2016-2017学年人教A版选修2-1___32__立体几何中的向量法作业1

1、双基限时练(二十二)1在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，则AC与平面DEF的位置关系是()A平行 B相交C在平面内 D不能确定解析如图所示，易知EFAC，又AC平面DEF，EF平面DEF，AC平面DEF.答案A2在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()AAC BBDCA1D DA1A解析如图，B1D1CC1，B1D1A1C1，又CC1A1C1C1，B1D1平面AA1C1C，而CE平面AA1C1C.B1D1CE.又B1D1BD，CEBD.答案B3平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(1,0，1)，若a(1，y，z)，且a为

2、平面ABC的法向量，则y2等于()A2 B0C1 D无意义解析(1,2,1)(0,1,1)(1,1,0)，(1,0，1)(0,1,1)(1，1，2)又a(1，y，z)为平面ABC的法向量，a，a.a·0，a·0.y1，y21.答案C4直线l的方向向量为a，平面内两共点向量，下列关系中能表示l的是()Aa BakCapk D以上均不能解析A、B、C中均不能说明l，因此应选D.答案D5在边长为a的正三角形ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角BADC后，BCa，这时二面角BADC的大小为()A30° B45°C60° D90°解析由于A

3、BC是边长为a的正三角形，ADBC，折成二面角BADC后，ADBD，ADCD，所以BDC是二面角BADC的平面角又BCBDCDa.所以BCD为正三角形BDC60°.答案C6若直线l的方向向量a(2,3,1)，平面的一个法向量n(4,0,8)，则直线l与平面的位置关系是_解析a·n(2)×43×08×10，an，l，或l.答案l或l7若平面的一个法向量为n(3,3,0)，直线l的一个方向向量为a(1,1,1)，则l与所成角的余弦值为_解析设l与所成角为，则sin|cosn，a|，cos.答案8如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以AB

4、C为直角的等腰三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE平面B1DE，则AE_.解析建立直角坐标系Bxyz如图所示，依题意得B1(0,0,3a)，D，C(0，a,0)设E(a,0，z)(0z3a)，则(a，a，z)，(a,0，z3a)要使CE平面B1DE，即B1ECE，得·2a20z23az0.解得za或2a.答案a或2a9在正方体AC1中，O，M分别是DB1，D1C1的中点证明：OMBC1.证明如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，则O(1,1,1)，M(0,1,2)，B(2,2,0

5、)，C1(0,2,2)，(1,0,1)，(2,0,2)，.又O平面B1BCC1，OMBC1.10在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AEBF，求证：A1FC1E.证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)设AEBFx，E(a，x,0)，F(ax，a,0)(x，a，a)，(a，xa，a)·(x，a，a)·(a，xa，a)axaxa2a20.，即A1FC1E.11.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点求证：平面EFG平面AB1C

6、.证明设a，b，c，则ba，而ab，2，故.即EGAC.又bc，而bc2，即EFB1C.又EGEFE，ACB1CC，平面EFG平面AB1C.12.如图在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点，求证：AC1平面CDB1.证明因直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，所以AC2BC2AB2.所以ACBC，所以AC，BC，C1C两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(，2,0)设CB1与C1B

7、的交点为E，连接DE则E(0,2,2)，因(，0,2)，(3,0,4)所以，所以，又DE与AC1不共线，所以DEAC1，因DE平面CDB1，AC1平面CDB1.所以AC1平面CDB1.双基限时练(二十三)1已知空间四点A(0,1,0)，B(1,0，)，C(0,0,1)，D(1,1，)，则直线AC与BD的夹角为()A.B.C. D.解析(0，1,1)，(0,1,0)，cos，.AC与BD的夹角为.答案B2已知两异面直线a，b所夹的角为，直线c与a，b所夹的角都是，则的取值范围是()A， B，C， D，解析由两直线的夹角在0，内知，选项C，D被排除当将直线a，b平移在过点O的平面上时，直线c也平移

8、在这个平面上，且当c平分a与b的夹角时，最小为.答案B3平面与平面交于l，自一点P分别向两个面引垂线，垂足分别为A，B，则APB与，夹角的大小关系是()A相等 B互补C相等或互补 D不能确定解析当点P在平面，夹角的内部时，APB与平面，夹角互补；当点P在平面，夹角的外部时，APB与平面，的夹角相等答案C4在矩形ABCD中，AB3，AD4，PA平面ABCD，PA，那么二面角ABDP的大小为()A30° B45°C60° D75°解析建立空间直角坐标系Axyz，如图所示由AB3，AD4，得B(3,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0，)(3,0，)，(3,

9、4,0)设平面PBD的法向量m(x，y，z)，则由m·0，m·0，得令z5，则m(，5)又n(0,0，)为平面ABCD的法向量，cosm，n.m，n30°，即二面角ABDP的大小为30°.答案A5已知ABC的顶点坐标为A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，则ABC的面积是()A. B.C. D4解析(1,1,1)，(2,1,3)，cos，.sinA.SABC|sinA×××.答案C6如下图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B.C.

10、D.解析建立坐标系如图所示则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C1(0,2,1)，B1(2,2,1)，连接B1D1交A1C1于O，则是平面BB1D1D的一个法向量，由A1(2,0,1)，C1(0,2,1)知O(1,1,1)，(1,1,0)，(2,0,1)cos，.设BC1与平面BB1D1D成的角为，则sincos，.答案D7ABC的边BC在平面内，顶点A，ABC边BC上的高与平面所夹的角为，ABC的面积为S，则ABC在平面上的投影图形面积为_解析ABC在平面内的投影三角形为ABC，它的高ADADcos(AD为ABC的高)，SABC·BC·ADBC·ADcosSc

11、os.答案Scos8给出四个命题：若l1l2，则l1，l2与平面所成的角相等；若l1，l2与平面所成的角相等，则l1l2；l1与平面所成的角为30°，l2l1，则l2与平面所成的角为60°；两条异面直线与同一平面所成的角不会相等以上命题正确的是_解析正确不正确，l1与l2不一定平行不正确，l2与平面所成角不确定不正确，有可能相等答案9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_解析以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，设AB1，则D(0,0,0)，N，M，A1(1,0,

12、1)，·1×01××10，A1M与DN所成的角的大小是90°.答案90°10已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E是侧棱BB1的中点求直线AE与平面A1ED1所成的角的大小解以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系由题意A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)(0,1，1)，(1,1，1)，(0，1，1)设平面A1ED1的一个法向量为n(x，y，z)则令z1得y1，x0.n(0,1,1)，cosn，1.n，180°.直线AE与平面

13、A1ED1所成的角为90°.11在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M，N分别为AB，SB的中点(1)证明：ACSB；(2)求二面角NCMB的余弦值；(3)求点B到平面CMN的距离解(1)证明：取AC中点O，连接OS，OB.SASC，ABBC，ACSO且ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SO面ABC，SOBO.如图所示建立空间直角坐标系Oxyz.则A(2,0,0)，B(0,2，0)，C(2,0,0)，S(0,0,2)，M(1，0)，N(0，)(4,0,0)，(0,2，2)·(4,0,0)·(0,

14、2，2)0，ACSB.(2)由(1)得(3，0)，(1,0，)设n(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则取z1，则x，y.n(，1)又(0,0,2)为平面ABC的一个法向量，cosn，.二面角NCMB的余弦值为.(3)由(1)(2)得(1，0)，n(，1)为平面CMN的一个法向量，点B到平面CMN的距离d.12如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AFABBCFEAD.(1)求异面直线BF与DE所成角的大小；(2)证明平面AMD平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值解如图所示，建立空间直角坐标系Axyz.设AB1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M(，1，)(1)(1,0,1)，(0，1,1)，