11勾股定理试题与答案

1、勾股定理勾股定理在直角三角形中，三边长为a、b、c,其中c为斜边，贝U a2+b2=c2.女口 ：已知RtAABC中，三边长为a、b、c其中a=3, b=4,贝U c二答案：5或历.直角三角形的性质两锐角互余；(2) RtAABC 中，c 为斜边，贝U a2+b2=c2.(3) 如果有一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的一半，三边长为a, 2a.(4) 等腰直角三角形三边长分别为a, a血.例1、如图，在 AABC中，CD丄AB于D若AB=5, CQ=2历，ZBCD=30 ,求AC的长.解：设 BD=x, TCD 丄 AB, ZBCD=30 . .*.BC=2BD=2x.在RtABC

2、D中，根据勾股定理得BD2+CD2=BC2.即 “ +(2 箔)2 = (2x)2.解得X=2.?.BD=2, VAB=5, ,AD=3.在RtAACD中，由勾股定理有AC=+ CD2 =店 +(2 羽=V21.例2、如图，在 AABC中，ZC=90 , AD、BE是中线，BE = 2施AD=5,求AB的长.设 CE=x, CD=y则 AC=2x, BC=2y.在RtAACD和RtABCE中，由勾股定理得4x2 + / = 25X2 + 4=40解得产2b=3AC =4, BC=6求MN.在 RtA4 况电 AB = 4 AC2 + BC 2 =肿 + 6? = 2A/13.例3、如图，在 A

3、ABC中，AB=AC=5, BC=6,点M为BC的中点，MN丄AC于点连接am,VAB=AC, M为BC的中点.?.AM 丄 BC. BM=MC= 2 BC=3.在RtAAMB中，由勾股定理得如=QA护_=A52-32 = 4 .设 CN 二 X,则 AN 二 5 X在 RtAANM 中，MN2=AM2-AN2=42- (5-x) 2.9x =泗=2-(2=Y方法2 :由面积法得：AM ? MC=MN ? AC.即4 x 3 = 5小的，MN.5例4、如图，在 AABC中，ZA=90 , P是AC的中点，PD BC于D, BC=9, DC=3求AB的长.解：连结 PB, BD=BC-DC=6.

4、在 RtABDP 和 RtAPDC 中PD2=BP2-BD2, PD2=PC2-DC2.?.BP= D2=PC2 DC2.BP= PC2=BD2 DC2=36-9=27.在 RtAABP 中，AB2=BP2-AP2.VAP=PC.*.AB2=BP2 PU=27.曲=3辰例 5、如图，已知 ZA=60 , ZB=ZD=90 AB=2, CD=1,求 BC 和 AD 的长.如图，延长AD、BC交于点E.VZB=90 ZA=60 , :.ZENO .AE=2AB=4.在RtAABE中，由勾股定理得 BE = JAE? -A护=JQ - 2? =2怎.在 RiACD 沖，CE = 2CD = 2, D

5、E =后1 2 3-GO = A/22/2 =筋.BC=BE-CE=P-2, AD= AE - DE = 4-A3.同步测试、选择题1、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm,把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点EAF= 处，AE交DC于点F若4cm,则AD的长为（A. 4cmD? 7cmC? 6cm、填空题2、在 RtAABC 中，ZC=90ZA、ZB ZC所对应的边分别是 a、b、c.1若 a 二 3cm, b=5cm,2 若 a=8cm, c=17cm,则 b 二?3 若 a : b=3 : 4, c=10cm,贝 V a=,b=?3、分别以直角三角形的三边为边向形外作正方形，如图中所示

6、的正方形A的面积 是，B的面积是？A4、在 RtAABC 中，斜边 AB=2cm,贝U AB, +BC + CA=cf_5、一个直角三角形的两边长分别为 3cm和4cm,则它的第三边长为 6、已知：直角三角形的两条直角边长分别为 6cm、8cm,那么斜边上的高为7、矩形纸片ABCD中，AD=4cm, AB=10cm,按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕 为 EF则 DE=cm.28、如图，已知圆柱体底面圆的半径为乍，高为 2, AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短 路线的长度是 （结果保留根式）.三、解答题9、如图所示，铁路

7、上有A、B两点（看做直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看 做两个点），AD丄AB, BC丄AB，垂足分别为A、B, AD=24千米，BC=16千米，现在要在铁 路旁修建一个煤栈E使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建 在距A点多少千米处？10、如图所示，地面上有一个长方体，一只蜘蛛在这个长方体的顶点 A处，一滴 水珠在 这个长方体的顶点C处，已知长方体的长为6m,宽为5m,高为3m,蜘蛛 要沿着长方体的表 面从A处爬到C处，沿着怎样的路线爬行的距离最短？你能求 出这个最短距离吗？答案：1、C 2、屈 cm ；(2) 15cm ； (3) 6cm, 8cm 3、25 ； 2564、8

8、5、5cm 或cm?斜边长为&2+82 = 10,角形卜吹=6xn.8cm6、4. 8cm 点拨：设斜边上的高为h,297、5 点拨：设 DE=BE=x cm,则 AE 二(10 x) cm,? : (10 x) 2+42=x2?8、2 五9、AE2 + 242= (40-AE)2+162,解得 AE=16 (千米)10、将长方体上面展开并与前面在同一平面上，则蜘蛛沿对角线 AC爬行距离最短，最短距离是AU= J 肋 $ + C 呼=舶 + ( 3 + 5 尸=10 ( m)课外拓展例、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进 行电网改造，莲花村六组有四个村庄，A、

9、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点 现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图中的实线部 分?请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线（以下数据可供参考：A = 1.414,A5= 1.732,75 = 2.236)AiD A解：不妨设正方形的边长为1 （也可以设为a）,则图（1）、（2）中的总线路长分别为AD+AB+BO3, AB+BC+CD=3.图(3)中，总线路长为 AC+BD=2/1 2 + 12 =2X/2 =2. 828.由ZFBH=30 , BH=2及勾股定理，得EA=ED=FB=FC= 3 , FH= 6 .EF=1-2FH=1 - 3 .时,显然，32.

10、 8282. 732,? ?图的连结线路最短，即图 的架设方案最省电线点评：这里是逐一计算四条线路的长度，并加以比较，选出最短的方案 铺助线，构成直角三角形，再运用勾股定理在方案(4)中注意作中考解析例1、如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是久 个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形 b,斜边长为c和一画出拼成的这个图形的示意图证明勾股定理.方法一、（1）如图（2）证明：?大正方形的面积表示为 册1C? + 4 x ctb大正方形的面积也可表示为2 ,2a +62 + 2ab = c2 4- 2ab,:a 2+b2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方方法二、（1）如图（2）证明：？?大正方形的面积表示为：-abx4 +又可以表示为：2(b-a)*abx4 + -a)2c2 = 2ab + 沪-2ab +a2,:c 2=a2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方形,例2、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m, 8m.现在要将绿地扩充成等腰三角且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长在 Rt 屈 C 中，ZACB =90 , AC = & BC = 6由勾股定理有:AB = 10,扩充部分为R