2016年10月24圆锥曲线解答题2

1、2016年10月24圆锥曲线解答题2参考答案与试题解析.解答题（共30小题）2 21. （ 2016?广西模拟）已知椭圆: ' I - .I.'-'的左、右焦点分别为F1, F2及椭/ b2圆的短轴端点为顶点的三角形是等边三角形，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1（I）求椭圆E的方程：（H）如图，直线I与椭圆E有且只有一个公共点 M,且交于y轴于点P,过点M作垂直 于I的直线交y轴于点Q,求证：Fi, Q, F2, M , P五点共圆.【解答】（I）解：如图，： AFiF2是等边三角形， a=2c,又椭圆的右顶点到右焦点的距离为 1 , a- c=1,则a=2, c=1，从

2、而b= :,2故椭圆E的方程为：丄43丄（n）证明：依题意，直线 I的斜率必存在且不为 0, 设直线I的方程为y=kx+m, 由 '43 ,得(4k2+3) x2+8mkx+4m2 - 12=0 .y=kx+inX1设 M (X1, y1),则”4k2+33in4k2+3，即4k2 2 2 2令厶=0 ,即卩 64m k - 16 (4k +3) ( m - 3) =0,化简得：29m =4k +3 > 0.即 M （-亠-、' ）.m m又直线 MQ丄PM，直线 MQ的方程为1.d k m又由(尸吐+m,得p(°, 口).x=0由(I)知，Fi (- 1, 0

3、), F2 (1, 0),I£m11m££idi £m PF2丄QF2, PFi丄QFi,又PM丄QM，点F, Q, F2, M , P都在以PQ为直径的圆上.故Fi, Q, P2, M , P五点共圆.2. ( 2016?白银模拟)已知椭圆 Ci：'十'=1 (a>b>0)与抛物线C2： x2=2py ( p>0)a2 b2有一公共焦点，抛物线 C2的准线I与椭圆Ci有一交点坐标是(，- 2).(1) 求椭圆Ci与抛物线C2的方程；(2) 若点P是直线I上的动点，过点 P作抛物线的两条切线，切点分别为A, B，直线AB

4、与椭圆Ci分别交于点E, F，求|？的取值范围.【解答】 解：(1)抛物线C2的准线方程是y= - 2,所以；-：-.，所以抛物线 C2的方程是：x2=8y, 22 2椭圆 Ci： v+-7=l(a>b>0)的焦点坐标是(0，- 2), (0, 2), 1 a2所以 c=2 ,二；+,“：1所以工-L，-_即椭圆C1的方程是工+=1 ；8 4(2)设点 P (t, 0),抛物线方程可以化为:所以AP的方程为:A (xi, yi), B (X2, y2), E (X3 , 12/11厂y3), f(X4 , y4 ),所以 ；，即二.亠二，同理:所以直线AB的方程为将直线AB方程代入

5、椭圆Ci的方程得到：（t2+32） x2+16tx - 64=0,2 2贝仏=256t +256 （t +32）> 0,冃， -16t-64且：+<：.，J 4 t2+32 J 4+32二 8t'+64320_ o2= 2芒,tz+32tz+32_k2所以 i：r 'I 匚，-I .: |=因为 J- ' I,tz+32所以r下的取值范围是（-8,2.2 23. （ 2016?可南二模）已知椭圆 C: 2x +y =16 .（1）求椭圆C的离心率；（2）设O为原点，点A在椭圆C上，点B在直线x=4上，且1啼=0，求直线AB截圆2 2x +y =17所得弦长为

6、I.2 2【解答】解：（1）由椭圆C: 2x2+y2=16，得-,故椭圆C的离心率为 e= 工一32(2 )设 A ( xo, yo), B (4, t),16由 UF=0,得-一，5原点O到AB的距离d=V（y0-+（x0根据点斜式得到直线AB的方程为：y- t=，化简得矿4(y0 t) x -( X0 4) y - 4y0+tx0=0.I 4yo+lkoI将代入可得：d=一V(y0-t)2+(x0-4)294x02 宀yo ""匸"u+s "盹 d+16yoVy0 +16x(j +xq y0 +16坯(y0 +16) 2y0 十在圆x +y =17中

7、，利用勾股定理可得=-| I -|.w22直线AB截圆x2+y2=l7所得弦长为6.2 24. (2016?抚顺校级四模)已知 Fi, F2分别是椭圆E: ' 一一-/.-L.的左右焦点,a2 b2P是椭圆E上的点，且PF2丄x轴，二 '.直线I经过Fi,与椭圆E交于A ,1 2 15B两点，F2与A, B两点构成厶ABF2.(1) 求椭圆E的离心率；(2) 设厶F1PF2的周长为， 二，求 ABF2的面积的最大值.则j 1 |k2_F-牛)，pf2=(o,【解答】解：(1)由题意可得Fi (- c, 0), F2 (c, 0),可得：f-3>则 a2=4b2=4 (a2

8、 - c2),可得 3a2=4c2 , 即有离心率e=- ； _(2 )由(1)可得 2c=:a , 由椭圆的定义可得|PF1|+| PF=2a , F1PF2 的周长为 2a+2c=，:,解得 a=1, c二,则 b= =,2 V a c 2可得椭圆方程为x2+4y2=1 ,由题知直线斜率不为 0 ,设直线方程为y .2，彳寸 4(t J4)y，-1 二0,Lx2+4y2=l设 A (xi, yi), B (X2, y2).由*即有4(F+4)|yy2|= ； I1XM(4+t2)2 4+t2 N(4+F)2T+Fl吒§鬥孟牙=”成立时t2=2，即t= ±匚， 则厶ABF

9、 2的面积的最大值为 丄.26. （2016?辽宁三模）已知椭圆:的离心率为'，az bz£且过点 I -，其£长轴的左右两个端点分别为 A，B，直线I: y=x+m交椭圆于两点C，D.2（I）求椭圆的标准方程；（H）设直线 AD , CB的斜率分别为ki, k2，若ki： k2=2: 1,求m的值.【解答】解：（I）由题意得:(2 分)解得 h ; -1 , (4 分)2 2椭圆方程为'. '' . (5 分)51 V(II )设 C (xi, yi),r 3丄2 2丄+匚二1I 431判别式 = (3m) 2- 12 ( m2- 3) =

10、-3m2+36> 0,D ( X2, y2),联立方程2 2，得 3x +3mx+m - 3=0，解得 m2v 12, (7 分)2 _ 3T Xi, x2 为式的根，：，j I -_',(8 分)由题意知 A (- 2, 0), B (2, 0),Tki： k2=2: 1,即1得、：,1（乜+2） 1并（巳+沪2 2又，二"i 一了 ":'-，同理：一了 "-，（10 分）代入式，解得(2 - x2)(2 -巧)(2+xp (2+ x2)=4，即 10(X1+X2)+3x1x2+12=0,2/ 10 (- m) +m - 3+12=0，解得

11、 m=1 或 m=9,2又 mv 12,.m=9 (舍去)，二 m=1 . (12 分)2 27. （ 2016?莱芜一模）设椭圆 C :务7=1 （a> b> 0）,定义椭圆C的相关圆”方程为a" bz2 2222X +y = .若抛物线y =4x的焦点与椭圆c的一个焦点重合，且椭圆 C短轴的一个端a2 + b2点和两个焦点构成直角三角形（I）求椭圆C的方程和 相关圆”E的方程；（H）过 相关圆” E上任意一点P的直线I: y=kx+m与椭圆交于A , B两点，O为坐标原点, 若OA丄OB，证明原点O到直线AB的距离为定值，并求 m的取值范围.【解答】解：（I）因为若抛

12、物线y =4x的焦点为（1, 0）与椭圆C的一个焦点重合，所以 c=1又因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b=c=12故椭圆C的方程为二；,相关圆”E的方程为（4分）253证明：（n）设 A （X1, y1）, B （x2, y2）y=kx+in联立方程组-2口 得(1+2k2) x2+4kmx+2m2- 2=0k+y =1 =16k2m2- 4 (1+2k2) (2m2- 2) =8 (2k2- m2+1)> 0, 即卩 2k2- m2+1 >。(6 分)4kml+2k22m2 -22厂 l+2k2bin_ 2匕 2l+2kZy匕皿吋m）（k七+航k乜七+也

13、（"+七）+肿=/（加；小一必I i £l+2kz R2k"2 2由条件 OA 丄OB 得 3m - 2k - 2=0- （8分）（10分）所以原点O到直线I的距离是 由3m2 - 2k2- 2=0得讨芈为定值.- |，此时要满足> 0，即2k2- m2+1>0,又 ' -即'',所以I 3m2>2即或.：（13 分）22 210. （2016?江西模拟）椭圆 C: +' =1 （a>b>0）的上顶点为 B,过点B且互相垂直 / b2的动直线11, 12与椭圆的另一个交点分别为P, Q,若当I1的斜率为

14、2时，点P的坐标是（-，-）3 3（1）求椭圆C的方程；（2）若直线PQ与y轴相交于点M，设-r=r I,求实数 入的取值范围. 【解答】解：（1） 11的斜率为2时，直线I1的方程为y=2x+b.由 I1 过点 P （ - §,- 2）,得一A=-M+b,g 卩 b=2 .- 2 2椭圆C的方程可化为 =-aZ °由点P （-一，- 一）在椭圆上，得"1 ,解得a2=5.339a2 92 2椭圆C的方程是'- 54（2）由题意，直线11, 12的斜率存在且不为 0,设直线l1, l2的方程分别为y=kx+2，-.爲k（2 v2埜 ¥由，盲十飞-

15、丄，得（4+5k2） x2+20kx=0 ,y=kx+2即一-，同理，可得5kz+420_ 20k辿三7时! 2 420k20k由'=入心，得:、5+45+4k 2 、4k2+5 4 . T5k2+4 5 5k2+42 / 5k2+4> 4, Q 5k2+420实数入的取值范围为 , 2 2 2 211. （2016?江西二模）给定椭圆 C:%+上亍=1 （a>b>0）,称圆Ci： x +y =a +b为椭圆C a2 b2的伴随圆” 已知点A （2, 1）是椭圆G : x2+4y2=m上的点.（1） 若过点 T-. 1的直线I与椭圆G有且只有一个公共点，求I被椭圆G的

16、伴随圆G1所截得的弦长；（2）椭圆G上的B, C两点满足4k1?k2= - 1 （其中k1, k2是直线AB , AC的斜率），求证：B, C, O三点共线.2 2【解答】解：（1）由点A （2, 1）是椭圆G: x+4y=m上的点.OO可得2 +4?1 =m，即有m=8,即椭圆G:+=1 ,8 2OOO O可得a =8, b =2，可得伴随圆 G1的方程为x +y =10,当直线I的斜率不存在时，显然不满足I与椭圆G有且只有一个公共点；当直线I的斜率存在时，设直线：与椭圆 G: x2+4y2=8 联立，得:n- 1 :- i < -：；： - : II,-：'-由直线I与椭圆G

17、有且只有一个公共点，得：_! ；'亠一，解得k= ± 1,由对称性取直线;' I,即;-1圆心到直线I的距离为IVi+i直线I被椭圆G的伴随圆G1所截得的弦长=-；(2)证明：设直线 AB , AC的方程分别为y -仁ki (x - 2 ),y-仁k2 (x - 2), 设点 B (xi, yi), C (X2, y2),联立 G : x2+4y2=8，得:j : :- . . -：_：1-_ . iv I ： :'1 ：?.-.,lekj2 -lekj - 4 /曰ski2 -Skt - 2:，得-；l + 4k/l + 4k/Sk72 - 8k? - 2同

18、理，l+4k/lq (切-2)+1- 4kj2 - 4k i+l8耳2 -2-4k22 - 4k2+l8k22-2因为 4ki?k2=- 1,所以- 1 ? - 1怙)怙呂)-2-4+16k+16k /8_32k/，-4+16k +16k/- 4k!2 - 4k +18-32k/" 8kt2 -2=kOB,即有B , O, C三点共线.2 212. (2016?怀化二模)已知椭圆一+=1 (a> b> 0) 上一点与它的左、右两个焦点F1,F2的距离之和为2爲且它的离心率与双曲线 x2- y2=2的离心率互为倒数.(1 )求椭圆的方程；(2)如图，点A为椭圆上一动点(非长

19、轴端点)，AF1的延长线与椭圆交于点 B, AO的延 长线与椭圆交于点 C . 当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值； 求厶ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程.【解答】解：(1)由椭圆的定义知 2a=22 2双曲线x - y =2的离心率为匚,故椭圆二+ =1的离心率2 .2a b故 a= : c=1, b=1;异 2故椭圆的方程为'+y2=1 ；2(2)证明：设 A ( XA, yA) , B (XB,设直线BA的方程为y=k (x+1),yB),则 C (- xa, - yA),ry=k(x+l)/2化简得,厂二12 2 2 2(2k +1) x +

20、4k x+2k - 2=0,二 Xa+Xb=2k2+lyA+yB=k (XA+XB) +2k=k (-'+2)2k+l= kABkBC=k?=1 呦+ S - 4k22,C当直线AB的斜率不存在时，1,-),可知 A (- 1, -一), B (- 1 ,2故 ABC=：,当直线AB的斜率存在时，由 知,4谀2k2 -2XA+XB=二 ,xAxB=:2k2+l2kSl故 | XA - Xb| =+ 切)2 - 4kazb故I AB I：*|XA- xb|-二,点C到直线AB的距离d= _冲）5 I =屮Ik£ + l故？.；）?-:=2"；.=2“J：？< &

21、#39;：,V 4(2k2+l)£故厶ABC面积的最大值为 匚，此时AB的方程为x+1=0.2,离心率2 214. （2016?河北区一模）Vf _ V已知椭圆C：+-' =1 (a>b>0)的短轴长为/ b2（I）求椭圆C的方程；（H）若直线I: y=kx+m与椭圆交于不同的两点 A , B ,与圆x2+y2=：相切于点M .3（i）证明：OA丄OB （O为坐标原点）;（ii）设=皿！，求实数入的取值范围.WI【解答】 解：（I）T 2b=2 , b=1 .（1 分） 口 :忑 22 2又 e=, a =b +c ,a 22 a =2 . - （3 分）、/ 2

22、椭圆C的方程为 亠：-一；- （4分）I:2 2 X +y 相切,(i )直线y=kx +m与圆由-y=kic+iD2，消去 y并整理得，(1+2k2) x2+4kmx+2m2-2=0.设 A (xi, yi), B (X2, y2).4km1+21?7 分) 0A0B二葢i X 2卡¥ 1 乃二 X i 七+(kx (k p+m)2 - 2=.'.-I .-:3id2 - 2k2 - 2 2(l+k2) - 2k2 - 2_一 J,l+2k2l+2k2OA 丄 OB.（9 分）（ii）：直线I: y=kx +m与椭圆交于不同的两点 A , B,22丄21+72 二 1? _

23、JAM| _V0A2 - r2.(11分)由(n) (i)知 Xix2+yiy2=0,2 2 2 / 二 X1X2= - y1y2,:，：.24 - 2x 2.，即：，.2£2+3x/.(13分)一：.： ，2+y2=8入的取值范围是<2 .（14分）15. （2016?广东模拟）已知点 C为圆（x+1）的圆心，P是圆上的动点，点 Q在圆的由由岂由M，满足T？屮=0，屮=2 X'.(I) 当点P在圆上运动时，求点 Q的轨迹方程；2 2(H)若斜率为k的直线I与圆x +y =1相切，直线I与(I)中所求点 Q的轨迹交于不 同的两点F, H , 0是坐标原点，且I? |W三

24、时，求k的取值范围.45【解答】 解：(I)由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，I：'： I 厂'丨 :：-,点Q的轨迹是以点C, A为焦点，焦距为2,长轴为 心的椭圆，；T7 -,2厲故点Q的轨迹方程是(II) 设直线 I： y=kx+b, F (xi, yi), H (x2, y2)直线I与圆x?+=i相切二-' I .I(2x J联立-2 +V -丄，(1+2k2) x2+4kbx+2b2 - 2=0 ,y=kx+b2 2 2 2 2 2 2 =16k2b2-4 (1+2k2) 2 ( b2- 1) =8 (2k2- b2+1) =8k2> 0，可得 0,

25、_ ：丨：， ： ，1+21Cl+2kz- - ; - ''： ； '.' =(l+k2)(2bg-2) T (-4kb)2Jl+k2)2k2一-I4k，(k'+l)l+2k2l+2k2l+2kzl+2k216. (2016?安徽校级四模)在平面直角坐标系xOy中，点P (a, b) ( a> b > 0)为动点，F1,2 2F2分别为椭圆G亠._i的左、右焦点，A为椭圆G的左顶点，已知 F1PF2为等腰三角a2 b2形.(I)求椭圆G的离心率；(H)过F2的直线m: x=1与椭圆G相交于点M (M点在第一象限)，平行于AM的直线l与椭圆G交

26、于B, C两点，判断直线 MB , MC是否关于直线 m对称，并说明理由.【解答】解：(I)由a> b，可得PF2,设 F1 (- c, 0) , F2 (c, 0),若 PF1=F1F2,2 2由av c,可得a2+acv 2c2，故方程 无解；若 PF2=FlF2, 22则一；'=2c,即有 a - ac- 2c =0,即有2e2+e -仁0,解得e=_L （1舍去）,2综上可得，椭圆 G的离心率为I ;2（H）由 F2 （1, 0），可得 c=1, a=2, b= = 7,2 2即有椭圆的方程为、=1， A为椭圆G的左顶点A （- 2，0），M （1：）， 由题意可设直线I

27、: yx+n, n丰1.2设 B (x1, y1), C (x2, y2),f1丄尸可x+n22由 */，得 x +nx+n - 3=0.3共+4*二12ooo由题意得厶=n - 4 (n - 3) =12 - 3n >0, 即 n (- 2, 2)且 n 1 .2 -X1+X2= - n, X1X2=n - 3.丄 +口_丄TkMB+kMC=kMB+kMC=.2 n 2+七_ 1n - 1 n _ 1_ 1H Kj + xj _ 2)=1 + =1 +X ! _ 1 X2 _ 1 X J X2 一 tx j+ X 2 )+1(n- l)(n+2)=1 -=0,nJ+n- 2故直线MB

28、, MC关于直线m对称.17. （2016?大庆校级二模）己知椭圆方程C:=1 (a> b > 0),经过点(1,),且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形.（1）求椭圆方程；（2） 过椭圆右顶点的两条斜率乘积为-書的直线分别交椭圆于 M, N两点，试问：直线 MN是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由.【解答】解：（1）V椭圆两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形.2 2 a= .：b，二亠一+=1,2b2 b2又椭圆经过点 P （1，返），代入可得2b=1, a=，故所求椭圆方程为（2）直线MN过定点（0, 0）,证明：设过椭圆右顶点 A （ _, 0）的

29、直线li的方程为y=ki （x - _）, 代入椭圆方程，消去 丫，得（1+2ki2） x2- 4匚ki2x+4ki2-2=0,2应kJ - V2XM= l+2k/yM=kixM -吋：fki=2例2 -近1 +生2由于 12 的方程为 y=k2 (x -2),且 ki?k2=-,2代入椭圆方程，则将上面的ki换成-2例12 -逅l+2k/则有M, N两点关于原点对称， 连接MN，必过原点（0, 0）. 故直线MN恒过定点（0, 0）.2 2i8. （20I6?重庆校级模拟）椭圆C:' .+' =i （a>b> 0）,作直线I交椭圆于P, Q两点.Ma2 b22 为

30、线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线I的斜率为ki,直线OM的斜率为k2, kik2=-".3（1）求椭圆C的离心率；（H）设直线I与x轴交于点D （- 5, 0）,且满足丽=2运5，当 0PQ的面积最大时，求椭圆C的方程.【解答】 解：(I)设 P (xi, yi), Q (X2, y2), M (xo, yo),2 2 2 2 * 1y1x2 陀由题意可得-+- =i,+- =i,abab两式相减可得,(xj x2) (k t + x2) (y! - y2)(y +兀)=0 ,由k2即有 kik2=2a2 2 2 2、即为 2a =3b =3 (a - c ),即 c2= a2,

31、 e=1= -;3 a 3(n)由(I)知，a2=3c2, b2=2c2,2 2 2椭圆的方程为2x +3y =6c ,可设直线l的方程为x=my - 5,将 代入 中整理得(3+2m2) y2 - 20my+50 - 6c2=0,2 2 2因为直线I与椭圆交于P, Q两点，所以 =4 (12m c+18c - 150)> 0,设 P (xi, yi), Q (X2, y2),贝 yi+y2=3+250- 6 c2 yiy2=|yi- y21 飞：匕广400 m? 200 - 24c2 (3+2 ro2) 23+2m2又I '=2.1 I,可得(Xi+5, yi) =2 (- 5

32、 - X2,- y2),即为yi= - 2y2，代入韦达定理，可得c = ,3+2匹< 60 _5母即有 | yi - y2| =_3+2 2|m|+命'荻皿,当且仅当2| m| =，即为m= ±丄时，取得等号.2又厶0PQ的面积为S=-L| OD| ?| yi - y2| = |yi-y2|的最大值为竺,2 2 2此时，m2=3 c2=25+225 =2'63'所求椭圆的方程为 2x2+3y2=250,2 2 即+.2 2i9. (20i6?玉溪三模)椭圆 C: +=i (a>b>0),作直线I交椭圆于P , Q两点，M / b2为线段PQ

33、的中点，0为坐标原点，设直线I的斜率为ki,直线OM的斜率为k2, kik2=-色3(1)求椭圆C的离心率;(2)设直线I与x轴交于点D (- 胰,0),且满足丽=2丽，当 OPQ的面积最大时，求C的方程.椭圆【解答】解：(1)设P (xi,2 x 一2 ayi), Q代入椭圆c的方程有：土' i.(X2, y2),a b2 _ 2 _ 2 xo 1 y? yi 两式相减：.即 J r：J'；：b2直线I的斜率为ki，直线OM的斜率为k2.可得ki =,k2”,工£即有 I-,、：-2 2 .2 | 2c =a b = a ,3(2)由(I)知.一 ，得a 3可设椭圆

34、C的方程为：2x2+3y2 设直线I的方程为：厂"一 V3,代入椭圆C的方程有二，！“7；：；-.2 2 2=48m2-4 (2m2+3) (6 - 6c2)> 0 ,6 - 6c2.1 2 2m2+3a2=3c2, b2=2c2,=6c2.因为直线I与椭圆C相交，所以由韦达定理：V1'戈+3ID2=.-2 |mL+3当且仅当2%OPQ =_ I °。H 丫 1 _亦|+而-4(2m2+3)(6 - 6c2)|2n2+3|一.；_2_时，等号成立，此时22c =5，代入，有> 0成立,又厂_弋，所以y1= - 2y2,代入上述两式有：-'，2mZ

35、+3所以所求椭圆C的方程为：y -15 102 2V - V20. (2016?济宁一模)已知椭圆 C:+一 . =1 (a> b> 0)的焦距为2，左右焦点分别为Fi, F2,以原点O为圆心，以椭圆 C的半短轴长为半径的圆与直线3x-4y+5=0相切.(I)求椭圆C的方程；(H)设不过原点的直线 I: y=kx+m与椭圆C交于A , B两点.(i) 若直线aF2与BF2的斜率分别为k1, k2,且k1 + k2=0，求证：直线I过定点，并求出该 定点的坐标；(ii) 若直线I的斜率是直线 OA , OB斜率的等比中项，求 OAB面积的取值范围.【解答】 解：(I)由题意可得 c=

36、1，即a2-b2=1 ,由直线3x- 4y+5=0与圆x2+y2=b2相切，可得 b= =1，解得 a=V9+16 庄2即有椭圆的方程为+y2=1 ；(n) (i )证明：设 A (x1, y1), B (x2, y2),将直线y=kx+m ( m丰0)代入椭圆 x2+2y2=2,2 2 2可得(1+2k2) x2+4kmx +2m2- 2=0 ,2 2 2 2即有 =16k m - 8 (1+2k ) (m - 1)> 0,4km2 in _ 2X1 +x2= -. , X1 x2=1+2 讣 1+2 k2y】 y2 k x! +ni由 k1+k2=+=+=0,X! _ 1 耳 2_1

37、云2_1即有 2kx1x2-2m+ ( m - k) (X1+X2)=0 ,2 ( _代入韦达定理，可得 2k?- 2m+ (m- k) (- V、) =0,l+2k2l+2k2化简可得m= - 2k,则直线的方程为 y=kx - 2k，即y=k （x- 2）, 故直线I恒过定点（2, 0）;（ii）由直线I的斜率是直线 OA，OB斜率的等比中项,2旳匚2即有 k =，即为 k xix2=（kxi+m） （kx2+m）2 2=k xix2+km （X1+X2） +m ,可得 m2+km （-"-）=0,1+2讣解得k2=JL,22 2 2 2代入 =16k2m2 - 8 （1+2k2

38、） （m2- 1）> 0,可得- :< mv“J：,且 mz 0.由O到直线的距离为d=/ i j2弦长 AB 为八：=25：._卜？_，则厶 OAB 面积为 S= d| AB| =？ ''-?-'-2 2 22 2当且仅当m =2 - m，即m= ± 1时，取得最大值.则厶OAB面积的取值范围为（0,2 221. （2016?连云港模拟）在平面直角坐标系 xOy中，点C在椭圆M :" +' =1 （a>b> 0）r b上，若点 A （- a, 0）, B （0,2）,且 ABBC.32（1）求椭圆M的离心率；（2）

39、设椭圆M的焦距为4, P, Q是椭圆M上不同的两点.线段 PQ的垂直平分线为直线I，且直线l不与y轴重合.& 若点P （-3, 0），直线l过点（0,-二），求直线I的方程； 若直线I过点（0,- 1）,且与x轴的交点为D .求D点横坐标的取值范围.【解答】解：（1）设C （ m, n）,由"= : ',£可得（a , a） =一 （m , n -二）,323可得 m=a , n=a , 即 C （一a , a）,3939即有 2 + =1,即为 b2=f_a2,9 81b292 2 2 2c =a b =a ,9贝y e=；a 3(2) 由题意可得c=2,

40、 a=3, b=冷_八=",即有椭圆方程为厂+工_=1 ,95设直线PQ的方程为y=k （x+3）,2 2 2 2代入椭圆方程可得（5+9k ） x +54k x+81k - 45=0,9 少二iXi+X2=-八,PQ 的中点 H 为（-',，）,5+9/5+9 k25+9k由题意可得直线1的斜率为1 =,27kzk5+9k 2解得k=1或：, 即有直线1的方程为尸-x-；或y= - x-.； 设直线PQ的方程为y=kx+m,代入椭圆方程可得，（5+9k ） x +18kmx+9m - 45=0,可得x1+x2=-1湎5+9 k 2即有PQ的中点为（-9km5+9 k 2&q

41、uot;；】、),5+9“由题意可得直线1的斜率为5id5+9 k 2+19km1L，5+9 k 2化简可得4m=5+9k2，中点坐标即为（-9k _5-，-9谀 5由中点在椭圆内，可得+ v 1,10 10解得-v kv由直线l的方程为y=x - 1,k可得D的横坐标为-k,可得范围是（-1- , 0）U（ 0,1-）.332 222. （2016?临沂一模）已知椭圆-，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上.（I）求椭圆C1的方程；（n）设o为坐标原点，M是直线垂线与以为OM直径的圆C2相交于 若PQ=二，求圆C2的方程； ？设C2与四边形OAMB过点 F作OM的l: x=2上的动点，F

42、为椭圆的右焦点，P, Q两点，与椭圆C1相交于A, B两点，如图所示.？的面积分别为S1，S2，若S1=泊2,求入的取值范围.【解答】解：（I）:椭圆C1：-V'1 （a> b > 0，的离心率为，其短轴的下端点在a b签2抛物线x =4y的准线上，%=1c Vs"蔦，解得 a2,2_k2x 2L a -b + cb=c=1,椭圆C1的方程为斗 .（H）由知F（ 1 , 0）,设M （2, t），则C2的圆心坐标为（1诗）,2C2 的方程为(x - 1) 2+( y2=1 + '直线 PQ 方程为 y=2 (x - 1), (t 丰 0),即 2x+ty

43、- 2=0 , (X 0)又圆C2的半径由（）2+d2/ 得（）*：'- ' =1 (a> b>0，的离心率为2解得 t =4，二 t= ± 2,圆 C2 的方程为：(x- 1) 2+ (y - 1) 2=2 或(x- 1) 2+ ( y+1) 2=2 . 由 知PQ方程为2x+ty - 2=0, (X 0),+ V =1222由 2，得(8+t ) x - 16x+8 - 2t =0, t工 0,2x+ty- 2=04则厶=(-16)- 4 (8+t ) (8- 2t ) =8 (t +4t )> 0,16|AB|1 护-4(8+t© (

44、32严)Ct2+S)=22匚X '、,tz+81 l' J' I -t2+4><2V2X+89?+8c 2 JI . 2 VS1= n=： r：T S1= ?S2,JI , J 、A Z" +4 = ' t2 + 8当 t=0 时，PQ 的方程为 x=1 , |AB|=匚，| OM | =2 , S-.- |OM| X |AB|= :-"J=n，Si勿 22 x兀2t2+lIt |x(2t2+l)h lxVt2+iK=-: 八当直线PQ的斜率不存在时，PQ方程为x=1 , |AB|='：, |OM|=2, S2=：| 0M

45、 | X | AB | =Si= i224.(2016?衡水校级二模)已知椭圆 C的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率等于丄，它 的一个顶点恰好是抛物线x2=8 ；y的焦点.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 直线x= - 2与椭圆交于P, Q两点，A , B是椭圆上位于直线 x= - 2两侧的动点. 若直线AB的斜率为丄，求四边形APBQ面积的最大值；2 当动点A, B满足/ APQ= / BPQ时，试问直线 AB的斜率是否为定值，请说明理由.2 2【解答】解：(1) 椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，设椭圆标准方程为' | -2 i 2丄a b(a>b>0),椭圆离心率

46、等于1，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8 =y的焦点.2Ji焦点为, b=2(1 分)e亠一,a2 - b2=c2,a 2解得 a2=16, b2=122 2椭圆C的标准方程'.；-(3分)16 122 2(2)直线 x= - 2 与椭圆二 1 交点 P (- 2, 3), Q (- 2, - 3)或 P (- 2, - 3),16 12Q (- 2, 3), |PQ|=6, - (4 分)设 A (X1 , y1 ) , B ( x2 , y2),直线 AB 的方程为2 2与.-联立，得 x2+mx+m2 - 12=0 ,16 122 2由厶=m 4( m 12)> 0,得4v

47、 mv 4 ,由韦达定理得 X1+X2= - m,: .: , - (6 分)2即 xiX2+2 (xi+X2) +4v 0. m - 2m - 8v 0 解得-2v mv 4,(7分) S= ?| PQ| ?|xi-X2|2：?lPQl? 'v|-.：1：=3 二:!-'，当m=0时，S最大值为：=.（ 8分）则PB斜率为-k.Q (- 2,- 3)时，y - 3=k (x+2)(9 分)2、 2 当/ APQ= / BPQ时直线PA, PB斜率之和为 0. 设PA斜率为k,当 P （- 2, 3）, PA的直线方程为2 2 2与椭圆联立得（3+4k ） x +8k （2k+

48、3） x+4 （2k+3） - 48=03+4k2J'同理 :. . :- " 4'3+4kz(io 分)3+4kz，:-，k'； yi- y2=k (X1+2) +3 - - k (X2+2) +31£ 3+4“直线AB斜率为 丄-（ ii分）耳I _辺 2当 P (- 2,- 3), Q (- 2 ,3）时，同理可得直线AB斜率为1 .(i2分)22 226. （20i6?佛山一模）已知椭圆：+ . =i （a> b>0）的一个顶点为 A （2, 0）,且焦距a b为2,直线I交椭圆于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE丄AF

49、 .（I）求椭圆的标准方程；（H） O为坐标原点，若点 P满足2卜=上+ I ,求直线AP的斜率的取值范围.【解答】 解：（I）由题意可得 a=2 , 2c=2 ,即c=1,b= 2 -二 ',2 2则椭圆的标准方程为二一 +'=1;(H)设直线 AE的方程为y=k (x - 2), 代入椭圆方程，可得(3+4k2) x2- 16k2x+16k2- 12=0,由 2+xe=，可得 xe= ,3+43+4k2yE=k (xe - 2)=-12k3+4 k 2由于AE丄AF，只要将上式的k换为-一可得xf=由2 |=匚已+匚卩，可得P为EF的中点,14k2即有P (4+3 k2) (3+4kO6k(k2 - 1)(4+3 k2) (3+4 k2) L12kyF=4+3 k则直线AP的斜率为t=,