)、确定函数的定义域，并求；(2)、求出和的不存在的点，设它们为(3)、对于步

13、骤（2）中求出的每一个点考察在两侧近旁是否变号，如果变号，则点是曲线的拐点。例3、求函数的凹凸区间及拐点。解 （1）函数的定义域为；（2），令（3） 列表考察的符号：（4） 由表讨论可知，函数在内是凹的。在是凸的，曲线的拐点为，+_+凹拐点凸拐点凹二、 简单的函数作图举例曲线的渐近线如果，则称直线为曲线的水平渐近线；如果，则称直线为曲线的铅直渐近线。描绘函数的一般步骤：（1） 确定函数的定义域，并考察函数的奇偶性与周期性；（2） 求出方程 ，在函数定义域内的全部实根，以及，不存在的点，记为并将由小到大排列，将定义域划分为若干小区间；（3） 确定在这些区间内和的符号，从而确定函数的单调性、凹凸性

14、、极值点、拐点；（4） 考察曲线的渐近线及其它变化趋势；（5） 由曲线的方程计算出一些点的坐标，如极值点和极值、拐点，图形与坐标轴的交点的坐标，有时还需取某些辅助点，然后综合上述讨论的结果画出函数的图形。例4 作函数的图形。作业： 习题课基本内容一、 中值定理1、 罗尔定理：如果（1）、（2）、（3），则2、 拉格朗日中值定理：如果（1）、（2），则使二、 洛必达法则 “”型未定式的极限、“”型未定式的极限：如果（1）、（2）、（3），则。应用时注意：对于类似的洛必达法则。如果仍是或型的未定式，只要满足洛必达法则的条件，可重复使用洛必达法则，多次使用洛必达法则时应及时化简，使得运算简单。对于对

15、于等未定式，将它们先转化为型或型的未定式，再用洛必达法则计算。如果不存在，只是不能用洛必达法则求此极限，而不能断言此极限不存在，而应改用其它方法求此极限。三、导数在研究函数性态的应用1、函数的单调性的判定；2、函数的极值、极值点的概念，极值的必要条件、驻点，极值的第一、二充分条件。初等函数极值的求法步骤：求出导数；求出的驻点及不可导点；根据极值的第一充分条件或第二充分条件对上述各点逐个进行判断；求出各极值点的函数值，即为极值；函数的最值求法：（1）如果函数在上连续，求出驻点、导数不存在点及区间端点的函数值，将它们进行比较，其最大者为在上的最大值，其最小者为在上的最小值。（2）如果函数在内连续且

16、只有一个驻点，当是函数的极大值时，也是在内的最大值，当是函数的极小值时，也是在内的最小值。3、 曲线的凹凸性与拐点的概念，凹凸性的判定定理：时曲线是凹的，时曲线是凸的。拐点的判定方法：或处不存在，在两侧近旁异号，则点是曲线的拐点，在两侧近旁同号，则点不是曲线的拐点。4、 函数作图：函数作图的五个步骤：（1）确定的定义域，考察函数的奇偶性与周期性；（2）求出方程 ，在函数定义域内的全部实根，以及，不存在的点，记为并将由小到大排列，将定义域划分为若干小区间；（3）确定在这些区间内和的符号，从而确定函数的单调性、凹凸性、极值点、拐点；（4）考察曲线的渐近线及其它变化趋势；（5）由曲线的方程计算出一些点的坐标，如极值点和极值、拐点，图形与坐标轴的交点的坐标，有时还需取某些辅助点，然后综合上述讨论的结果画出函数的图形。例题、习题选讲：例1、 验证拉格朗日中值定理对于函数在区间上的正确性。例2、 证明：若在区间内有，则（C为常数）。例3、 求例4、 验证极限存在，但不能用洛