数列求和方法(带例题和练习题)

1、数列的求和数列求和主要思路：1 .求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2 .求和过程中注意分类讨论思想的运用；3 .转化思想的运用；数列求和的常用方法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式：Sn=n(aM=nai+nd 22e(q=1)n、2、等比数列求和公式：Sn =a(1q ) _ a -anq( _1-q 1-q q3、5、一 一.一一 1Sn = k =1+2+3 +IH+n.三n(n + 1)k 42n 2222.21Sn k =123 III n n(n 1)(2n 1)ka6n233 。3 033 n(n

2、1) ISn= k =12 3 | l n =-k4一 2公式法求和注意事项(1)弄准求和项数 n的值；(2)等比数列公比q未知时，运用前n项和公式要分类。例 1.求和 1 +x + x2 +xn”(n 至 2, x#0)二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an、 b n 分别是等差数列和等比数列.例 2.求和：Sn =1 +3x +5x2 +7x3 + +(2n 1)xn，例3.求数列2,冬,与：”前n项的和.2 22 232n三、倒序相加法如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么

3、求这个数列前n项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n项和就是此法推导的例 4.求 sin21 +sin2 2 +sin23 + +sin288 +sin289 的值例 4 变式训练 1:求 cos1 + cos2 + cos3 + cos178 + cos179 的值.例 4 变式训练 2:数列a n ： a = 1, a2 = 3, a3 = 2, an七=an+an,求 S2002.例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中，若a5a6=9,求log3a+log3a2+ 1 , ,+log3a1。的值.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几

4、个等差、等比或 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可例5.已知数列an的通项公式an=3n+2n1,求数列an的前n项和Sn。例5变式训练1 ：求1 +11 +111 +11工二1之和.n个1例5变式训练2:求数列的前n项和：1m3,2m4,3m5,|,n(n+2),| ;111.例 6.求数列的刖 n 项和：1+1, +4, 2 + 7,，, 一口+3n-2 , a aan五、裂项相消法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的1111(1)，一 一-T，n(n 1) n n 1 n(n 2).裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后

5、.通项分解(裂项)如：1 11()2 n n 2(3)11 . 1二 一 (2n -1)(2n 1)2 2n -1九)1(4)(5)an2(2n)2(2n-1)(2n 1):1 2(2n.12n 1(6)ann(n -1)(n 2)2 n(n 1)(n 1)(n 2)n 212(n 1) -nn(n 1) 2n n(n 1)12n(n 1)2n，则Sn(n 1)2nan = f(n 1) - f (n) 111，一例 7.求数歹U 产,k，；., 的刖n项和.122、3.n %n 112n -2例8.在数列an中，an+ 一，又bn =,求数列bn的前n项的和.例8变式训练1:求数列的前一 1

6、111n 项和：，,，,，, ,1,；1 3 2 4 3 5 n(n 2)参考答案：例2解：x #1时Sn =1 +3x+5x2 +7x3 十，十（2n 1）xn 设 xSn =1x+3x2+5x3+7x4+ +(2n1)xn(设制错位)得(1-x)Sn =1+2x+2x2 +2x3 +2x4 + +2xn(2n 1)xn (错位相减)1 _，xn(1 -x)Sn =1 2x-(2n -1)xn1 一 xSn =n 1n(2n -1)x-(2n 1)x(1 x)(1 -x)2x =1时例3解：由题可知,略 21的通项是等差数列2n的通项与等比数列二的通项之积22设Sn4 62n+c+c+23n

7、2222Sn246 2n -T -r * * * -T22231八-得(1 -)Sn24=2一 22n 12222+ _ + _ +_ + ._2223242n（设制错位）矣（错位相减）二21 2n2n- Sn =4-例 4.解：设 S =sin21 +sin 2 2 +sin2 3 + +sin2 88 +sin2 89将式右边反序得2-2,2,2,2S =sin 89 sin 88 sin 3 sin 2 sin 1.（倒序）22又因为 sinx=cos(90 - x), sin x cosx=1+得（反序相加）2S =(sin21cos21 ) (sin2 2+ cos2 2 )十十(s

8、in2 89 + cos2 89 ) = 89S=44.5例4变式训练1：解：设Sn= cos1 + cos2+ cos3 + + cos178 + cos179cosn = -cos(180 -n )（找特殊性质项）Sn= (cos1 + cos179 ) + ( cos2 + cos178 ) + (cos3 + cos177 ) + + (cos89 + cos91 ) + cos90 (合并求和)=0例4变式训练2 ：解：设S2002= a1+a2+a3 +十a2002由 a =1, a2 =3, a3 =2, an 虫=an书 an 可得a4=-1, a5 = -3, % = -2,

9、a7 =1,a8=3,a9=2,a1o- -1,a1i- -3,a12-2, a6k 1 = 1, a6k 2-3, a6k 3 = 2, a6k 4 = -1, a6k 5 - -3, a6k 6 = -2,a6k 书+a6k 也 *a6k 书 +a6k* * a6k 上 + a6k -16 =0 (找特殊性质项)S2002= a1 +a2 +a3 +,+a2002 (合并求和)=(a1a2a3a6)(a?a82)Ya6k 1a6k2a6k6) (a1993 a1994 a)998) a1999 a2000 a2001 a2002=a1999 a 2000 a2001 a2002=a6k 1

10、 - a6k 2 , a6k 3 a6k 4=5例 4 变式训练 3：解：设 Sn = log3 al + log3 a2 十 - log 3 a10由等比数列的性质m + n = p+q= aman =apaq (找特殊性质项)和对数的运算性质loga M +loga N =loga M，N 得Sn=(log3a+ log3 a10) +(log3a?+ log3a9)+ +(log3a5+ log3a6)(合并求和)= (log3a aQ (log3a2 W9)(log3a5 -6)=log39 log3 9 - log 3 9=10例5.略11例5变式训练1:解：由于1111 =1999

11、9 = 1(10k -1)(找通项及特征)仆19k个19，111111-1111n个1=1(101 1) +1(102 -1) +1(103 1) + +1。0n -1)(分组求和)99991 (101 102 10310n) -91 ,(1111)91 10(10n -1)n910 -19=-1(10n 1 _10 _9n)81例 5 变式训练 2： n(n +2) = n2 +2n ,Sn2_2_22= (12 +22 +32 +n2) +2h(1+2+3 + +n)=n(n 1)(2n 7)6.11解：设 Sn =(1 1) (4) - ( - 7) (a a3n -2)7.将其每一项拆

12、开再重新组合得11Sn =(1 .aI12十十n)十(1+4+7+3n 2)(分组) a解：设当a=1时,当a #1时,anSnSnSn（分组求和）11l-an +(3n-1)n_ a-a1(3n-1)n1-1aa -1（裂项）1 J2,2,3（裂项求和）(,2 ：1) ( 3 - 、2)：(. n . 1 - - n)8.解:anbn= 8(1 n）（裂项）数列b n的前n项和11111Sn/? (丁3)(丁1)）（裂项求和）=8(18n1例8变式训练1 :丁1 J二二（一 一n(n 2)2 n），)11111111111& = (i -) () () |I| (- -) = (1 ,232

13、 43 5 n n 222 n 1数列求和练习选择题设an是公差不为0的等差数列，a =2且日，%e6成等比数列，则3的前n项和Sn二2 n A.47nn2 5nB . 33n2 3nC.242D. n n?右 a1 二1，贝 U S4 =等比数列an的前n项和为Sn,且4 a1 ,2 a2, a3成等差数列A. 7C.15D.161111数列 1 ,2 ,3 ,4 ,2 4 8 161 n2 nA nB .2n 2的前n项和为1 n2 n nC.2n21一 2n2n n12D.12n 12n n十2=a + a2 + an,则S3的值为已知等差数列 Gn中，% + a9 由=10，记SnA.

14、 130C.156D. 168等差数列Qn的前n项和为Sn，已知am+2am 1 - am = 0, S2m=38，则 m =A. 38B . 20C. 10D. 92 4等差数列是5,4 7,3亍中，第n项到n+6项的和为Tn,则当Tn最小时，n的值为()A. 6B . 4C. 5D. 3等差数列an中，Sn是其前n项和，a1=2008,S2007 S2005= 2 ,则&。8的值为2007 2005A -2006 B 2006 C -2008 D 2008将二进制数/111JI102转换成十进制是()1617161615)A. 2 -2B . 2 -2C, 21D. 2 -1 一 一 -

15、一 _ 、 .设等比数列an的前n项和为Sn,且Sn #0 (n = N ),则下列等式成立的是()A. Sn +囱=SnB.生=要S2nS3nC. S ) SnYS2n - SnS3n- &SnS2n - SnS2n- SnS3n -S210.已知二次函数 y = n(n+1)x2 (2n+1)x+1 ,当n依次取1,2,3,4,10时，其图像在x轴上所截得的线段的长度的总和为A. 1101211B. 11C 11D 1211 .数列 1,1+2,1+2+22,、1+2+22 + + 2n,的前 n项和 Sn =()nA. 2nn 1n 1B .2nC. 2-n D. 2-n -212 .等

16、差数列an和bn的前n项和分别为Sn与Tn,对一切自然数n,都有用=-2，则曳等于(Tn 3n 1bs2920113 14 31, 1713 .数列 匕的通项公式是an =一；,若前n项的和为10,则项数n为.n %, n 1A. 11B . 99C. 120D. 12114,已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q,则q的取值范围是15.5-1A-(。B (C.1.51 15.数列1n2 3n 2的前n项和为2n 1A.2n 42n -1B .2n 2C.n2n 4n -1D.2n 2二、填空题216.等差数列an前n项和为Sn?已知am+ am4-a m=0, 8m,=38，则m=17

17、 .已知 f (1,1) =1 ,且 对任意正整数 m、n 若 f (m, n) = k ,则 f (m, n +1) = k +1 ,则f(1,1 0 q。18 .数列an中，a1 =1,a2 =2且an_2an =1+(T)n,贝US100=.19 .歹U3n的通项公式是an=1-2n淇前n项和为Sn,则数列 Sn 的11项和为n20 .数列 Ln 的前 n 项和 Sn=n24n+2,则 a1 |+| a2 | +十 | a0 =.21 .已知等差数列 以的前n次和为sn ,且S2 =10 =55,则过点P(n,an)和Q(n+2,an七)(n= N*) 的直线方向向量的坐标可以是 .22

18、 .已知数列aj的前n项和Sn =12n -n2,则数列an 的前n项和Tn =.一 一一 12n 一 一 223 .在数列an中,an =+，又bn =，则数列bn的前n项和为;n 1 n 1 n 1anan 1r , 一一 S2009S2007-124 .在等差数列4中，Sn是其前n项的和，且a=2,20喘舒=2,则数列的前n项的和是 ,n?25 .在小时候，我们就用手指练习过数数.一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2008时对应的指头是 。(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指).三、解答题26 .设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=-5，且它白W

19、 11项的平均值是5.(1)求等差数列的公差 d ;(2)求使Sn 0成立的最小正整数 n.27 .已知数列an是等差数列，且a3=5,&=9, Sn是数列an的前n项和.(I )求数列an的通项公式an及前n项和Sn ；1(n)若数列bn满足bn =-j=,且Tn是数列bn的前n项和，求bn与Tn .1228 .已知正项数列an中，前n项和Sn =-。8(1)求证：数列an是等差数列；1右bn=2an-30,求数列bn的前n项和Tn的最小值。29 .在等比数列an中，an0(nuN )，公比 q 匚(0,1),且 a1a5+2a3a5+a2a8 = 25 , a3与 生 的等比中项为2。(1

20、)求数列an的通项公式；(2)设bn = log2 an ,数列b n的前n项和为Sn,当+2 + 最大时，求n的值。12 n30,已知等差数列an的首项a1 =1,公差d 0,且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.(1)求数列an的通项公式；1*(2)设bn =(n=N工Sn =b1+b2 +bn,是否存在最大的整数 t,使得对任意的n(an 3)n均有Sn t总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由 36专题24数列求和参考答案一、选择题1 . A2 . C3 . C4 . A5 . C6 . C7 . C8 . C9 . D10 . B11 . D1

21、2 . B13 . C14 . D15 . C二、填空题16 . 1017.100018.260019. -6620. 6621. . 2-8n-24. n25.食指n 1 n 1212n -n 1 n 0成立的最小正整数 n为7产=a1 +2d =5 ,解得：a=1,d =2 a5 =a1 4d =927.解：(i)设数列an的公差为d ,由题意可知:& = a1 (n - 1)d =1 2(n -1) = 2n -122(a1 an)n(1 2n -1)n2Si - n .(口 ) 7bn1n 1Tn =bb 2 b 3 一一bn111111111 n= (-)(-)(-)-(-)=1n1 22 33 4 n n 1 n 1 n 128.解：(1)当n之2时,an2c an 2n - Sn J 8整理得：(an + an-Ian an4 )=0, ,数列an是正项数列，an+an/0,an-an4-