交大大物答案第二章

1、习题2-1.质量为m的子弹以速度V。水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ,忽略子弹的重力，求：（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；（2）子弹进入沙土的最大深度。解：（1）由题意和牛顿第二定律可得：f - -kv二m dV，dt分离变量，可得:k _ dvm vdt两边同时积分，所以:质量为dm，可知：dmMdL，分析这dm的绳子的受力情况，因为它做的是圆周运动，所以我们可列出:dT (r)22rdm rMdrLT（ r）将提供的是r以外的绳子转动的向心力，所以两边积分：2T( r)r dT( rM2L( Z距转轴为r处绳中的张力（2）子弹进入沙土

2、的最大深度也就是v=0的时候子弹的位移，则：, k dv, m ,由可推出：vdtdv ,而这个式子两边积分就可以得m vdtk到位移：Xmax = J vdt = J m dv = mvo。vok k2-2. 一条质量分布均匀的绳子，质量为M、长度为L，一端拴在竖直转轴 00 '上，并以恒定角速度 在水平面 上旋转.设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力， 求距转轴为r处绳中的张力T（ r）.解：在绳子中距离转轴为r处取一小段绳子，假设其2-3.已知一质量为 m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用， 引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即f =-k/x2 ,k是

3、比例常数.设质点在x =A时的速度为零，求质点在 x= A/4处的速度的大小。解：由题意和牛顿第二定律可得：f = -k- = m-dv- mv-dvx2dt dx dt dxk再采取分离变量法可得：2 dx = mvdv ,x2A/4kv两边同时取积分，则：dx mvdvA x10所以：V二6k mA2-4. 一质量为2kg的质点，在xy平面上运动，受到外力F= 4i - 24t2j (SI)的作用，t = 0时，它的初速度为 v° =3i - 4 j (SI)，求t = 1s时质点的速度及受到的法向力Fn.解：由题意和牛顿第二定律可得:1分, .02 v(4i - 24t2 j

4、)dt 二mdv,v0d v-f二ma二m ，代入f与v,并两边积dt4i -8 j =2 v - (3i 4 j)v =5i速度是i方向，也就是切向的，所以法向的力是j方向的，贝U F - -24j2-5.如图，用质量为m1的板车运载一质量为m2的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为丄，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力F为多少才能保证木箱不致滑动?解：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度,所以列式：-Fmsxf"a _m +m?m2可得：F A(m m2)g面加速度a的范围。下滑贮孙2-6.如图所示一倾角为 二的斜面放在水 平面上，斜面上放一木块，两者间

5、摩擦系数 为 叫:：tg R。为使木块相对斜面静止，求斜 解：在斜面具有不同的加速度的时候，木块 将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是 加速度的两个范围，由题意，可得：（1）当木块具有向下滑动的趋势时 （见图a），列式为： JN si nr N cos v - mgN sin v - 'N cost - ma可计算得到：此时的（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b）,列式为：JN si n mg = N cosvN sin v 'N cost - matan 日+ »可计算得到：此时的 a2g21-»ta n 日所以tan日_卩 < 吒tan日+

6、#1 Jtan丁 g _a _1二tan丁 g2-7. 一质量为M、顶角为:-的三 角形光滑物体上。放有一质量为m的 物块，如图所示。设各面间的摩擦力 均可忽略不计。试按下列三种方法：（1）用牛顿定理及约束方程；（2）用牛顿定律及运动叠加原理；（3 ）用 非惯性系中力学定律；求解三角形 物块的加速度Om .解：隔离物块和斜面体，画图分析"农力，列出方程，发现方程完备性不 够，即未知数比方程数多，关键在于，M与m的运动有联系的，M沿地面运动，m沿斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则 m的运动为：N si n 二 m a（ 1）.N cos -mg = may（ 2）M的运动方

7、程为： N sin- MaM（ 3）下面列出约束条件的方程： 取M作为参考系，设m在其中的相对加速度为 a，"ay在x,y方向的分量分别为 ax与ay，那么：tan-：ax利用相对运动的公式，am = aM a所以：a； =ax -aMOy - OyT曰于是:ayax 一 aM即：ax sin ： -ay cos：二 aM sin :-由(1) (2) ( 3) (4)联立，计算可得: msina cos。% 一 M msin2 二 g2-8.圆柱形容器内装有一定量 的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速 度匀速转动，试问稳定旋转时液面 的形状如何？ 解：受力分析如图2N si na =

8、Am w y(1)N cos a 二 Amg(2)两式相比tan a -w2y dzgdy22dz -ydyz =g2g当y = 0时 z=Z°所以 C2z- y2 ' Zo稳定旋转时液面是一个抛物面2g由于旋转后成为立体，故方程变为【z(x2 y2) z0】2g2-9.质量为m2的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动，劈形物质量为mi,放置在光滑的水平面上, 为二，求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。斜面倾角解：隔离物块和斜面体，分析力，列出方程，发 现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键 在于，mi与m2的运动有联系的，mi沿地面运动，m?沿斜面运动，这就是约束

9、条 件。取地面作为参考系，则 m?的运动为：-N si n = m2ax（ 1）N cos v - m2g = m2ay（ 2）mi的运动方程为：N sinr=gai（3）下面列出约束条件的方程：取mi作为参考系，设 m2在其中的相对加速度为a，在x,y方向的分量分别为 ax与ay，那么：tanax利用相对运动的公式，a2 = ai a所以：q>ax -aiay 二 ay于曰 丄一 -a ayay于是: tan 二ax ax ai即：ax sin r-ay cos = a si(4)由(i) (2) ( 3) (4)联立，计算可得：m2sin °cos 日gsin 日 cos,

10、 (g+m2)s in。耳 叶 m2 sin2 寸 g ' 比 m m2 sin2 丁 g ' amim2 sin2 寸 g相互作用力N= gw；mij + m2 sin 日2-10. 一小环套在光滑细杆上，细杆以倾角二绕竖直轴作匀角速度转动，角速度为求：小环平衡时距杆端点 O的距离r. 解：根据题意，当小环能平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动， 所以可列式：N sin v - mgN cost - m -2rsin v所以，可得:2-11.设质量为m的带电微粒受到沿 x方向的电力F =(b ex)i在任一时刻t的速度和位置，假定 t = 0时，v0 = 0,x0 = 0.其中b

11、解：根据题意和牛顿第二定律，可列式:F = (b ex) i 二d2 x忖，整理可得二阶微分方程:d2 xm2 - exdt2e为正负再做进步讨论。当e0时，嘤dt22x -匕=0 ，可得:mbcos t e一次求导，得到:b.丄vsin tez计算粒子e为与时间无关的常数，m、F、x、t的单位分别为kg、N、m、s.c -0时，今dt22x_m，可得：x唸a一次求导，得到：(e°2c-e"）2-12.在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为,球的速率为v0，求任一时刻球的速率和运动路程。解：在法向上有2VN = m R在切向上有-f Md

12、t由上面三个式子可得dV2V-口RV V0VoRv 二R Vo pt0Vdt=VoR（匚00 R Vo 应旦ln（1+冒）pR思考题2-1.质量为m的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间， 并 保持平衡，如图所示.设木板和墙壁之间的夹角为 二当：逐渐增大 时，小球对木板的压力将怎样变化？解：假设墙壁对小球的压力为Ni，木板对小球的压力为 N2。由受力分析图可知：N2 sin 匚-mg所以当所以:增大，小球对木板的压力为N2将减小;同时：Nzcos，- NiN1 =m g ctg 所以增大，小球对墙壁的压力 N1也减小。2-2.质量分别为mi和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平 桌

13、面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为卩，系统在水平拉力 F作用下匀速运动，如图所示.如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为多少？nn/wwwfTi匚/, i解：分别对A , B进行受力分析，由受力分析图可知：r F =卩g叽为V F = kx + 怖 g-kx = Jm>g所以aA晋g'aB"2-3如图所示，用一斜向上的力 F （与水平成30°角），将一 重为G的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数的大小为多少？解：假设墙壁对木块的压力为N，由受力分析图可知：r F si=G +

14、腋i N = F cosa整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明：1 F _ G F 即当丄F3 F 此式中F无论为多大,2 2 2 2总成立，则可得：2-4.质量分别为 m和M的滑块A和B，叠放在光滑水 平桌面上，如图所示. A、B间静摩擦系数为 ，滑动摩 擦系数为 ，系统原处于静止.今有一水平力作用于 A上， 要使A、B不发生相对滑动，则 F应取什么范围？解：根据题意，分别对A , B进行受力分析，要使A, B不发生相对滑动,必须使两者具有相同的加速度，所以列式:Fmsx5gM可得：F .1 m（m M）g sM2-5.如图，物体 A、B质量相同，B在

15、光滑水平桌面 上滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之 间的摩擦也不计.系统无初速地释放，则物体A下落的加速度是多少？解：分别对A , B进行受力分析，由受力分析图可知：厂 mig T =miaiV 2T =m2a2- 1 -a2 a12 2 14则可计算得到：a1 =4g52-6.如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑， 轨道是光滑的，在从A至C的下滑过程中，下面哪个说 法是正确的？(A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。(B) 它的速率均匀增加。(C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。(D) 它的合外力大小不变。(E) 轨道支持力的大小不断增加。在下滑过程中，物体

16、做圆周运动。并且v在增大，所以它既有法向加速度,又有切向加速度，A的说法不对；速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以 速率增加不均匀；夕卜力有重力和支持力，后者的大小和方向都在变化，所以合力的大小方向也 在变化。C, D的说法都不对。2下滑过程中的B和v都在增大，所以 N也在增大，N = mg si mR则E的说法正确。2-7. 一小珠可在半径为 R的竖直圆环上无摩擦地滑动，且圆环能以其竖直直 径为轴转动.当圆环以一适当的恒定角速度转动，小珠偏离圆环转轴而且相对圆环静止时，小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为多大？解：根据题意，当小珠能相对于圆环平衡时，其运动为绕

17、Z轴的圆周运动，假设小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为0，可列式：N cos 二二 mgN sin v - m 2Rsin v所以，可得：cos，=g2R2-8.几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一 竖直面上(如图所示).为使一物体(视为质点)从斜面上端由静止 滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选(A) 60 ° .(B) 45 ° .(C) 30 ° .(D) 15 ° .0，可列式:解：根据题意，假设底边长为s,斜面的倾角为scos-4sgsin 2当0 =45。时，时间最短。2-9.如图所示，小球A用轻弹簧O,A与轻绳O2A系住；小球B用轻绳O.B 与O2B系住，今剪断O2A绳和O2B绳，在刚剪断的瞬间，A、B球的加速度量值和方向是否相同？解：不同。对于a图，在剪断绳子的瞬间，弹簧的伸长 没有变化，所以弹簧的拉力 F不变，A的加 速度应该是由重力和弹簧的拉力提供的合力T,所以：F sin a =T = ma-F cos。= mg所以加速度大小为： a =gtan ,方向为水平方向。对于b图，在剪断绳子的瞬间，绳子拉力F变化，它