2015年电大微积分初步复习资料

1、微积分初步期末复习资料、单项选择题11.函数yIn X的定义域为(D )x 4A. x 0 B. X = 4 C. x 0 且 x=1 D. x 0 且 x = 42.函数f x =lnx在点x = e处的切线方程是（C3.1 , 1 , A. y x 1 B. y x -1e下列等式中正确的是(1C. y xeD.A. sin xdx = d cosxC. axdx 二 d ax1lx丿D. 一 dx = d i x i一 xB. In xdx = d4.下列等式成立的是（ AdA. f x dx = f x dxB.C. d f x dx = f xD.5.下列微分方程中为可分离变量方程的

2、是dydyA.x y B. xy ydxdx6.下列函数为奇函数的是（D ）C.dyxy sin xdxD.dydxD.ln x 1x22A. xsinx B. In x C. x xC )时，函数f X = ° Jx0在x =0处连续.Ik,x = 0A. 0B. 1 C. 2 D. e 18.函数y2=x 1在区间 -2,2是（B ）A.单调下降B.先单调下降再单调上升C.先单调上升再单调下降D.单调上升1,4的曲线为（A ）9.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点2 D.2丄八2丄/2A. y=x 3 B. y=x 4 C. y = x10.微分方程y“=y， y 0 =1的

3、特解为（-x2xxA. y 二 0.5x B. y = e C. y = eD. y =ex 111.设函数y =xsinx，则该函数是（B ）A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数x2十1 x鼻012.当k =（ A）时，函数f X二' 在X =0处连续.Ik,x=0A. 1 B. 2 C. -1 D. 013.满足方程x=0的点一定是函数 f x的（C ）A.极值点B.最值点C.驻点D.间断点aJ xdx 二14.设f x是连续的奇函数，则定积分00A. 2 f xdx B. f XdX_a. aaC. 0 f x dxD. 015微分方程y:J y - 1的通解

4、是（A.y f B. y 二 Cex -1D.16.设A.2X X 1 B. X C. xx-2D. X 2 x-117.若函数f x在点xo处可导，则）是错误的.A.函数f x在点x0处有定义B.lim f x = A，但 A 严 f x0X昨C.函数f x在点Xo处连续D.函数f x在点Xo处可微2f x 1 =x -1，则 f X = ( C )A.19.单调增加B.单调减少 C.先单调增加后单调减少D.xf X dx =（ A ）先单调减少后单调增加A.xf x - f x c B. xf x cC.D. X 1 f X C20.下列微分方程中为可分离变量方程的是（dydyA.x y

5、B. xy y C.dxdxdydx=xy sin xD.dydx2X + 2 =21.函数f X2 的图形关于（c ）对称A. y二x B. x轴 c. y轴 D.坐标原点sin x22. f X1当(D )时，f X为无穷小量。XA. X B. X-；: C. X 0 D. X-； 123.下列函数在指定区间：，f 上单调增加的是（B ）A. sinxB. 2 C. xf x二xsiyk0，在X"处连续，则 -1,x=03.曲线f x =ex 1在0,2点的斜率是（ d. 52x124.若 0 2x k dx =2，则 k = ( A )1A. 1 B. -1 C. 0 D.-

6、225微分方程中y丄y的通解是(C )oexxxxA. y 二 e B. y 二 ce C. y 二 ce D. y 二 e c26.函数的定义域是（A.2,： B .一1, ： C .一2,1 U -1, D. 1,0 U 0,x +1 x 式 027. 当k二（B ）时，函数f在X = 0处连续。lk,x = 0A. 0 B . 1 C . 2 D. -128. 下列结论中（ D）不正确。A.若f x在l.a, b 1内恒有f x ： 0，则f x在l.a,b 内单调下降B. 若f x在x =x°处不连续，则一定在x=x°处不可导C. 可导函数的极值点一定发生在其驻点上

7、D. 若f x在x=x°处连续，则一定在 x=x）处可导29. 下列等式成立的是（ A ）plA. 一 fxdx 二 fxB. f xdx 二fxdxC. d f x dx = f xD. df x i = f x30.下列微分方程中为可分离变量的是（ C ）dyA.x ydx二、填空题B.鱼二xy x C.鱼二xy y D.史二xy sinx dxdxdx2 22.若函数1.函数 fx，2=x4x，5，则 fx = () x 14.i(5x3 3x+2 )dx=(5.24微分方程x<yy0的阶数是（6.x函数f x的定义域是（ln（ x_2）2,3 U 3,:8.si nxl

8、im()x 2x3x已知f x =x 3 ,则)27 1 In 39.2若 dex =(2exC10.微分方程4xy4二y7sinx的阶数为11.-2,21函数f x 的定义域是（丿4 x212.若怙沁=2，则 x° kx13.已知f x = In x，则14.若 sin xdx =()cox C15.16.函数f x=1亠-4 一 x2的定义域是In x 2-2,-1U -12-ex y的阶数是（3Ixsi n +1,xH0 亠小，17.函数f xx在x=0处连续，则k =k,x = 018.函数y二.x在点1,1处的切线方程是（19.I i sinx dx 二()sin x C2

9、0.3微分方程 ,4x-y5s inx的阶数是（21.2 .函数 f x1 二 x2x5，则 f x =（X2 -61,xsi门一伙公式0亠 “f xx在x=0处连续，则I1,x =023. 曲线y =匸1在点1,2处的切线方程是（）1124. 若 f xdx=xlnx C，则 f x 二（）-x25. 微分方程（y"j + y（4binx = y5x2的阶数为（）42 226. 若 f x -1 = x -2x 2，贝y f x =x 1sin2x27. lim2xj x1328.曲线y = x 2在1,1处的切线方程是 y x -29. lisinx dx 二sinx C30.微

10、分方程xy亠i y4sin x =ex "的阶数是x2 -2x -3三、计算题解：limx2；2x3=lim x 1 X3 =limx J3 1 二3 x -9x £ x _3 X 3 x 3 x 33 331.计算极限lim2 x-92.设y =e"x卅十1，求y"x解：y = e1 二eCk 二ex1 1 丄Jx 丿x2“x + 1 x1 13计算不定积分2 exdxx1 1 一 解：exd - exdex Cxxji4计算定积分 2 x cosxdxL0解:2 xcosxdx 2 xdsin x=xsin xl? - 2 sin xdx*oS10

11、SJi- ncosx 氏 12 25.计算极限|2-+2XT x +x6x -3x 2x _6Jim x-1 x- M 注x)2x-2 x 3 x x 32 356.设 y = x2e，求yx2elx=21 1lie 匚 xe =21xT xe107计算不定积分.2x -1 dx10 1 10 1 11解: J(2x_1) dx=J(2x_1) d(2x_1)=盘(2x_1)+C18计算定积分0 xexdx1解: o xexdx 一xdex 二 xex |0-0 exdx = e _ex |0 = e _ (e _1) = 19计算极限limx 2x2 -3x 2-4解:2.x lim 2x)

12、2x -43x 2= lim X，X-2 佃口=3x)2x2x 2 xx2 2 210.设 y =sin5x cos3 x，求 y解:11计算不定积分1 xdx(1+7!)解： dx=2Vx(+ y/x )1 + 2 Vx + x( 1； )dx = 2 Jdx = 2 J ； + 2 + 以 dxvxWx丿1 匸爲 1 x =- V . x 3 C3或者= 2j¥+2+dx = 4 依+4xx3 S 丿33x C32*y = sin 5x 亠cos x =5cos5 x 3cos x cosx12.计算定积分 'si nxdxJo 2解:兀1仃 兀o xd cosxxcos

13、x |o 一 0 cosxdx二x .1sin xdx =-0 21 二2：sin xb=213.求极限x2 -9lim px 0 x-2x -3解:原式=limX 3x 3 x3 =limx 1 x-3J3 x 1x 33214.已知函数y解:,dy 二 y dx 二1cos-x2 xdx1=In x sin ，求 dy x15.计算不定积分1 cos- Tdx x- （cosh X lx丿-si n1 Cx1cos-解：-vxdxx16.计算定积分e1xln xdx解:1xln xdx*2 lnx|ee x2-dx 二2 1 x1一-e4-6x 8-5x 42x17.计算极限lim 2xT

14、 x解: limx：6x 8 =佃 X4 X2 =佃 口二一x 5x+4 t（x4x1） xx T41318.设 y = 2X sin 3x，求 dy解: y'T2X si n3xf=2Xl n2 3cos3xdy 二 y dx 二 2X ln 2 3cos3x dx19计算不定积分x cosxdx解： xcosxdx= xd si nx = xs inx s in xdx = xs in x + cosx+c20.解:e1 +5In x计算定积分dx» x1 e1edx = - J (1 + 51 n x )d (1 +5In x )= (1+51 n xe1 51 n x

15、x510121271 5ln e 1 5ln110 10 2四、应用题1.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?108解：设长方体底边的边长为 x，则高h二学x1082 432表面积 y=x 4xh = x 4x xxx所以y =2x-警x令/-0得x=6 （唯一驻点）由实际问题知，唯一的驻点即最小值点，所以当底边长为6,高为3时用料最省。2.欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？32x，则高h =冷x322 128表面积 y = x2 4xh = x2 4x 巧=x2xx解：设长方体底边的边长为所以yx令/ -0得x =4

16、 （唯一驻点）由实际问题知，唯一的驻点即最小值点，所以当底边长为4,高为2时用料最省。3.用钢板焊接一个容积为4m3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低费用是多少?4解：设水箱底边的边长为 x，则高h 2x2242 16表面积 y = x 4xh = x 4x2 二 xxx所以y =2x -等x令y =0得x=2 （唯一驻点）4.欲用围墙围成面积为 216平方米的一块矩形土地， 并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？216解：设土地一边长为 x，另一边长为竺，则共用材料x=3x 2

17、216432432令y、0得x = -12 （舍），x=12 （唯一驻点）由实际问题知，唯一的驻点即最小值点，所以当土地一边长为 时用料最省。5.设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。 时，才能使圆柱体的体积最大。120_2x解：设矩形的一边长为 x，另一边旋转轴为=60-x2则旋转成的圆柱体体积为223y60-x ji：60x -x12,另一边长为18试求矩形的边长为多少故 y = ： 120x-3x2 =3二x 40-x令y0得x = 0 （舍），x = 40 （唯一驻点）由实际问题知，唯一的驻点即最大值点，所以当一边长为 轴的边长为20厘米，此时旋转成的圆柱体体积

18、最大。微积分初步复习题1、填空题40厘米，另一作为旋转（1）函数f (x)二1In(x -2)的定义域是答案：x 2且x =3.（2）函数f (x)二1ln(x 2) 4-x2的定义域是答案：（-2,-1） 一.（-1,2(3)函数 f (x 2) = x2 4x 7，则 f (x)二答案：f(x) = x23(4) 若函数f (x)二严门加1, xcO在x = o处连续，则k=k, x K 0答案：k =1(5) 函数 f (x 1) = x2 _2x，则 f (x)二.答案：f (x) = X2 -12(6)函数y =的间断点是x 2x3x 1答案：x - -1(7)lim xsin1 二

19、 j x答案：1(8)若lim竺仝=2，则k - t sinkx答案：k =2(9)曲线f (x)=x1在(1,2)点的切斜率是答案：12(10)曲线f (x):x=e在(0,1)点的切线方程是-答案：y 二x e(11)已知f ( X)= X 33x ,则(3)=答案：f (x) =3x23xln3f (3)=27 (1 Tn 3)(12)已知 f (x) = ln x，贝U f (x) =答案:1f (x), f (x) =x(13)若 f(x)二 xe"，则 f (0)二答案：f (x) - -2e“ xef(0) = -2(14) 函数y=3(X-1)2的单调增加区间是 .答

20、案：(1：)(15) 函数f(xax21在区间(0,，：)内单调增加，则a应满足答案：a - 0(16)若f (x)的一个原函数为Inx2,则f(x)=.答案：2x(17)若 f (x)dx 二 sin2x c，则 f (x).答案：2cos2x(18)若cosxdx =答案：sinx c(19)_x2 de 二答案：2-xec(20)(sin x) dx =答案：sinx c(21)若 f(x)dx 二 F(x) c，则 f(2x 3)dx 二答案：1F(2x -3) c2(22)若 f(x)dx = F(x) c，贝U xf(1-x2)dx 二-答案：1 2F(1 -x2) c22(23)

21、(sin xcos2x-x x)dx 二2答案：上3(24)d e2In(x2 1)dx 二dx 1答案：0(25)fe2xdx =答案：121(26)已知曲线y = f (x)在任意点x处切线的斜率为1 ,且曲线过(4,5),则该曲线的方程是 .a 22_a-x dx=.答案：y = 2 . x 1答案:2二 a4(28)微分方程y = y, y(0)二1的特解为答案:xy 二e(27)由定积分的几何意义知,-0(29)微分方程y ： 3y = 0的通解为答案：y 二 ce 3x(30)微分方程(y )3 - 4xy(4)7二y sinx的阶数为答案：42 单项选择题e + ex(1)设函数

22、y =2，则该函数是()A奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D 既奇又偶函数答案：B(2)下列函数中为奇函数是()A. xsinx.x xe +eB.-2c.In (x“1 x2)2D. x x答案：C(3)函数x十ln(x十5)的定义域为A. x -5 答案：Dx 4B x = -4 C . x-5 且 x = 0)D x-5 且 x = -4(4)设 f(x 1)2二 X -1 则 f (x)二()A. x(x 1)B x2答案：C(5)当 k时,函数f(X)= *厂 xe +2,x 式 0 亠土在x = 0处连续.k, x = 0A. 0B.C.D. 3答案：D(6)当 k时,函数f (

23、x)二-2x 1, x = 0 k,，在x =0处连续x = 0A. 0B.-1答案：B(7)函数f(x)x -3x2 -3x 2的间断点是(A. x=1,x = 2x =3无间断点答案：A(8)若 f (x) = e» cosx ,f (0) =).A. 2答案：CB. 1C. -1D. -2(9)设 y = Ig2x ,).1A.dx B2x答案：B1 dxxln 10ln10dx xD . =dxx(10)设 y二f (x)是可微函数，则df (cos2x)二().A . 2f(cos2x)dxf (cos2x)sin 2xd2xC . 2f(cos2x) sin 2xdx D

24、 . - f (cos2x)sin 2xd2x答案：DC11 )若 f (x) = sin x a3，其中 a 是常数，则 f "(x)二).2A . cosx 3a B . sinx 6a C . -sinxcosx答案：C2(1)函数y =(x 1)在区间(-2,2)是()C.先增后减D 先减后增答案：D（12）满足方程f（X）=0的点一定是函数 y = f（X）的（A极值点 B.最值点 C .驻点 D.间断点答案：C（13） 下列结论中（）不正确.A . f（x）在x = Xo处连续，则一定在 x0处可微B . f （x）在X二x0处不连续，则一定在 x0处不可导C 可导函数的

25、极值点一定发生在其驻点上D.函数的极值点可能发生在不可导点上答案：AA. d f (x)dx 二 f (x)plC 一 f(x)dx = f(x) dx答案：c(16) 以下等式成立的是()A. In xdx = d(-)BxC.卑=dVxD乜x答案：D(17) xf (x)dx =()A. xf(X)- f(X)C B.C.x2f (x) C D.2答案：AB.f (x)dx 二 f(x)D. df (X) - f (X)sin xdx = d(cosx)X3 dxd3ln 3xf (x) c(X 1) f (X) c（14） 下列函数在指定区间（-：,：）上单调增加的是（）.A .sin

26、xBX.eC.X2D.3-x答案：B(15) 下列等式成立的是().x_x1 e ex_x1 e eA.dxBdx2丄2- 3C (x3 cosx)dxD-JI答案：A(19)设f (x)是连续的奇函数，则定积分(x2sin x)dx-JIaja f (X)dX =()0A. 0B.a f (x)dx C答案：Aa00 f(x)dx D. 2(x)dx(20)下列无穷积分收敛的是().DA.° 亦xdxB.：Lj 11.xdxdxX(21)微分方程y =0的通解为().A.y=CxB. y=x CC. y = C答案:C(22)下列微分方程中为可分离变量方程的是()A.鱼=x y ；

27、r dyiB.xy y ；dxdxC.史二 xy sin x ；dyiD.x(y x)dxdx答案：B3、计算题2x-92x-2-3 -3x 22 "x - 4解:x2 -3x 2 (x -2)(x -1)x -11lim 2limlim 一 =x 12 x -4 x 迄(x 2)(x 2) x 迄 x 2 4解：xmx2 -9= lim (x3)(x 3)=lim 口 63-2x -3x q & _3)& 1) x >3 x 1(3) lim2x - 6x 8x2 -5x 4解:2x6x8(x4)(x2) x22limlimx5x4x4(x4)(x1)J4 x1i2_x设 y 二 x ex,解:1y =2xex x2ex(1 12-丄)=e(2x-1)x(5)、3设 y = sin 4x cos x，求 y .解:2y = 4cos4x 3cos x(_sin x)=