143单位圆与诱导公式学案

1、4. 3单位圆与诱导公式1.会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式.（难点）课标解2.掌握诱导公式及其应用.（重点）诱导公式（一 a兀土 a）的推导【问题导思】由三角函数的定义知，终边相同，则三角函数值相等，那么由兀的终边关系，可以得到什么样的结论呢？（以正弦为例）+a与a, La与a, a与a角sin ( - a)=-sin a(1)sin(a)=sin a, cos ( o) =cos a.(2)sin(7i+a)=sinjz, cos (7i+a)= (3)sin(7LQ)=sin a, cos (7icos a.【提示】sin (兀 + a) = - sin a sin (兀-a

2、) - sin a如四2|诱导公式（牡a）的推导根据我们推导社a与a, a与a的正弦、余弦函数关系的方法，务jr/与a的终边有什么关【问题导思】系？函数值的关系又会怎样？（以正弦为例）【提示】壹+ a的终边是由a的终边逆时针旋转多导到兀，；-a的终边与a的终边关于 y-x对称，故 sin (乌 + cc) = cos a , sin (A - a) = cos a.7171.(l)sin (2+a) = cos a, cos$ + a) = sin qx.(2) sin( 2a) cos。, cos$_ Q)=sin q.祥专互动探究成快滩师生互动 at "知ju利用诱导公式求值合作

3、探 究区I求下列三角函数值(I) sin 495 -°s(-675 )； sin(2mr+ )§ cos(mi+ 亍兀)( E Z).n分类讨论【思路探究】首先要理解诱导公式，其次要灵活应用，注意对【自主解答】(l)sin 495 Cos(? 675°=sin(360 + 135 )Cos(360 + 315 )°=sinl35 -cos315 °=sin(180 - 45 )Cos(360 - 45 ) °A/2 A/2 1=sin 45 -Cos 45 = 2 X 2 =2,当n为奇数时：原式=sin A7i-( - cos )

4、= §n (7i - y)- - cos (冗 + §).71 71 膜、一 ,1 寸 3=sin ycos J=2X2=4 ；当为偶数时：2 47171原式=sin 羿 cos §兀=sin (7i - y)-cos (7i + §? 31 / 兀、V 1 寸 3=sin 孑(-cos 3)" 2 一 5 = 一 4 -I规律方法I分类讨论.已知角求值，一般利用诱导公式，逐步把角化为锐角再求，已知函数值求角，注意观察析已知角和待求角之间的关系，恰当地选择公式进行变形.当含有字母参数时，一般要分练求值：sin 315 +sin( 30 

5、6; )+cos 225 +sin 480 :【解】 原式=sin(360 ° - 45) - sin 30 + cos(180 + 45 )° + sin(360 + 120 )=-sin 45 - sin 30 - cos 45 + sin 120°=-2sin 45- sin30+ §in(180- 60) °=-2si n 45- °sin30+ sin 60°-2X吏+也-2X 2 - 2+ 2二 2 皿-"+ 1=- 2利用诱导公式化简例？化简：(4 +1) 冗,(4/7 1)71cos +a +cos

6、 ct(？ G Z).【思路探究】当为偶数时，可直接用公式cos(2切+ a) = cosa化简；当 n 为奇数时，则应先用公式 cos(2fai + a) = cos a ,再用公式cos( 7i + a) = - cos a或公式cos(7i a) = - cos a化简，因此解答本题应分n为偶数和为奇数两类化简 ？_ 、兀71【自主解答】原式=COSHK +烦+ ?) + cosmi -+ a).当n为偶数时，即=2必虹Z)时，原式=cos(* + 仪)+ cos?(乎 + ?) = 2cos(孚 + a)；当n为奇数时，即 n = 2k+ l(AGZ)时，原式二 COS2A TI +

7、71 + 烦 + 1) + cos2far + 71 - (A + ot) = COSTT + (彳 + Q) + cos7l - (孑 + 以) =-cos(. + a) - cos(. + a) = - 2cos(. + a).f2cos(A + a), 为偶数，综上可知，原式-2cos(* + a) ，为奇数 .I 规律方法 I1. 解答本题的关键就是对分类讨论，分为奇数和偶数.2 .三角函数的化简，要尽量化为 2Ea的形式，形如血 ±a的形式先要对 k的奇偶性进 行讨论. 同样地，若岀现 §兀士 a的形式，应按 k-3n , k = 3n+ , k=3n +2(/7

8、GZ)进行分类 讨论！其他的情况也可类似地解决 .若将本例中的“co®”为“sin应如何化简？、7171【解】 原式 =sinn7i + 侦+ a) + sin( 冗 -( 日+ a)当n为偶数时，即=2版隹Z)时，原式 =sing + a) + sin - (. + a)当n为奇数时，即n = 2k+ l(A : ez)时,、7171原式 =sin2hi + 兀 + 烦 + Q) + sin2 如 + 兀 -( 日 + 】 )._ 7C. 7L=sin7i + (7+ ) + sin7i - (7 + oc)=-sin 专 + a) + sin(* + ot) = 0.综上可知，原

9、式 =0.利用诱导公式解条件求值问题, 71 、 1巳知 cos(g_Q) =3,求 cos 诺 +(z)sin ( 号 - Q).【思路探究】解答本题要注意到(g? a) + (人+a) = ti，学? a = 7i.(? +。), (y + ?) + -a)=壹等角之间的关系，恰当应用诱导公式求值 .【自主解答】 ?.?(| + a) + (|-a) = f ,27171sin(耳-a) = sin7i ? §+ 】)13'Tl 、 5TI 、 ,?(6 - ?) + (y + ?)=71cos( 晋 + a) = cos 71 ? (g ? a) cos(f + a)s

10、in(f-?)= -|x|=.I规律方法I1 .观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角，是解决问题的关键2. 对于有条件的三角函数求值题，求解的一种基本方法是从角的关系上寻求突破：找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值变宜训1练（2013-广东高考）已知 sin俘+）=?,那么cos a=（）2Af1B?25兀解析】sin 顷 + a) = cos oc ,故cos a = |，故选C.【答案】C盛於方法技巧理思路研超悟法有“技巧”隼或半71 W利用单位圆解三角不等式，典例 （12分）求岀满足下列条

11、件的角的集合：（l）s（V）C0S .i°3） ©in ocWcoJa.；【思路点拨】本题需要准确理解三角函数的定义，准确找到角的终边【规范解答】（1）作直线-交单位圆于/、B两点，连接 CM、OB，贝U OA与OB围成的区域（图（1）阴影部分）即为角？终边的范围.由sin §sin *辛知，符合条件的角 a712,71的集合为a|2fai + gWot+ 3 ,Z.图作直线x =-;交单位圆于 C、D两点，连接OC、OD ,则0C与0D围成的区域(图阴影部分，不含边界)即为角a终边的范围.由cos * cos * -粉，符合条件的角 a2兀4兀的集合为(z|2

12、灼 i + Y<a<2k7i + , A : GZ.(3)画岀角a=淑勺终边及其反向延长线，显然终边落在阴影部分(图(3)的角满足不等式,3 IT由图易得a的集合为 -泌:+ 2妇+ 2灼i , XCZ.12分/ 40/丿1 ；3 -1思维启迪图利用单位圆解三角不等式的一般步骤为：第一步：找出不等式对应方程的根；第二步：找出满足不等式条件的范围，即满足不等式的角的终边所在区域；第三步：结合单位圆写出不等式的解集，要注意这里写范围时起点值要小于终点值，不371要岀现丘兀+2切：，方+2切:,X6Z这种情况1. 诱导公式的作用是将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，使用过程中的键

13、：一是符号问题，二是函数名称问题.要熟记口诀“奇变偶不变，符号看象限”，并在程中去理解和掌握.2. 诱导公式是一个有机的整体，解题时要根据角的特征，选取适当的公式进行化简计算，对形如 m 士 a型的角，要注意对进行讨论.3. 山诱导公式可以看岀，在二角函数中，角和二角函数值之间是多值对应关系，一个关解题过对应一个三角函数值，而一个三角函数值则对应多个角1. COS亏等于 ()A.乎B-c.；D. 2【解析】COS ? = COS (71 + g)=-COS =-学.【答案】B712.如果cos (7i+，)=那么 sin （m+，）=（1AiB-乎-1C. 2【解析】COS (7C + A)=

14、-cos A =-方，. cosZ =方，sin (；+ A) = cos 力:=；，故选A.【答案】Ac p. /古兀1 2兀|.3 兀 | 4%3.平值：co%十 cosg 十 cosA-十 cosm=.当专双基达标随堂妹生生互动达 F标”与f<1 IA. ?角学析原式=cos； + cos 夸 + cos (7i -夸) + cos (7i - A ) = cosA + cos 夸-cosA -cosg=0.【答案】04.化简:sin( 2?i a) ? sin( 7t+Q)?COS ( TI + Q)解sin (3 兀一 a)-cos( 7i+ a)原式二sin ( - o)(

15、- sin o)(cos a)sin _asm_acos_asin a ( - cos a)sin acos a=sin a.2律刀 rsf【角牛析】±孚）的值为()课下测自我评估换”考能”16 兀？1671471. 47171.71 寸.=cos-” - sin" = cos_a-smA- = -cosA+si ng=IK *【答案】C解J5 cos(2 a) = cos【答案】A-cos冗-a)=a -甘,y5、a=-cos(3JT石家庄高一检测）若COS（2 TI q）=十，贝0 sin （顶3. 已B.贝 2 兀一 x)=sinx知人x）= sinx,下列式子成立的

16、是（D? fi7lX)=)A. / ( x+7i) =sinx【解析】由于 sin ( x 壹)=-sin 修-x)=-cosx ,故C成立，选C.【答案】C33）等于（）已知 cos(7i+Q)=贝 Ij sinA+tt【解析】由于cos (7i+ a)=-cos a =? g,/. cos a 皿sin C7i + a) = sin (27i ?§+ i) =sin（a -壹）=-sing - a）3、=-cos a = K ,故选 D.【答案】DTV5.下列三角函数中，与sin §数值相同的是（）4 丸7171%1 sin（ H7i+ §）； cos（2 7

17、i+g）; sin（2 7i+g）；x x7T xxJTcos（2 + 1）兀一目;sin（2n+1）兀一 § （ G Z）.B.D.A.C."in乎，为偶数,【解析】中，sin（硕+ -y）='? sin苧，为奇数，sin，”为奇数71.，兀兀、71%1中,COS(2 n7l +g)=sin (2 -g)COS g =7171%1中,sin(2 冗 +y)=sin j ;厂'11z兀、/丸、冗,.冗%1 甲,COS(2 71 + 71 - g) = COS ( 71 - g) = - COS gASHl;§71厂 _7T7171%1 中,sin(

18、2w7i + 7i - j) = sin (7i - y) = sin 亍故中的三角函数与 sin普的数值相同【答案】C二、填空题6. sin315 °os 135 +2sin 570 的值是.【解析】 原式=sin(360 ° 45 )°-cos(180 -45 ° 2sin(360 + 210 )=-sin 45 + cos 45 + °2sin(180 + 30 )=-2sin 30 =°2X ; =-1.【答案】 一 1COS( 585。) R75sin 630 +Sin( 690 °"'"

19、;且 '解析原式=.琴 5。sin 630 -°n 690°cos 225°=sin 270。? sin 330。¥? cos 452_=? sin 90。+ sin 30。= F 1+2=V2-【答案】A2713 718.若 sin(7i+Q) + cosg+a)=秫，贝!j cos(A a)+2sin(27r (X)的值为【解析】、sin (7i + Q) + cos(壹 + a)=-sin a - sin a = - m ,.m:.sm a = y.cos(奇-a) + 2sin(27i - a)=-sin oc - 2sin a- - 3

20、 sin a_ 3m_-亍【答案】-孕三、解答题9.已知角a终边上一点0-4,3),71.cos( 5+a)s in( ji a)求 iu说一的值，cos(Aa)sin 顷 +a)sin a【解】 点F到原点。的距离|。尸|二寸(-4)2 + 32 = 5，根据三角函数的定义得:34,cos a=-cos(；+ a)sin( - TI - a)JI 兀、.9K、 cos(-A- - a)sin (5 + a)? sin .- sin (7i + i )7171COS6 K -( 2 + ot)sin( 47i + 万 + a)sin 18 吊（兀 + opcos （；+ 以）sin （壹 + a）sin i （- sin 】）-