【高中数学竞赛】2018年湖南省高中数学联赛(A)卷试题(及答案)

1、第 1 页共 7页【高中数学竞赛】2018 年湖南省高中数学联赛（A）卷试题参考答案与评分细则一、填空题（本题满分 70 分，每小题 7 分）1已知A B -ai,a2代,当A=B时，（A,B）与（B, A）视为不同的对，则这样的（A, B）对的个数有_ 个.解：由集合A, B都是AB的子集，A B且A B =a, a2,as当A二时，B有 1 种取法；当A为一元集时，B有 2 种取法；当A为二元集时，B有 4 种取法；当A为三元集时，B有 7 种取法.故不同的（A, B）对有1 3 2 3 4 - 7 = 26（个）.2若不等式x ax -2的解集是 （4, b），则实数a=,b=解：方法一

2、：设.x弋且t,则x二t2,t (2, ,b )，则不等式at2-t 230的解集为(2, ,b),所以 2,是方程at2-t一3二22, b =,0的两根，即a2 Jb解得a二1, b=36.8方法二：设=x, y2二ax -,由不等式x ax-的解集是2 2（4, b），可得两函数y1三x, y2= ax在同一坐标系中的图象.设两函数图象的交点为 A, B,则A（4,2）, B（b,，b）所以2二4a3,b二ab -.2 21解得a, b=36.83从-3 -2 -1 0 12 3 4 八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0的系数，若二次函数的图象过原点

3、，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有_ 个？解：可将二次函数分为两大类：一类顶点在第一象限； 另一类顶点在第三象限，然后由顶点 坐标的符号分别考查.图象过坐标原点，第 2 页共 7页 c=0.二次函数可写成 f(x)=ax2+bx 的形式.，其顶点坐标是(-,).4a2a 4a若顶点在第一象限，则有-b0b0 .故 a0 .2a 4a因此，这样的二次函数有1 1A3A 亍 12 个.若顶点在第三象限，则有-bo-b0,b0.这样的二次函数有 A2= 12 个.2a 4a4由加法原理知，满足条件的二次函数共有A13A1+A2=24 个.24已知 n 为正整数，若n31-1是一个既约分

4、数，那么这个分数的值等于 _.n2+ 6n -16解：n+ 宙_10= (n + 5)(n _ 2),而当 n-2= 1 时，若(n+8, n+5)=( n+5, 3)=1 , n26n -16 _ (n 8)(1 - 2)2则n 31是一个既约分数，故当 n=3 时，该分数是既约分数.n26n -16这个分数为8.115函数f (x)二sin x 2 | sin x |,x -0,2的图象与直线y二k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_.3sin x x乏0叫解f(X)，作出其图像，可知有两个交点时的k的范围为1 k : 3.-sin x, x (;2 6设实数 a , b 满足不等式

5、| a | -(a b)卜：|a- | a b |,则 a , b 的正、负符号分别 为解：由已知得| a | -(a b)2: (a-| a b |)2=a2- 2 |a | .(a b) (a b)2: a2- 2a | a b | (a b)2= a. | a b |：| a | .(a b), 由于| x I王x，因此立得a 0二 一(一a). | a+b | 0 n b -a 0,a为负数且b为正数.又 f(x)=a(x+ )22a第 3 页共 7页11E(1，0)，F(0, I,)A(1，0，1)，Ci(0,1,1)22T11TEF=(-1,-),AC1=(-1,1,1),2 2/

6、. cos0=EF AC=2I EF | | AC1|石k=_.432解:设多项式x -18x kx 200 x -1984的四个根为x1, x2, x3, x4.则由韦达定理，得乂+X2+X3+X4= 18,X1X2xX3X1X4x2x3X2X4対人 二k ,x1x2x3x1x2x4x3x4x2x3x4- -200,X1X2X3X4- -1984.设 X x2二32,则 X X 二 62,故62以x2) - 32(X3x4) - -200.4故k = X1X2X3X4(X1X2)(X3X4)二86.9._ (|x|+丄2)3的展开式中的常数项为I x I解: (| X | -丄I X I10

7、._半径为 R 的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是 _解：设内接圆柱底面半径为Rsina,贝 U 高为 2Rcosa,则全面积为7正方体 ABCD-AiBiCiDi中，E 为 AB 中点, 余弦值是F 为 CCi中点，异面直线 EF 与 ACi所成角的解：设正方体棱长为1，以 DA 为 x 轴,DC 为 y 轴，DDi为 z 轴建立空间直角坐标系，则8四次多项式x4-18x3kx2200 x -1984的四个零点中有两个零点的积为-32,则实数吐=18,.4X1亠 X2=4,x 皿.X34T4=(一 1)3C；( ,I x I)3(= -20.第 4 页共 7页2(Rsin：)22R

8、sin：2Rcos：=2R2(sin2川sin 2:)FR2(1 - cos2 2sin2)FR2(1、5sin(2：-) 二R2(1.5)其中tan*-，等号成立的条件是2，故最大值为-R2(V、5).2 2第 5 页共 7页二、解答题（本题满分 80 分，每小题 20 分）11.已知抛物线 C1的顶点（2-1,1），焦点（J2-3, 1）,另一抛物线 C2的方程 y2-ay+x+2b = 0,4C1与 C2在一个交点处它们的切线互相垂直，试证C2必过定点，并求该点的坐标.解:C 的 p =1，方程（y-1）2= x-（ 2-1），即 y2-2y-x+ 2 = 0.21 设交点为(xo, y

9、o)，贝yC1的切线方程为 yoy-(y+yo)- -(x+xo)+2= 0.,即同理可得，C2的切线方程为 yoyaWo+yj+tx+xoj+Zbno,2 2即(2yo-a)y+x-ayo+xo+4b = o.5 分由题意知二者垂直，从而可得1 (-1)+2( yo-1)(2 yo-a ) = o,整理得4yo2-2(a+2)yo+2a-1 = o.由 yo2-2yo-xo+ T 2= o 和 yo-ayo+xo+2b= o，相加得:2yo2-(a+2)yo+2b+2= o,- X2 得：2a-1-4b-22 = o,可得 4b = 2a-1-22.1o分代入 C2方程整理即可得：2y2-2

10、ay+2x+2a-1-2 2 = o,即2y2+2x-22-1-2a(y-1) = o,.15 分解得(2-1, 1).2即对任何满足的 a、b,点（2-1, 1）在曲线 C2上，即 C2过定点，该定点的坐标为（2 丄 1）.2 2. 2o 分12.如图，在凸四边形 ABCD 中，M 为边 AB 的中点，且 MC=MD .分别过点 C、D 作边 BC、AD 的垂线，设两条垂线的交点为 P.过点 P 作 PQ 丄 AB 于 Q.求证：/PQC =ZPQD.证明：如图，联 结 PA、PB,分别取 PA、PB 的中点 E、F,联结 EM、ED、FM、FC.则四边形 PEMF 为平行四边形.5 分从而，/ PEM = / PFM.1由 ME= BP=CF,MF=21AP=DE,MD=MC2所以， DEMMFC.10 分即，/ DEM=ZMFC.所以，/ PED = / DEM- / PEM= / MFC- / PFM= / PFC.I)又，/ PED =2 / PAD, / PFC