112导数的概念

1、第一节导数概念教学目的：理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线，了解导数的物理意义，理解函数连续性与可导性之间的关系教学重点：导数的概念，导数的几何意义 教学难点：导数定义的理解，不同形式的掌握 教学内容：、引例1.切线问题圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”但是对于其它曲线，用“与曲线只2有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适.例如，对于抛物线y = x，在原点o处 两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有x轴是该抛物线在点o处的切线.下面给出切线的定义.设有曲线C及C上的一点M （图2-1 ），在点M外另取C上一点N，作割线MN . 当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线

2、 MN绕点M旋转而趋于极限位置MT ,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.这里极限位置的含义是：只要弦长MN趋于零，-NMT也趋于零.现在就曲线C为函数y =f x的图形的情形来讨论切线问题.设M X。，y。是曲线C上的一个点（图2-2 ），贝y y。= f（Xo）.根据上述定义要定出曲线 C在点M处的切线,只要定出切线的斜率就行了 .为此，在点M外另取c上的一点N x，y ,于是割线MN的斜率为tan y 一 y。= f x 一 f x。xX。xX。其中为割线MN的倾角.当点N沿曲线C趋于点M时，x、xo.如果当x X。时,上式的极限存在，设为 k,即k = limx讯f X - f X。X

3、 X。.这里k =ta，其中是存在，则此极限k是割线斜率的极限，也就是切线的斜率 切线MT的倾角.于是，通过点 M x。，f x。且以k为斜率的直线 MT便是曲线C在点M处的切线.事实上，由NMT以及x X。时 ：,可见x X。时（这时),图2-1图2-22 质点沿直线运动的速度设某点沿直线运动在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴 此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点 称位置s ） 这样，运动完全由某个函数.设动点于时刻t在直线上的位置的坐标为s （简所确定这函数对运动过程中所出现的 动点所经过的路程与所花的时间成正比S f tt值有定义，称为位置函数在最简单的情形，

4、该就是说，无论取哪一段时间间隔，比值经过的路程所花的时间总是相同的这个比值就称为该动点的速度， 那么在运动的不同时间间隔内，比值会有不同的值 速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑 为to ）的速度应如何理解而又如何求得呢？首先取从时刻to到t这样一个时间间隔， St = f t 这时由式算得的比值并说该点作匀速运动如果运动不是匀速的, 这样，把比值笼统地称为该动点的那么，这种非匀速运动的动点在某一时刻（设在这段时间内，动点从位置f t - f toS - Sot -to可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度 也可用来说明动点在时刻 to的速度.但对于动点在时刻tto如果时间间隔选得较短，这个

5、比值在实践中 to的速度的精确概念来说，这样做是不够的，而更确切地应当这样：令t * to,取式的极限，如果这个极限存在，设为V。，即.f （O- f （to ）vo =limt t。，这时就把这个极限值Vo称为动点在时刻to的（瞬时）速度、导数的定义1 函数在一点处的导数与导函数定义 设函数y = f X在点Xo的某个邻域内有定义，当自变量 X在Xo处取得增量 x （点Xo仍在该邻域内）时，相应地函数 y取得增量7 = f x - f Xo ；如果 y与 X之比当 x o时的极限存在，则称函数 y = f X在点Xo处可导，并称这个极限为函数y = f X在点Xo处的导数，记为y X-o，即

6、也可记作df(x :.dy（X。） dx函数f x在点X。处可导有时也说成f X在点X。具有导数或导数存在. 导数的定义式也可取不同的形式，常见的有f X0 h - f X0f x聊x=Xof x= lim f x - f x0xx0例1求函数f x = C（ C为常数）的导数.f（x+h）f（x） C Clim0h刃h，即C =0.这就是说，常数的导如果函数y = f （x）在开区间I内的每点处都可导,就称函数f（X）在开区间I内可导. 2 求导举例f （x ）= lim解：h 0数等于零例2求函数f x = x （ n为正整数）在x = a处的导数.解：把以上结果中的a换成x得x = nx

7、 ,nn J即x nxf a =lim f x 二 a “im 厶 t xa xan-J=lim xnaxn 亠 亠 an=nanJx a更一般地，对于幕函数 公式利用这公式，一，12时，（x 0）的导数为y = x（，为常数），有（xihPxZ.这就是幕函数的导数 可以很方便地求出幕函数的导数，例如：=一1 时,1、x2丿_11y = xx.1 . 11 1 1 一2 2x2 x 2 2 2（x = 0）的导数为x4= -1xJ4 = -x求函数f x =s|nx的导数sin(x + h )sin x 二 llmh_0sin x = cosx12“ x12x1 lim 2 cos x i h

8、 I.hsin-=cosx h1 y = x2 二.x这就是说，正弦函数的导数是余弦函数用类似的方法，可求得cosx i； =： -sin x，这就是说,例4求函数f x = a ( a 0, a = 1 )的导数.f (x + hf (x )ax+ -axlim 7 h余弦函数的导数是负的正弦函数f x = lim解: h 0= axlim=axl na7 h即 ax 二 axl na这就是指数函数的导数公式特殊地，当a=e时，因|n e=1，故有(ex) = ex上式表明，以e为底的指数函数的导数就是它自己，这是以e为底的指数函数的一个重要特性.例5求函数y=logaX(a 0,1)的导数

9、.解:Mloga(X h)ogaXh 0l0gad J)1 =limx h 0g(1 ) 1h x1h -匸啊|oga(1 丁X h )0J log a ex,1,1(log a X) log a e. (ln x) .XX3、单侧导数根据函数f X在点X。处的导数条件是左、右极限都存在且相等，因此 是左、右极限f Xo的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要f Xo存在即f x在点X。处可导的充分必要条件f Xo h 一 f xof Xo h 一 f xolimlimh; 0h及 0都存在且相等.这两个极限分别称为函数f X在点X。处的左导数 和右导数，记作，即心0鬥5)一侬)f_X 及 f

10、 X0h现在可以说，函数在点Xo处可导的充分必要条件是左导数f-Xo和右导数f Xo都存在且相等.如果函数f x在开区间a，b内可导，且f a及f 一 b都存在，就说f x在闭区 间a，b L可导.讨论函数f (x) = x在x = 0处的可导性.f(0 h) - f (0) h解:.f(O h) f(O) h limlimh ：。hh 0 h =1f(0 h)-f(O) -hlimlimhhh - h - -1.即 f (0 f_(0),.函数y 二 f(X)在x = 0点不可导.三、导数的几何意义t0时刻的速度；X = X。点变化的快慢f X是曲线y = f X在Xo, f X。点的切线斜

11、率; 路程S二s t对时间t的导数St。是在抽象情况下，f X。表示y = f X在四、函数的可导性与连续性的关系定理如果函数y = f X在点X处可导，则函数在该点必连续证.设函数f (X)在点x0可导，必=仏)，炉 f(X0)+aa t 0 (Axt 0)也y = f (x0)Ax+(Mx.函数f (X)在点x0连续.y 二f x 在 X点处连续是可导的必要条件，而不是充分条件f(X )=例7讨论v lim f (x )= 1, lim J (x )= 2 解:X1 -X :1 f x在X =1不连续，即 f x在 x =1不可导.X2 +1, x v1 2x， X王1在点x =1连续性与可导性X2， X1例8讨论解：2x， x - 1在点X二1连续性与可导性2f x f 1x 1 - 2f _ 1 = limlim2xT_x 1x _1.2x_2 qlim2x _ 1 x Tf 1 =2，f x在x = 1可导，当然在x二1点连续.X，2 - X，v lim f (x )= li