两角差的余弦公式

1、课题：两角差的余弦公式湖南师大附中 吴菲三维目标：知识目标：通过让学生猜测、探索、发现并推导“两角差的余弦公式；了解单角与复角的三角函数之间的内在联系；通过变式训练，加深对两角差的余弦公式的理解；培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质。能力目标：运用两角差的余弦公式，会进行简单的求值、化简、证明；体会化归、数形结合等数学思想在数学当中的运用，使学生树立联系与转化的辨证唯物主义观点，提高学生分析问题、解决问题的能力。情感目标：本节课通过创设问题情景，使学生体验科学探索的过程，感受科学探索的乐趣，鼓励科学探索的勇气，培养学生的创新精神和良好的团队合作意识。 重点难点：教学重点：通过探

2、究得到两角差的余弦公式教学难点：探索过程的组织和适当引导。教学过程：一、 走入生活引入：同学们，在第一章我们学习了同角三角函数式的变换，今天我们将一起探究一种包含两个角的三角函数式的变换：两角差的余弦公式。先让我们走入生活，看一个例子：F例：如下图,一个斜坡的高为6m,斜坡的水平长度为8m,作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F的作用下物体沿斜坡运动了m,求力F作用在物体上的功W6mS解： W = = 30 提问：1、解决问题需要求什么?8m 2、你能找到哪些与有关的条件?3、能否利用这些条件求出？如果能，提出你的猜测 4、怎样检验这些猜测是否正确？二、

3、 合作探讨从特殊情况去猜测公式的结构形式 令令分析：可见，我们的公式的形式应该与均有关系？他们之间存在怎样的代数关系呢？会不会是“、“、“、“÷？请同学们根据下表中数据，相互交流讨论，提出你的猜测用具体值检验猜测的合理性令那么三角函数三角函数值学生再举特例进行验证各抒己见 利用几何画板，对更多的情况加以验证。三、提出猜测：师：要让猜测更有说服力，我们还要进行理论证明四、理论证明：y引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单位圆中，角的余弦值可用余弦线来表示OBMxP11ACP1我们先来讨论最简单的情况：为锐角，且方法一：利用三角函数线证明：在单位圆O中，作，交

4、单位圆于点，作，那么过点P作PM垂直x 轴于M，过点 ，过点，那么：，且 为锐角，且方法小结：在整个证明过程中，我们通过几何的手段，得到了一个代数公式，这运用到了在数学探究过程中一种重要的思想方法：数形结合提问：当取任意角的时候，结果又会怎样呢？展示下一张幻灯片，大家思考一下给学生思考的时间，要求学生说出自己的思考结果假设学生说出来要给予及时的肯定，假设没能说出那么作为课后思考作业方法二：利用向量y-1-111B Ax0启发思考：我们来仔细观察猜测的结构，等式的左边是差角的余弦，我们在什么地方见到过类似结构？ 引导学生发现，提出证明方法学生：向量的数量积！A证明：在平面直角坐标系xOy内作单位

5、圆O，以Ox为始边作角，它们终边与单位圆O的交点分别为A、B，那么： =， = = 0方法小结：比照一下两种证明方法，你认为哪种更简单？向量在我们数学探究过程中是一种非常简洁有效的工具，在今后的学习中我们还将继续领悟向量在数学探究过程中的魅力！思考：1、作为两向量的夹角，有没有限制条件？2、如果不在，这个区间内，我们的结论还会成立吗？怎样给出证明？展示幻灯片，引导学生找到与夹角之间的关系推广完善：令为、的夹角， 当时，那么 当时，那么存在无论哪种情况，都有小结：两角差的余弦公式： 其中为任意角，简记为思考：请同学们仔细观察一下公式的结构，说说公式的结构有什么特点？应怎样记忆？对学生的答复给予及

6、时肯定五、知识运用1、解决引例中的问题2、学以致用：是第三象限角，求运用公式时应根据角的范围，正确确定两角正、余弦值的范围3、 公式的逆用：4、拓广延伸：是第三象限角，求此题根据学生的接受情况，作为后备练习5、公式活用：此题根据学生的接受情况，作为后备练习六、回忆总结师：我们一起来回忆总结一下今天这节课的收获1、公式探究的一般步骤：特殊猜测证明2、在运用两角差的余弦公式时应注意：1根据角的范围，确定两角正、余弦值的正、负2适当逆用公式，可到达化简计算的目的3灵活选取两角的形式，活用公式七、 课后思考适当变换两角差的余弦公式中两角的形式，例如取，你能得到哪些结论？八、作业：必做：P104 2、3

7、、4 选做： 生活实例引入，表达数学与实际生活的联系，增强学生的应用意识，激发学生的学习热情，同时也让学生体会数学知识的产生、开展过程鼓励学生发挥想象力，大胆猜测，然后再去验证其合理性，增强学生探索问题、挑战困难的勇气 依据特殊情况进行猜测往往是人们探索问题的第一步 鼓励学生对各种可能的情况进行探索，培养他们的交流合作意识，在探索的过程中获得成就感引导学生运用数形结合的思想给出证明加强新旧知识的联系使学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认识让学生经历用向量知识解出一个数学问题的过程，体会向量方法的作用统一对“恒等要求的认识运用分类讨论思想要求学生对公式的形式加以分析，体会数学中的对称美 1、

8、学生运用所学解决实际问题 2、利用变式突破学生在运用公式过程中的易错点 3、对逆用公式解题加深认识。 4、活用公式，加深学生对公式中两角形式变化的认识，强化整体思想课后思考为下节课做铺垫?两角差的余弦公式?教案说明湖南师大附中 吴菲一、 授课内容的数学本质与教学目标定位：?两角差的余弦公式?这节课的主要内容是公式的探究及应用，它揭示了单角三角函数与复角三角函数之间的内在联系，在学生的认知世界中，开辟了三角函数研究的新领域针对学生已有的认知结构，我对教学目标进行了如下定位：1、 知识与技能目标： 学生在前两章的学习内容中，学习了单角三角函数以及向量的相关知识；初步掌握了一些同角三角函数关系式；对

9、三角函数的定义也由锐角三角函数扩展到任意角的三角函数；会借助单位圆分析有关三角函数的问题本节课的知识技能目标定位在掌握公式的两种证明方法上：数形结合法和向量法；学会运用分类讨论思想完善证明；学会正用、逆用、变用公式；学会运用整体思想，抓住公式的本质在新旧知识的冲撞过程中，让学生自主地对知识进行重组、构建让每个学生在头脑中再生教材，形成属于自己的知识结构体系、过程与方法目标： 开展心理学的研究成果说明，学生的思维开展呈现一定的阶段性，高中学生在学习时有时仍要借助于具体运演思维甚至是前运演思维，具体经验对他们学习新的知识仍是必不可少的所以在情景引入时，以学生学习向量数量积时物理学中力做功的例子为引

10、例，创设问题情景，调动学生已有的认知结构，激发学生的问题意识，展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动，让学生体会从“特殊到“一般的探究过程；不断激发师生之间、生生之间的互动，让学生在探究过程中体会化归、数形结合等数学思想在数学探究过程中的运用在公式的证明过程中，培养学生反思的好习惯，翻开学生多角度、多方面分析问题的视野；在公式的理解记忆过程中，让学生发现数学中的简洁、对称美；在公式的运用过程中，通过对题目的一题多解、一题多变，培养学生严谨的思维习惯和自我纠错能力 3、情感、态度与价值观目标：高中数学课程标准中指出：学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应提倡自主探索

11、、动手实践、合作交流、阅读交流等学习数学的方式这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造过程因此，将情感、态度与价值观目标定位如下：体验科学探索的过程，鼓励学生大胆质疑、大胆猜测，培养学生的“问题意识，使学生感受科学探索的乐趣，鼓励学生科学探索的勇气，培养学生的创新精神和良好的团队合作意识 通过对猜测的验证，对公式证明的完善，培养学生实事求是的科学态度和科学精神，感受运用新知解决实际问题的成就感二、 学习内容的根底及今后作用：?两角差的余弦公式?是新课标人教版数学必修四第三章第一课时的教学内容，是本模块第一章?锐角三角函数?和第二章?平面向量?相关知识的延续

12、和拓展，也是本章节中推导两角和、差，倍角、半角等三角恒等变换公式的根底，可以说是起着承上启下，串联全书的作用在教学内容的设计上，与物理功的定义、哲学透过外表寻求本质等相关学科相联系，扩大学生对知识的理解角度和运用范围三、 教学诊断分析：学生最大的困惑在于如何得到公式在之前的学习过程中, 课堂上已根本形成了对知识大胆质疑,合作探讨的学习气氛在本节课的教学中学生希望通过自己的努力收获成功!教学重点：两角差的余弦公式的探究和应用教学难点：两角差的余弦公式的由来及证明,引导学生通过主动参与,独立探索,自己得到结果.四、 教法特点及预期效果分析：教法特点：从知识的认知程序上看，老师看问题从整体到局部，而

13、学生却是从局部到整体。本节课尝试将“带着知识走向学生的接受式教学模式转变为“带着学生走向知识的探究式教学模式，充分尊重学生的主体地位设置了从生活走入知识，从特殊到一般，从猜测到理论证明的探究过程，在学生自主构建知识体系的过程中，设置了多条成功路径，将学习主体由学生群体转移到学生个体上，让学生在头脑中主动地对知识进行自主构建，再生课堂，到达提高认识，举一反三的作用鼓励学生多角度、多方面思考问题，为突破知识难点，在课件中设置多个链接，将学生可能出现的解答思路直观地呈现在学生面前，用多种方法的比照呈现，激发学生互相评价的动机，实现预设与生成的和谐统一本节课的教法采用了“一个主题两种教学的设计模式一个

14、主题：公式探究与应用，两种教学：显形教学知识能力教学、隐性教学情商培养，利用学生已有知识提出新问题，巧借学生对未知领域的好奇和自我展现的欲望，集思广益，多角度分析问题，强化团队合作意识，完善知识体系，剖析局部学生出现的错误，培养学生严密的思维习惯，突破易错点，尝试自我提高的喜悦，实践两种教学相互促进的人性化教学理念 开放课堂，在课堂上营造民主、开放、平等的教学气氛，注重教学评价的多元性，将单一的教师评价转换为学生自主评价和同伴合作评价；将简单的结果评价上升为对过程的评价；将一味的知识评价拓展为能力评价，突出学生的主体性，表达学生的主体意识，实现显形教学与隐性教学的双重评价，为全面开展学生打下根

15、底利用思维的多元性，引发师生、生生之间的讨论，实践证明用学生自己的语言、自己的理解、自己的表述方式更能引发学生之间的共鸣，更能到达对已有知识进行重组、自主构建新知识的教学目的。作为老师，要以更高的视角从学生的眼中看问题，和学生一起征服尚未被他们所知甚至是尚未被老师所知的领域，享受在征服过程中随时可能得到的意外惊喜。不需要害怕学生犯错，因为谬误本身也有它的认识价值，也是一种很好的课堂教学资源，主要是看老师怎样正确的引导和评价。设计探究报告，帮助学生整理、构建知识体系在重、难点突破，作业布置、课后思考等环节，都给学生留出空间，既可以实现课堂知识的再生，又可以为下节课做预习准备；既符合学生探索思维的连续性，又培养学生的创新意识和实践探索能力 现代信息技术在数学的教学过程中运用越来越广泛，能够利用计算机进行一些简单的数学实验也将成为将来数学教学的一个开展趋势，本节课利用几何画板，通过计算机技术，给学生提供一种验证猜测合理性的途径预期效果:基于上述分析，我们希望通过这节课