10向量及其运算

1、向量及其运算、选择题1.下列各量中是向量的是（）A.密度B.体积C.重力C2.两个非零向量的模相等是这两个向量相等的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.质量D.即不充分也不必要条件B3. 下列说法正确的是（）A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量B. 长度相等的向量叫相等向量C. 零向量的长度为0D. 共线向量是指在一条直线上的向量C4. 化简AB AC BC等于（）A.2BCB.0CC. 2BCD.2 AC5. 如图，D, E, F分别是 ABC的边AB, BC, CA的中点, 则下列等式中成立的是（）A. FD + DA = FAB. FD + DE + FE =

2、0C. De + DA = EBd. DA + DE = EDC6.在平行四边形ABCD 则下列各等式不成立中，设Ab= a,AD = b, Ac = c, BD = d, 的是（）A. a+ b = cB. a b= dC. b a = dD. c a= b7. 向量a, b都是非零向量，下列说法中不正确的是（）D. BAA. PR与QRB. AR与 Rtc. RA与CRD. PA与 QRA. 向量a与b同向，则向量a+ b与a的方向相同B. 向量a与b同向，则向量 a+ b与b的方向相同C. 向量a与b反向，且| a| > | b|，则向量a+ b与a的方向相同D. 向量a与b反向，

3、且|a| v |b|，则向量a+ b与a的方向相同D8. 在平行四边形 ABCD中，0是对角线的交点，下列结论正确的是()A. AB= CD, BC = ADB. AO + OD = DAc. A0+ OD = AC + CDd. Afe+ Bt + CD= DAc9. 在四边形 ABCD 中，AB + CA + BD =()A. ABB. BtC. CDC10. 如图，设 AB= a, AD = b, Bt= c,则 DC =()A. a b + cB. b (a + c)C.a+ b + cD.b a+ cA11. 在正三角形ABC中，P,Q,R分别是AB, BC, AC的中点，则与向量P

4、Q相等的向量是（C12. 已知正方形 ABCD的边长等于1, AB = a, Bt= b, At= c,贝U a+ b + c的模等于()A.0B.3C. 2D.2 .2D13. 如图，在 ABC中，AD, BE, CF分别是BC , CA, AB边上的中线，G是他们的交点，则下列等式中不正确的是 ()A. Bg= |bEB. DG = AGc.Cg=- 2fGd.Da+|fC = Bt14.设ei, e2是两个不共线的向量，则向量a= 2ei e2与向量b= ei+心（入 R）共线的充要条件B. 入=一 1C. 匕一 21D. 入=一 2D15. 有下面三种说法： 一个平面内只有一对不共线的

5、向量可以作为表示该平面所有向两的基底； 一个平面内有无数多对不共线的向量可以作为表示该平面所有向两的基底； 零向量不可以作为基底中的向量.其中正确的说法是（）A.B.C.D.B16. 设0是平行四边形 ABCD对角线的交点，给出下列四组向量：AD与AB，DA与BC，CA与DC，0D与0B其中可以作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底是（）A.B.C.D.B117. 设四边形ABCD中，有DC = 2庫,| AD| = | BC|，则这个四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形C18. 4（ a b） 3（ a+ b） b=（）A. a 2bB. aC. a 8bD. a

6、 6bC19. 下列命题中是假命题的是 （）A. 对于两个非零向量 a, b,若存在一个实数 k,满足a = kb，则a, b共线B. 若 a = b,则|a| = | b|C. 若a, b是两个非零向量，则|a+ b| > |a b|D. 若两个向量 a, b方向相同，贝U |a+ b| = | a| + | b|C20. 已知A(0, 0), B(2, 3), c( |)，则下列计算正确的是()A. 向量AB的坐标是(|, 3)1B. 向量BC的坐标是(0 , 3)C. 向量6AC的坐标是(3 , 4)1D. 向量AC+ AB的坐标是(0 , 3)3A.30B.60C.45D.752

7、1.设向量AB = (2 , 3)，且点A的坐标为(1 , 2)，则点B的坐标为()A.(1 , 1)B.(-1, 1)C.(3 , 5)D.(4 , 4)C22.下列各组向量中，共线的是()A. a= ( 2, 3) , b = (4 ,6)B.a = (2 ,3),b= (3, 2)C.a= (1 , 2) , b = (7 ,14)D. a=(3,2), b = (6, 4)D23.若三个点 P(1 , 1) , A(2 , 4), B(x , 9)共线，贝U x=()A. 1BB.39C. 2D.5124.设 A , B ,C , D四点的坐标依次为(1, 0) , (0, 2) ,

8、(4, 3),(3, 1),则四边形ABCD为()A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形D3125.设 a=(2 ,sin a , b= ( cos a 3),且a/ b,则锐角a=()26.与向量a = ( 5 , 4) 一定平行的向量是A.( - 5k, 4k)C. ( -10, 2)D. (5 k, 4k)27.若 P, Q, R,S四点共线，且依次排开,R是QS的中点,| PQ| = m, | PR| = n,则 | PS|28.29.A.2 m nB.2 n mC. n mD. m + n已知平行四边形 ABCD的三个顶点B, C的坐标分别是(2,1) , (3, 4) , ( 1

9、 , 3),则第四个顶点D的坐标为()A.(2 , 2)B.( 6, 0)C.(4 , 6)D.以上都不对已知非零向量a与b反向，下列等式成立的是(A.| a| |b| = |a b|B.|a + b| = | a b|C.| a| + | b| = | a b|D.|a| + | b| = | a+ b|30.A.( 4, 3)9B.( 2 , 0)C.( 1 , 3)D.(6 , 9)点M(4 , 3)关于点N(5 , 6)的对称点为()D31. 设线段AB的长为6cm ,若点P在AB的延长线上，| BP| = 1cm ,贝U P分有向线段AB的比为()A. 7B. 6C. 5D. 7D3

10、2. 已知点A(m , n) , B( m , n),点C分有向线段AB的比为一2,则点C的坐标为()A.( 3m , 3n)B.( m , n)C.(3 m , 3n)D.( m , n)A33. 已知点P分有向线段的比为一3,则点A分BP的比为()4213A B. C. 一二D.3322B34. 设点P分有向线段AB的比为入且点P在有向线段AB的延长线上，则入的取值范围是()1A. ( s, 1)B.( 1, 0)C.( s, 0)D.( s, )A35. 已知三点 A( 1, 0) , B(5 , 6) , P(3 , 4)，那么点P分有向线段 AB的比为()11A -B-C.2D.33

11、2C36. 已知 ABC的两个顶点 A(3 , 7)和B( 2, 5)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标为()37.A.(2 , 7)B.( 7, 2)C.( 3, 5)D.(5 , 3)点P分有向线段AB的比为| ,则点A分BP的比为()7C. 一 338.已知点M( 2,3) , N(1 ,11),点P(x , 2在线段MN的中垂线上，则点 P的横坐标x的值为()39.3_ 2-B5- 2-A.D. 3设点P分有向线段AB的比为入且 |AB| = 3| BP| ,贝y 冶()A.4 或2B. 3 或 1C. 4 或 2D. 3 或1C40. 已知点A(4 , 9)与

12、B( 2, 3)，则直线PQ与y轴的交点分有向线段 AB的比入=()1 1A. 3B. 2C.2D.3C41. 平行四边形的三个顶点是(4 , 2) , (5 , 7) , ( 3, 4)，则第四个顶点不可能是()A.(12 , 5)B.( 2, 9)C.( 4, 1)D.(3 , 7)D42. 已知菱形的三个顶点是A(a, b), B( b, a) , C(0 , 0)，则它的第四个顶点是()A.(2 a, b)B.( a b, a+ b)C.( a + b, b a)D.( a b, b a)B43. 下面有四个关于向量数量积的关系式： 0 0 = 0 :心 b) c= a ( b c):

13、 a b= b a;|ab| < a bD.其中正确的是（A.D）B.C.44.若 a bv 0,则a与b的夹角0的取值范围是（）A.0, 90 B.90,180 C.(90, 180 )D.(90, 180 D45.已知| a| = 8,e为单位向量，当它们之间的夹角为60时，a在e方向上的投影为（A.4 ,3B.4C.4 一2D.8弋丐B46.已知| a| = 6,e为单位向量，当它们之间的夹角为120时，a e=()A.3 .3B.3C. 3D. 3 3C47.设8 , 02是两个平行的单位向量，则下列结论正确的是（）A. e1 es= 1B. ei es= 1C48.已知向量a,

14、 b满足a b= 40, | a|A.60B. 60C49.如果 a b= a c,且 a丰0，则()A. b= cB. b = ?cC.| e1 e2| = 1D.| e1 es| v 110, | b| = 8,则向量a, b的夹角为（）C.120D. 120C. b±cD. b, c在a上的投影相等50.51.52.53.54.55.A.30C已知 ABC中,A.30若 |a bA.10 .3B.60C.120D.150CB= a,CA = b, a bv 0, &abc=罟，| a| = 3,B. 150C.150| b| = 5，贝U a与b的夹角D.30 或 15

15、0| =41 20. 3, | a| = 4,B. 10 3| b| = 5a b=()C.10 . 2D.10设 a= (2 , 3)A. 3已知a= (3 ,A.450)已知 A(2 , 1),b = (x, 2x)，且 3a b= 4,贝U x=(1B. 3C.31D.3b = （ 5, 5），则a与b的夹角为（B.60C.135D.120B(3 , 2) , C( 1 , 4)，则 ABC 是(A.锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形已知 |a| = 3, | b| = 4, (a+ b) ( a+ 3b) = 33，则 a 与 b 的夹角为()56.设a= (x

16、i, yi), b= (X2, y2)，则下列命题种错误的是 ()A.| a| = ,xi2+ yi2B. b = X22 + y22C. a b= xix2 + yiy2D. a丄bX1X2+ y1y2= 057.已知 a= (3 , 4), b = (2 , 1)，如果a + xb与b垂直，则x的值为()58.23A.y3B. 23C.2F面与向量(3 , 5)垂直的向量是(A.(5 , 3)B.( 5, 3)C.(3 , 5)D.( 3,5)59.若a, b是两个非零向量，则下列命题正确的是 ()A. a丄 b b a= 0B. a b= | a| ) b|C.( a b) c= a (

17、 b c)D. a b = | a| ) b|A60. 点A(3 , 5)与点B( 2, 4)的距离是()A.10B. . 26C.2 . 10D.8B61. 以 0(0, 0), A(a, b) , B(b+ a, b a)为顶点的三角形是()A.直角不等腰三角形B.等腰非直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形D62. 已知向量i = (1 , 0), j = (0 , 1)，则与2i + j垂直的向量是()A.2i jB. i 2jC.2 i + jD. i + 2jB63. 按向量a将点P(0 , m)平移到P' , P'的坐标为(m, 0)，则a =()m)A.(

18、m, m)B.(0 , m)C.( m , m)D.( m ,64. 按向量a将点(2 , - 3)平移到(1 , - 2)，则a把点(一7, 2)平移到()A.( 6, 1)B.( 8, 3)C.( 6, 3)D.( 8, 1)B65. 将函数y= x+ 2的图像按a = (6 , 2)平移后的图像的解析式为()A. y= x+ 10B.y= x 6C. y= x+ 6D. y= x 10B66. 将图形F按a= (h, k)(其中h>0, k>0)平移，就是将图形 F()A. 向x轴的正方向平移h个单位,B. 向x轴的负方向平移h个单位,C. 向x轴的负方向平移h个单位,D.

19、向x轴的正方向平移h个单位,A同时向y轴的正方向平移 k个单位 同时向y轴的正方向平移 k个单位 同时向y轴的负方向平移 k个单位 同时向y轴的负方向平移k个单位A.a . b|a| 十 |b|b.肯+吉 (入由OM确定)67.已知A(1 , 2) , B(4 , 2)，则向量AB按向量(一1, 3)平移后得到的向量是()A.(0 ,D5)B.(3 , 5)C.( 4, 3)D.(2 , 3)68.将函数2y= x+ 4x+ 5的图像按向量a经过一次平移后得到y = x2的图像，贝U a =()A.(2 ,1)B.( 2, 1)C.( 2, 1)D.(2 , 1)A69.若OA= a, Ob

20、= b，则/ AOB平分线上的向量 OM为()C a + bC.|a + b|D.| b| a + | a| b | a| + | b|B2 270. 将椭圆9x + 16y 18x 64y 71 = 0按向量a平移，使中心与原点重合，则 a =()A.(1 , 2)B.( 1, 2)C.( 1, 2)D.(1， 2)B71. 设a, b, c是任意的非零平面向量，且互不共线，则72.73.74.75.76.77.78.79.80.81.82.83.(a b) c (c a) b = 0(b c) a (c a) b不与 c垂直 其中是真命题的有()A.B. |a| | b| v|a b|/

21、2(3a+ 2b) (3 a 2b) = 9| a| 4| b|C.D.二、填空题设向量a = (2 , 1)，向量b与a同向且| b| = 2寸5，贝U b =(4 , 2)设向量 a = (x 2, 3) , b= (4 , x 3) , a / b 且 a, b 方向相同，贝U x=6.化简(x y)( a+ b) (x y)( a b) =2(x y) b.向量a, b满足|a| = 8, |b| = 12，则|a + b|的最大值是_20，最小值是 4_1 ABC中，琏=5AB，EF / BC交AC于F点，设AB= a，AC= b,则用a，b表示向量=15b a设平面内有四边形 AB

22、CD和点O, OA = a, OB = b,OC = c, OD = d,若a+ c= b+ d，则四边 形ABCD的形状是 平行四边形 .已知| a| = 2, | b| =也,a与b的夹角为45，要使 力一a与a垂直，则 匸2. ABC中，Ab= a, Ac = b，用向量运算写出 ABC的面积公式cos/ DOE =正方形OABC的边长为a, D, E分别是AB, BC的中点，则已知A, B, C三点共线，且 A(3 , 6) , B( 5, 2)，如果C点的横坐标为 6,贝U C点的纵坐标为 91511(°, "3")在 ABC 中，AB ACV 0,ab

23、c= ,| AB| = 3,| AC| = 5，则/ BAC =150设点A(4 , 1) , B( 2, 5)，则线段AB与y轴的交点P的坐标为84.85.86.87.88.89.90.91.92.93.94.95.96.97.98.已知点A( 1. - 4) , B(5 , 2)，有向线段AB上的三等分点顺次为Pi, P2，贝U A分Ph所成的比为点(x, y)关于点(y, x)的对称点的坐标为 (2y x, 2x y)设点A(1 , 1) , B( 4, 5)，延长线段AB到C,使AC= 3AB，则C点的坐标为 _( 14,17)已知 | a| = 3, | b| = 5,如果 a /

24、b，则 a b =± 15已知 | a| = 2sin15 , | b| = 4cos15，如果 a 与 b 的夹角为 30，贝U a b =3在菱形 ABCD 中，(AB + AD) (BA+ BC) =074在厶ABC中，已知|AB| = | AC| = 4，且AB AC= 8，则这个三角形的形状是 等边三角形已知 A(2 , 2) , B(5 , 1) , C(1 , 4)，则/ BAC 的余弦值为 已知 ABC 的三个顶点为 A(4 , 5) , B( 2 , 1) , C(7 , 2) , M 分BA为 1 : 2 , N 分 AC为1 : 2,贝U Samn : Saab

25、c =2 : 9将函数y= x2 2x+ 2的图像按a= ( 1 , 1)平移，则平移后的图像对应的函数解析式为y2=x + 2将函数y = 4x 8的图像I按向量a沿水平方向平移到r ,1'的函数表达式为y= 4x ,则向量 a=( 2 , 0)把一个函数的图像按向量a = (3, 2)平移后得到的图像对应的函数解析式为y= Iog2(x+3) + 2,则原来的函数解析式为 y= Iog2( x+ 6) + 4已 知 O?1+ ON+ ON= 0 , | O?1| = | oP2| = | oP3| = 1,则 OP1、OP2、OP3 两两 的 夹角为1201在厶 ABC 中，已知

26、a = 3述,cosC= 3 , Sabc = 4筋,贝U b=2丘3三、解答题如图，已知 ABC中，M , N , P顺次是AB的四等分点，CB = e1 , CA= e2,试用 e1 , e2表示 CM , CN , CP131131答：餌=4e1 + 4e，2e1 + 2e2,宀 4沙 4e99. 在静水中划船的速率为40m/min，水流的速率为20m/ min，如果船从岸边 A处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，那么船的行进方向应指向何处？答：船的前进方向应向上游且与河岸的夹角为60100. ABCD 是一个梯形， AB / CD，且 AB = 2CD , M、N分别是 DC 和 A

27、B的中点，已知1答: DC = 2",AB = a , AD = Id，试用"a , Id 分别表示 DC, bC , MNBC =" 2", mN = 4a "D1101. ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，求证： DE / BC 且 DE = -BC证： D、E分别是AB、AC的中点, AD = 2Ab, AE =紀De = Ae Ad =1"2bc且D、B、C不共线 DE / BC 且 DE = 2bC102.平行四边形OACB 中,1BD = 3BC, OD与BA交于E,求证:1证：设E '是AB上一点，

28、且 BE '= 4BA1BE = 4BA只需证E、E'重合即可,设OA= " , Ofe=lD，则 BD = 3", OD = "" + 3""33/ b"' = oE' ", e"a=弓oE' , 3b"' = E"a 3(OE' b ) = a OE' OE' = 1(衣 + 3 B)= 3(号 + 3)3 t二OE' = 4OD， 0、E'、D三点共线，即 E、E'重合1二 BE= B

29、A4103. 证明：三角形的三条中线交于一点，且交点是每一条中线的三分点104. 求证：直径所对的圆周角为直角.105. 证明：三角形的三条高线交于一点.106. 已知 ABC的三个顶点坐标分别为 A(1 , 1) , B(5 , 3) , C(4 , 5)，直线l / AB交AC于D, 且I平分 ABC的面积，求D点的坐标.答：(4 , 5 2 曲107. 已知平行四边形 ABCD 中，A(0 , 0) , B(3 , 1) , C(4 , 3) , D(1 , 2) , M、N 分别是 DC、AB的中点，求AM, CN的坐标，并判断AM , CN是否共线.答：am=(2，2), cn=(2

30、, 2)；共线.108. 已知 ABC 中，A(7 , 8) , B(3 , 5) , C(4 , 3) , M、N 分别是 AB、AC 的中点，D 是 BC 的中点，MN与AD交于F，求DF.答：(1.75 , 2)109. 已知两个向量 a和b,求证：| a+ b| = | a b|的充要条件是 a与b垂直.110. 已知两个力F1与F2的夹角是直角，且它们的合力F与F1的夹角为60 , |F| = 10N，求F1和F2的大小.答：|F1| = 5N, | F2| = 5 3N111. 已知四边形 ABCD的顶点为A(2 , 1) , B(5 , 4) , C(2 , 7) , D( 1

31、, 4),求证：四边形ABCD 是正方形.112. 已知 ABC 中，A(2 , 1) , B(3 , 2) , C( 3, 1) , AD 是 BC 边上的高，求 AD及 D 点 坐标.答：AD = ( 1 , 2) , D(1 , 1)16 8113. 已知 ABC的顶点 A(6 , 6)，重心为 G(y, 3) , AC边上的中点为 M(7 , 4)，求BC边的长.答：2 10114. ABC 的三个顶点为 A(4，1)，B(7，5)，C( 4，7).试求：三边的长；(2) AB边上的中线 CM的长；/ A的角平分线 AD的长.答： | AB| = 5, | BC| = 5 5 , |A

32、C| = 10 CM = AD =115. 已知等边三角形 ABC的边长为1, AB =7, CA =£，求a b+ b c+ c a答:116. 以原点O和点A(4 , 2)为两个顶点的等腰直角三角形OAB中，/ B= 90，求点B的坐标和向量AB.答：B(1 , 3) , AB= ( 3, 1)，或 B(3 , 1) , AB = ( 1, 3)2117. 已知抛物线 y= x 2x 8求这条抛物线的顶点坐标；将这条抛物线平移到顶点与(2 , 3)重合，求函数的解析式；将这条抛物线沿 y轴平移到通过原点时，求函数的解析式.答：(1 , 9) y= x24x+ 122 y= x +

33、 6x 或 y= x 6x118. 已知 a= (1 , 2), b = ( 3, 2)，当 k 为何值时ka + b与a 3b垂直？ka + b与a 3b平行？平行时它们是同向还是反向？答：k= 9k=- 1，反向3119. 已知 ABC的顶点A(0 , 0) , B(4 , 8) , C(6 , - 4)，点M内分AB所成的比为 3, N是AC边上的一点，且 AMN的面积等于 ABC面积的一半，求 N点的坐标.答:(4, - 3)120. 已知平行四边形 ABCD的顶点A( 2, 1) , AB的中点M(3 , 0) , CD的中点N( 1, 2), 求B、C、D的坐标.答：B(8 , 1) , C(4 , 3) , D( 6. 1)121 将函数y= f(x)的图像上一点 P(1 , 0)变为P'(2 , 0)，求将此函数按上述平移得到的新的 解析式答：y= f(x 1)122. 将函数y= x2进行平移，