北京工业大学2009-2010学年第1学期研究生《机械振动学》考试试卷

1、1 1 / / 4 4北京工业大学 2009 2010 学年第 1 学期研究生机械振动学 考试试卷、求图示单自由度系统的固有频率。（1515 分）说明：1 1、图中K为扭转弹簧的刚度；2 2、杆的质量不计；3 3、静平衡时质量 M M 处于垂直向下加阻尼后0.7，代入数据得：Z10.243cm三、求图示三自由度系统振动的固有频率与振型，画出振型图。解：取质量块m1, m2, m3的水平位移 冷X2, X3为广义坐标，则由影响系数法列出质量和刚度矩阵为解：仪器振动属于强迫振动，则相对位移的幅值为：2z y；(12)242 2问实际振幅为多少？若加入一阻尼器,解：如图，设小球转动方程sin吐，则系

2、统的动能和势能分别为：Tmax1212 212 2 2-Mv M &L -MnLVmax1K2MgL(1 cos ) 1K22MgLsin2、一位移传感器的固有频率为4HZ4HZ，无阻尼，用以测量频率为12Hz12Hz 的简谐振动、测得振幅为 0.275cm0.275cm，阻尼比为 0.70.7，问测得的振幅为多少， 误差为多少?(15(15 分)频率比123，无阻尼40，Z 0.275cm代入数据得：y 0.244cm误差：100%y0.244 0.2430.244100%0.41%由于 很小，sin2由TmaxVmax可得：2 2 / / 4 42k m k00k 2k m求出特征

3、值：（K M ）u 0,即k 2k m41.7833 3 / / 4 42 p10变换令：m2p，有k12 p1u0贝V：(p 2)( p 4p 2)0k四、分别用瑞利法和邓柯莱法计算图示振动系统的基频，简述两种结果存在一定差别的原因。先根据系统的情况选择一个接近系统第一阶模态向量的试算向量，可 由 各 质 块 对 应 的 重 力 产 生 的 静位移曲线作为一阶振型的近似，而各质块在重力作用下的静位移为：10m10m9m87 m87m7m101m101m4m107mst1,st2kk2kst36k6k3kst46k6k4k6k因此可选取u （6087101107)T(11.45 1.6831.

4、783)T1 1,T21.45有：u Mu m(1 1.451.683 1.783)326.42m1.683有口22, P22, P32 2,于是12 1当P122时，有（K1M)1 .20 101 0当P22时，有（K2M）10 101 001011r012q(1 .2 1)T、20001 01r0 10U2(10 1)T0 00当P322时，有（K3M ）2101011.21r012U3(12 1)T01200013202253M m,K k3037400400E-3kr =管讥聊JJW4k4m42121fin解：1 1、瑞利法：取质量块m）,m2,m3的水平位移Xi, X2, X3为广义

5、坐标，则可列出质量和刚度矩阵为44 4 / / 4 4根据柔度影响系数法求得:uTKum(1 1.451.683 1.783)1.451.6831.6082k2 2、邓柯莱法:1.7831.6082k126.42mk0.060870.2467. k/m依题意得m, m22m,m33m, m44m, k1k, k22k, k33k, k44ka11k1a22k1k2a33k1k2k3而又:1211a1122a22m23mk33a33m)3则:11221223344107m6k16k，a4411m2k144k11k2a44m4k31k425m3k6k=0.2368107m2512k差别：瑞利法是根

6、据系统的情况选择一个接近系统第一阶模态向量的试算向量,般由各质量块对应的重力产生的静位移近似，这样计算的基频会存在一定的误差，一般选取的向量u与U之间误差越小,求出的基频越精确，并且计算出的是基频的上限。邓柯莱法是采用柔度矩阵列出系统的特征方程,从而求出系统各阶频率与柔度矩阵和质量块的关系，然后仅保留基频的特征值，得出估算基频的计算公式，这样计算出的1比实际值要小，=n2估算的值才比较精确。瑞利法计算出的是基频的上限，一般比1的精确值要大，而邓柯莱法计算出的1比精确值要小,所以存在一定的差别。五、对图示的扭转振动系统：（1515 分）1 1、求系统的总传递矩阵；2 2、 由边界条件确定频率方程

7、，求出固有频率。11得15 5 / / 4 4i&(x,O)0u(x,0)sin xdx a同理，将(1)(1)式对时间 t t 求一阶导数，然后等式左右两边乘cos-Pmx，沿杆全长积分，并使an 12FL ( 1尸EA (n )2故, 、2FL ( 1产.n故：u(x,t)22sin xcos pntEAn 1,3,5LnL六、如图所示，两端固定的等直杆，在其中点作用一轴向力 解：设 x x 坐标如图。F F，当 F F突然取两端固定的等直杆纵向自由振动时的解为u(x,t)CnSinXSin( Pntn)n 1a(1(1) )式中：Pn= na,为杆单位体积依题意，由材料力学可知,初始条件Fxu(x,O)2EAF(L x)2EA,0将(1)(1)式等式左右两边乘sinPmxa，沿杆全长积分，根据主振型的正交性，并且使t 0得2CnPncosn&x,0)cos 直 xdx a将初始条件代入(3)(