#立体几何问题的模型化处理

1、立体几何问题的模型化处理广西王强芳 湖北曾详红中学立体几何的的基础是对空间点、线、面、体的各种位置关的讨论和研究高考中也常以棱柱、棱锥等简单的几何体为载体，考查空间中的线线关系、线面关系、面面关系及其相关量的计算与证明然而，在教学中，如何使学生的空间想象能力有进一步的提高，更上一 个台阶，是摆在广大数学教师面前的一大难题。笔者根据自己的教学实践摸索出“构造模型法”帮助学生突破思维定势，寻找解题的突破口，提高解题能力常见的模型有正方体模型、长方体模型、“三节棍”模型等1构造正方体模型解题当问题没有给出具体的图形，只是给出了相关点、线、面的关系（如平行、垂直等），要判断某些元素的位置关系时、通常可

2、考虑构造正方体模型，把这些线、面变成正方体中的线段或某一个面，进而加以解决 例1对于直线m,n和平面：，下面问题中的真命题是A，如果m二：j n -， m,n是异面直线，那么 n/>B,如果m ，n二：-，m,n是异面直线，那么 n与相交C,如果 m :-，n/，m, n共面，那么 m/ n图1D，如果 m/ ： ,n/， m, n共面，那么 m/ n分析：构造正方体，如图1，对于A，设为平面ABCD，m为AB，n为CiC 则 n ：-，A 错对于B,设为平面ABCD，m为AB， n为AD，则 n /，B 错.对于D,设为平面ABCD，m为A1B1，n为BiCi，此时m与n相交于Bi，D

3、错.于是选C。事实上，这个不难验证.例2由空间上一点0出发的四条射线，两两所成的角都相等，求这个角解：先构造一个正方体，如图 2，正方体的中心 0到四个顶点A、B、C、D连线所夹的角相等，则.AOD就是所求的角3D设正方体的棱长为a，则OA = 0D盲a ,AD = 、. 2a,cos AOD2 2 2OA OD - AD2OA ODC则所求的角为:：-arccos1.3“正四面体”解决的问题都可用“正方体”模型解决正四面体的体积是它外接“正方体”1 一体积的1，并可由这个模型推导出正四面体的体积3.23a12（a为四面体的棱长）例3已知平面及以下三个几何体，（1）长、宽、高均不相等的长方体；

4、（2）底面为平行四边形，但不是菱和矩形的四棱锥;DA1（3）正四面体问这三个几何体在平面上的射影可以为正方形吗?请加以说明AB图3分析：对于（1），只要将长万体底面绕较短的边旋转抬起到一定咼度可使其在底面（即水平面）上的射影可变为正方形对于（2）与（3）的判断，须借助构造正方体方能判断Ai对于（2），如图3,在正方体 ABCD ABiCiDi中，分别11在 BB1、DD1 上取 E、F，使得 BEBB1,D1FD1D，33则四棱锥A - AEC1F符合条件.CBDA对于（3）,把正四面体 A -BC1D放在正方体 ABCD -A3GD1中，如图4，即可得其在底面:上的射影为正方形评注：对于（2

5、）、（3）如果没有一个正方体作为载体，很难想象它们的射影可以得出 个正方形例4已知PA 平面ABC , - ACB =90", PA = AC = BC，求AB与PC所成的角评注：这个例子是把一个正四面体内接于一个正方体中，因此，在立体几何中一般能用解：构造一个正方体，如图 5, PC与AB两异面直线所成的角为 DB与AB所成的角,而CABD是等边三角形，得 PC与AB成60角.评注：此题为巧建“正方体”模型快速求解两 异面直线所成的角，也可用正方体模型来快速判定 两直线的位置关系，如异面、平行、相交2构造长方体模型解题在某些类似的问题中，当用正方体模型解决不了时，可考虑构造长方体模

6、型例5 过球0的球面上一点 P作球的两两垂直的三条弦 PA、PB、PC,且PA = 込，PB f ；5， PC =£15，求球0的半径.分析：构造长方体，以P为顶点的三条棱 PA、PB、PC两两垂直，球 0就是这个长方体的外接球，对角线 PD就是球0的直径，设半径等于 R，则有2R = . PA2 PB2 PC2 = 23，得 R 住.2评注：从同一点出发的三条棱两两互相垂直，其长度分别为a,b,c，就可以构造长方体模型，外接球的直径就是对角线的长，所以2R =七2一b2c2 .例6已知四面体的四个面都是边长分是5、6、7的全等三角形，求这个四面体的体积分析：若按常规思路，这个问题的

7、解答很繁 通过分析已知条件，构造长方体 ABCA1B1C1D1，如图6,其中四面体D1AB1C符合条件。令AC=5，B16，2 2 2AB1 =7，由勾股定理得 AB =19,BC =6,从 =30，得V四面体 =_ V长方体=1丁19汉6汉30 = 2J95.33评注：若四面体是对棱相等的四面体，则它外接一个长方体，并可把它推广：其中四面1体的体积是外接长方体体积的 -.3例5是全日制普通高中教科书数学第二册（下A）第73页例2的改编题，该题是2003年全国高考理科第12题和2005年辽宁省高考题理科17题中第3小题的原形题3构造“三节棍”模型解题全日制普通高中教科书(实验修订本必修)第二册

8、(下B )第80页复习参考题九第2题给出了三条棱 AB、BC、CD，这是一个很有用的几何模型，经研究，这个四面体具有F面两个性质:(1) CD _ 平面 ABC , AB_ 平面 BCD ;(2)相邻两节所在的三角形中，第三边上的垂线恰好是该边与另一节所在平面的垂线(即BE _平面ACD，CF _ 平面 ABC).此四面体的三条两两互相垂直的棱，如同一条三节棍，因此，我把它称为“三节棍”模型利用此模型，可解决棱柱或棱锥中的线线、线面的垂直问题,使用十分广泛例7如图8,在三棱锥A-BCD中，AB、BC、CD两两垂直.(1)由该棱锥所有相邻的两个面组成的二面角中,哪些是直二面角?(2)若AD与平面

9、BCD成45，AD与平面 ABC所成角为30，求二面角B -AD -C的余弦值D分析：(1)可由找三棱锥各个面的垂线入手.AB、BC、CD两两垂直成“三节棍”模型,得AB _平面BCD，又 AB 平面ABD，得平面 ABD _平面BCD，且面ABC _面BCD.同理，A-BD -C,A-BC - D, D - AC - B等都是直二面角(2)由AB _平面BCD，得/ ADB为AD与平面BCD所成的角，于是 ADB =4$ .同理， DAC =30、，作BE AC于点E，作BF AD于点F，连结EF，可得BE 面ACD.因BF _ AD EF _ AD，得.BFE是二面角B - AD - C的

10、平面角又 EF =AF tan303 AF，BF =AF tan(90-45，)=AF .3ef 43V3故cos. BFE音飞，即二面角B-AD-C的余弦值为孑P此时,N到AB的距离为丄AF2例8如图9,在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱 PA_底面ABCD , AB , 3 ,BC=1 , PA=2 , E 为 PD 的中点.（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；（2）在侧面PAB内找一点N，使NE _面PAC，并求出点N到AB和AP的距离.分析：（1）略；图9（2）因 PA _ AD，AD _ DC，即 PA、AD、DC 两两垂直.故PA、AD、DC构成了一个三节棍模型兀过D作AC的垂线DF交AB于F，由性质（2）DF _面PAC，且知.ADF ，连结6PF，则N为PF的中点即为所求的点因 EN/DF，而 DF _ 面 PAC，得 EN _ 面 PAC.评注：这是2005年湖北省高考理科