高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)

1、精选优质文档-倾情为你奉上【知识点分析】：一、 球的性质回顾如右图所示：O为球心，O为球O的一个小圆的圆心，则此时OO垂直于圆O所在平面。 求外接球半径的原理是：在RtOAO中，OA2=OO2+OA2二、 常见平面几何图形的外接圆半径（r）的求法1、三角形：（1）等边三角形：等边三角形(正三角形)，五心合一，即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点；外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点；重心：各边中线的交点；垂心：各边垂线的交点；中心：正多边形特有。从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质(2:1)进行求解：（其中a为等边三角形的边长） （2）直角三角形

2、：结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；可知：直角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点处，r=。（3）等腰三角形：结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线(即中线)上。由图可得：（4）非特殊三角形：非特殊三角形求解外接圆半径可使用正弦定理。2、四边形常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法转化为直角三角形，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内。外接圆圆心是在圆心到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是球心到几何体各个顶点距离相同的点。 结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，(也即球心落在过底

3、面外心的垂线上，)简单称之为：球心落在底面外心的正上方。【相似题练习】2半径为2的球的内接三棱锥PABC，PAPBPC2，ABACBC，则三棱锥的高为（）A3BC2D3【知识点分析】：类型一：直（正）棱柱:上下两底面三角形的外心连线与侧棱平行与底面垂直，从而球心O必位于上下两底面外心连线的中点处，即，从而R可求.【相似题练习】1三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA14，则此三棱柱外接球的表面积为（）ABCD【知识点分析】：类型二：侧棱垂直底面的三棱锥，法一：补形法：该几何体可由正三棱柱沿平面PBC切割得来，故可转化为原三棱柱的外接球；法

4、二：先确定底面三角形ABC的外心O，从而球心位于O的正上方，即OO 平面ABC，同时：OP=OA，故，过O作OMPA于M，此时M必为PA中点，从而四边形OMAO为矩形，所以，在直角三角形OOA中有：.【相似题练习】2已知在三棱锥PABC中，ABC是边长为2的正三角形，若PA底面ABC且PA2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A32B28C24D20 3在三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA2，AB4，AC3，BAC，则三棱锥PABC的外接球的半径R（）ABCD【知识点分析】：类型三：正三棱锥：由底面正三角形边长可得r，在直角三角形OOA中，故只需确定OO的长度即可，结合图形，OO=PO-OP

5、=H-R，代入即可求解. 【相似题练习】3正三棱锥PABC侧棱长为，侧棱与底面ABC所成的角为60，则该正三棱锥外接球半径为 . 2某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）【知识点分析】：类型四：侧面垂直于底面的三棱锥：设ABC和PAB的外心分别为O,O，则PMAB，球心设为O，则OO 平面ABC，OO 平面PAB，从而四边形OOMO是矩形，可得：OO=OM，在RtOOC中用勾股定理求解.【讲透例题】1在四面体ABCD中，AB5，BCCD3，DB2，AC4，ACD60，则该四面体的外接球的表面积为 解析：如图：取AB的中点O，在ACD中，由余弦

6、定理得：AD2AC2+CD22ACCDcos6013，在ABD中，AB2BD2+AD2，ADB90，OAOBOD，在ABC中，AB2BC2+AC2，ACB90，OAOBOC，OAOBOCOD，O为四面体ABCD的外接球的球心，其半径RAB，S球4R24（）225故答案为：25【相似题练习】4.在三棱锥P-ABC中，面PAB面ABC，三角形ABC和三角形PAB均为等边三角形，且AB=3，求该几何体外接球半径. 2在边长为2的菱形ABCD中，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABC平面ACD，则所得三棱锥ABCD的外接球表面积为（）ABCD1已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P

7、为平面ABC外一点，且平面PBC平面ABC，BC3，PB2，PC，则三棱锥PABC外接球的表面积为 5、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为长方形，PA底面ABCD，ADAP2，AB2，E为棱PD中点（1）求证：PD平面ABE；（2）求四棱锥PABCD外接球的体积 1如图，在正四棱锥PAMDE，底面AMDE的边长为2，侧棱PA，B，C分别为AM，MD的中点F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC，PM分别交于点G，H，K（1）求证：ABFG；（2）求正四棱锥PAMDE的外接球的表面积 1如图，四凌锥PABCD而底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形APD90，且平面PAD平面A

8、BCD（）求证：平面PAD平面PCD；（）在AD2，AB4，求三棱锥PABD的体积；（）在条件（）下，求四棱锥PABCD外接球的表面积 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）ABC19D22课后作业：1如图，一个正三棱柱的主视图是长为，宽为2的矩形，俯视图是边长为的正三角形，则它的外接球的表面积等于（）A16B12C8D42某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为（）AB3CD3某四棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A3BC6D12

9、4四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，AD2，AB2，PAPD，APD，且平面PAD平面ABCD（1）证明：PAPC；（2）求四棱锥PABCD的外接球的体积参考答案与解析12（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆若O1的面积为4，ABBCACOO1，则球O的表面积为（）A64B48C36D32【解答】解：由题意可知图形如图：O1的面积为4，可得O1A2，则AO1ABsin60，ABBCACOO12，外接球的半径为：R4，球O的表面积：44264故选：A11一个几何的三视图如图所示，它们都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积等于（）ABCD2解析：由三

10、视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥，其中底面是一个两直角边都为1的直角三角形，PC底面ABC，且PC1将此三棱锥恢复为棱长为1的正方体，可知该正方体的外接球的直径即为正方体的对角线，V外接球故选：B1半径为2的球的内接三棱锥PABC，PAPBPC2，ABACBC，则三棱锥的高为（）A3BC2D3【解答】解：三棱锥PABC中，PAPBPC2，ABACBC，如图，过点p作PM平面ABC的垂足为M，则球O的内接三棱锥PABC的球心O在PM所在直线上，球O的半径为2，OBOP2，由余弦定理得cosBPMBPM30，在RtPMB中，PBM60，PMPBsinPBM3故选：D1三棱柱ABCA1B1C

11、1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA14，则此三棱柱外接球的表面积为（）ABCD【解答】解：正三棱柱ABCA1B1C1的中，底面边长为2，高为4，由题意可得：三棱柱上下底面中心连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，正三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，表面积为：4r2球心到底面的距离为2，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：，所以球的半径为r外接球的表面积为：4r2故选：D2已知在三棱锥PABC中，ABC是边长为2的正三角形，若PA底面ABC且PA2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A32B28C24D20【

12、解答】解：由正弦定理可知，正ABC的外接圆的直径为，PA平面ABC，所以，该三棱锥的外接球的直径为，则因此，该三棱锥的外接球的表面积为4R220故选：D3在三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA2，AB4，AC3，BAC，则三棱锥PABC的外接球的半径R（）ABCD【解答】解：AC3，AB4，BAC，由余弦定理可得BC，ABC外接圆的半径r，设球心到平面ABC的距离为d，则dPA1由勾股定理可得R，故选：D3正三棱锥PABC侧棱长为，侧棱与底面ABC所成的角为60，则该正三棱锥外接球半径为1【解答】解：过点P作PH平面ABC于H，则AH是PA在平面ABC内的射影PAH是直线PA与底面ABC所成

13、的角，得PAH60，RtPAH中，AHPAcos60，PHPAsin60设三棱锥外接球的球心为O，PAPBPC，P在平面ABC内的射影H是ABC的外心由此可得，外接球心O必定在PH上，连接OA、OB、OCPOA中，OPOA，OAPOPA30，可得PAOA，三棱锥外接球的半径ROA1故答案为：12某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）A16B12C9D8【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为2的三棱锥体如图所示：所以该三棱锥体的外接球的球心为O，外接球的半径为OAr，则：，解得故S故选：C4.在三棱锥

14、P-ABC中，面PAB面ABC，三角形ABC和三角形PAB均为等边三角形，且AB=3，求该几何体外接球半径.由题可得：,所以2在边长为2的菱形ABCD中，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABC平面ACD，则所得三棱锥ABCD的外接球表面积为（）ABCD【解答】解：在边长为2的菱形ABCD中，；如图，由已知可得，ABC与ACD均为等边三角形，取AC中点G，连接BG，DG，则BGAC，DGcosGDAGDAADC；二面角BACD为直二面角，则BG平面ACD，分别取BCD与ABD的外心E，F，过E，F分别作两面的垂线，相交于O，则O为三棱锥ABCD的外接球的球心，由BCA与ACD均为等边三角

15、形且边长为2，可得OEOFDGDEDGGEOD三棱锥ABCD的外接球的表面积为4R24（）2故选：C1已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC平面ABC，BC3，PB2，PC，则三棱锥PABC外接球的表面积为10【解答】解：因为O为ABC外接圆的圆心，且平面PBC平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，根据球的性质，球心一定在垂线l，球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是PBC外接圆的圆心，在PBC中，由余弦定理得cosB，sinB，由正弦定理得：，解得R，三棱锥PABC外接球的表面积为s4R210，故答案为：101如图，在四棱

16、锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，ADAP2，AB2，E为棱PD中点（1）求证：PD平面ABE；（2）求四棱锥PABCD外接球的体积【解答】证明：（1）PA底面ABCD，AB底面ABCD，PAAB，又底面ABCD为矩形，ABAD，PAAD，又PA平面PAD，AD平面PAD，AB平面PAD，又PD平面PAD，ABPD，ADAP，E为PD中点，AEPD，AEABA，AE平面ABE，AB平面ABE，PD平面ABE解：（II）四棱锥PABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O，由已知BD4，设C为BD中点，AM2，OMAP1，OA3，四棱锥PABCD外接球的体积是3

17、61如图，在正四棱锥PAMDE，底面AMDE的边长为2，侧棱PA，B，C分别为AM，MD的中点F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC，PM分别交于点G，H，K（1）求证：ABFG；（2）求正四棱锥PAMDE的外接球的表面积【解答】（1）证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以ABDE又因为AB平面PDE，DE平面PDE,所以AB平面PDE因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDEFG，所以ABFG（2）解：连接AD，EM，相交于O，易得AO，PO由正四棱锥PAMDE的对称性，得正四棱锥PAMDE得外接球球心在线段PO上，不妨设为O点设OAOPR，则OOR，AO2AO2+OO2，R

18、22+（R）2，RS4R2，正四棱锥PAMDE的外接球的表面积为1如图，四凌锥PABCD而底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形APD90，且平面PAD平面ABCD（）求证：平面PAD平面PCD；（）在AD2，AB4，求三棱锥PABD的体积；（）在条件（）下，求四棱锥PABCD外接球的表面积【解答】解：（I）四边形ABCD是矩形，ADCD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CD平面ABCD，CD平面PAD，CD平面PCD，平面PAD平面PCD（II）过P作PEAD，垂足为E，PAD是等腰直角三角形，APD90，PE1平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD

19、，PE平面PAD，PEAD，PE平面ABCD，V棱锥PABDSABDPE241（III）取BD中点M，过M作MN平面ABCD，则球心O在直线MN上，连接AM，则AMPE平面ABCD，MNPE四棱锥PABCD内接于球，E为外心，OM0，OASO4OA2201如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）ABC19D22【解答】解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，上底面PCD的外接圆的半径：O1D，几何体的外接球的半径为：OD，该四棱锥的外接球的表面积是：4故选：A课后作业答案：1如图，一个正三棱柱的主视图是长为，宽为2的矩形，俯视图是边长为的正三角形，则它的外接球的表面积等于（）