让课堂在数形结合中升华解读

1、小学数学论文让课堂在数形结合中升华温岭市太平小学陈 艳【摘要】数形结合 - 就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，抽象思维与形象思维相结合，提升学生的思维品质。数形结合在小学里，既是重要的数学思想与方法，又是学习数学、 理解数学的有效手段。本文拟从数形结合教学出发，利用数形结合思想，探索出一条“借形悟数、借数明形、数形结合”的数学教学及问题解决之路，帮助学生有效地建立数学概念，感悟解题方法，探究数学奥秘，培育学生的推理和归纳的能力，促进学生对数学知识的有效建构，发展空间观念，培养学生良好的思维习惯。【关键词】借形悟数借数明形数形结合数形结合就是通过数(数量关系 )与形（空间形式）的相互转化

2、、互相利用来解决数学问题的一种思想方法。它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。“数”和“形 ”是紧密联系的。我们在研究“数 ”的时候，往往要借助于“形 ”，在探讨 “形 ”的性质时，又往往离不开 “数 ”。数形结合，可将抽象的数学语言与直观的图形相结合，达到抽象思维与形象思维相结合的目的。著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观、形少数时难入微，数形结合百般好， 隔离分家万事休”。可见 , 数形结合在数学教学中的地位非常重要, 尤其对以形象思维为主的小学生来说 , 更是如此。因此，我们教师要站在一切为了学生发展的高度，有计划地渗透数形结合思想，培养学生主动运用数形结合思想的意识，形成良

3、好的思维品质。一、借形悟数，在直观中理解“数”小学生都是从直观、 形象的图形开始学习数学的， 低年级的具体形象尤为明显， 中高年级逐步向抽象逻辑思维过渡， 但这时的逻辑思维是初步的， 在很大程度上仍带有具体形象性。教师教学“数”的问题，可以借助形的直观性质，突出图的形象思维，学生们往往能在图形的操作或观察中学会收集， 学会探究规律， 发现图形与数学知识的关系， 亲历将实际问题抽象成数学模型， 在形成表象的基础上进行想象、领悟，达到最终理解数学本质，解决数学问题，形成数学思想的目的。1以形悟数，在直观中建立概念在小学数学概念教学中，如果能够建立抽象的数学概念与形象的图形之间的联系，把数学概念中最

4、本质的属性用恰当的图形演示出来，把数和形结合起来，就可以丰富学生的感性材料，为建构数学概念奠定基础。保留一位保留两位1例如：四年级下册小数意义中教学近似值，我 7.7957.87.80们老师强调近似值末尾的0 不能去掉，学生只是记住这个概念。而如果能引导学生比较近似值7.8 和 7.80 的异同点。这样用数轴来表示，形象直观的表示出为什么7.80 末尾的 0 不能去掉？也能深刻感悟到7.80 比 7.8 更精确，使学生对保留小数位数的精确度有了本质的认识。教学中借助数轴分析，使学生很直观、形象地领悟近似值7.8 和 7.80 的异同，建立了小数近似值的概念， 不再是死记硬背末尾的 0 不能去掉

5、， 而且对小数位数的精确度有了本质的认识，还为近似值 7.8 的取值范围和 7.80 的取值范围打下了基础。这样在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。2以形解数，在联接中体悟方法抽象的数量关系通过看得清、摸得着的图表示出来，化隐为显，化难为易，帮助学生理解、掌握，其实质都是以形解数。在解题过程中，学生也可以自己创造地画图，把一些数学问题进行有效的转化， 从而使解题思路更加明了， 使不同层次的学生能获得属于自己理解的一种解题方法。如在教学乘法分配律之后，出现了：1997 ×2013-1996 ×2014 这题，由于题中的数据比较大， 直接计算容易发生错误

6、，首先引导学生利用分配律来解题，但通过两次乘法分配律来换算，学生的错误率较高,于是把这题通过代数变形进行教学,学生不仅能听懂,表达此题的意义,且正确率也明显的提高。在教学时，借助图形进行如下的教学：首先构建如图1 的两个长方形，长方形ABCD 和长方形AEFG ， CD =2013， AD =1997，AE =2014,EF=1996 ，由图所知，把原式的计算就转化为求两个长方形的面积之差。借助几何直观容易看出长方形GDCH 和长方形BEFH 的宽都是1 ，所以，原式 =S 长方形 ABCD -S长方形 AEFG =2013×1-1996 ×1=17 。通过这样的图形来帮助

7、学生分析题目，学生很直观的看到这两个小长方形面积的差是多少就是此题算式的过程展现，一道很复杂的有关 “数”的计算题， 就被“形” 的联接很轻松、直观的解决了，同时在数与形的联接中使学生充分感受到解决问题策略的多样性。23以形构数，在过程中探究奥秘在解决一些抽象的、 复杂的、不好解释的问题时， 利用形象、 直观的 “形”来揭示复杂、抽象的数学问题，以形构其数，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，化难为易，能调动学生主动积极参与学习，探究奥秘，更能提高学生的思维能力。如六上数学广角解决特殊的分数加法计算：教学时先让学生来观察算式中加数有什么规律？发现：后面一个分数是前一个分数的。紧接着就让学生把算式

8、读下去，体会要这样无穷无尽地加下去。这时老师可以设置悬念，算式都读不完， 连加数都不知道有多少个，我们怎么知道和是多少？给学生的感觉根本不可能解决，然而老师开始引导画个图来帮助思考，从而突出形的重要。首先把这个正方形看作1，先取，再取的一半，这样阴影部分就表示了 的和，那再取的一半加下去， 表示了 的和，再加，再加，再加，再加，再加，就这样无穷无尽地，一直不断、无限地加下去，你现在有什么发现了吗？学生开始议论了，这样一直加下去，空白部分越来越小，越来越小，一部分学生说小到没有了，阴影部分占满了整个正方形，所以它的和就等于1。另一部分学生坚持总有一点点空隙，不可能等于1。这时课件动画展示，并告诉

9、学生数学上无限接近1 就是等于1。这样一道虽有规律， 但有无限个分数相加的算式， 按照常规根本无法计算， 但是通过数与形的结合，既让学生在画图中探究了奥秘，并且在探究奥秘过程中深刻地感悟极限思想，又让学生享受着探究数学奥秘的有趣过程。二、借数明形，在转换中建立“形”“形”具有形象直观的优势，但有些隐含在内的数学知识却不易被发现。在“形”中觅“数”，借助“数”的形态，归结为较容易处理的数量关系式来研究，来解决图形问题。通过形与数之间的分析、判断、计算，才能凸显出来。在数形的转换中，建立数中有形，形中有数，从而获得数学知识和问题的解决。1以数显形，在观察中理解本质在课堂教学中， 教师要引导学生在图

10、形的直观中观察探究，抽象出数的规律，以数显示形，数能使形的规律更细致， 并在观察探究中深化学生对数学知识的认知， 通过数的运算和变式，进一步理解其本质。如六年级上册数学广角数与形，一副点阵图从不同的角度去观察，会发现不同的规律。3横着斜着折线4 ×4=161+2+3+4+3+2+1 =161+3+5+7=16学生的直观就是横着看4 ×4=16 ，老师问除了这样横着划分，还可以怎样有规律的划分？有图形横 着斜 着折 线少部分学生想到横着划分了接2 ×21+2+11+3着斜着划分， 当老师追问还有别3 ×31+2+3+2+11+3+5的划分方法吗？学生基本答

11、不1+2+3+4+5+4上了。于是指引他们折线去观察，5 ×51+3+5+7+9学生一开始懵懵懂懂， 就依样画+3+2+1葫芦的列式，没想到会有规律。于是让学生结合图观察算式的特点，通过形的结合，才能明白都可以用4 的平方来计算，初步形成表象。接下来提供了2 ×2、 3×3、 5×5 的点阵图，让学生在观察中发现规律，理解本质。当图形和算式结合起来，学生就容易发现规律了。斜着划分规律：1+2+3+4+N+4+3+2+1=N 2折着划分规律：从1 开始， n 个连续奇数相加，和就是n 的平方。这样数与形的对照， 给予学生充分探索规律的时间和空间， 让学生动

12、脑思考， 从点阵图中找出不同的计算规律， 在自主探究中理解 “从简单的情形开始， 找出规律， 明白计算方法”的策略，从而培养学生发现问题、观察归纳和解决问题的能力。2以数想形，在对比中抽象本真学生从直接感知到表象， 再到形成概念的过程中， 以数想形， 抓住这个中间环节， 让学生多角度地灵活思考，大胆地想象， 对知识的理解逐步深化， 有效帮助学生在对比中， 理解图形的性质，也有利于发展学生的空间观念，培养初步的逻辑思维能力。例如在教学“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一性质时，教师可以呈现一个算式，让学生画出可能会是怎样的三角形。如：4 ×3 ÷2，学生可以画

13、出如下图形：4然后老师将各种三角形汇合在一组平行线间，通过观察这一组图形,让学生发现“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一图形性质。图形是推理和计算的直观模型，以数想其形， 让学生在想象中发展空间观念，在对比中领悟本真， 突出图形的形象思维， 又帮助获得准确结论， 是训练学生掌握几何图形知识的很好手段，有效地培养学生数中有形、形中有数的意识。3以数释形，在明理中构建概念图形以其形象、 直观常常成为教学的有效辅助，2011 版新课程标准更是把“几何直观”作为十个核心关键词之一，足见它在培养学生数学的基本思想、积累基本活动经验中的重要作用， 但是教学过程中有时仅仅凭借图形并不能很好地

14、解释某些数学概念、数学规律， 必须借助“数”的解释，才能让“形”发挥更大的作用。如教学比例的意义时，教材提供了几幅不同大小的长方形国旗：教师可以这样提问：为什么这几面国旗大小不同，形状却完全一样？在这个问题的指引下，让学生写出相对应的长与宽的比，发现它们的比值相等。这样初步解释了“大小不同，形状相同”的缘由，初步感知比例。再引导学生换个角度思考，长与长、宽与宽、宽与长等等的比的比值是否也相等，再次感受“大小不同，形状相同”的缘由，再次感受比例。是不是像这样“大小不同，形状相同”只限于长方形呢？让学生根据老师提供的三角形、平行四边形等图形，写出比例，再次强化比例的意义。这样通过丰富的材料，让学生

15、经历知识的形成过程，在不断的比较、抽象、概括的过程中不但获取了必要的基本知识和基本技能， 还丰富了学生数学的基本思想， 积累了研究数学、建构知识的基本活动经验，并且为后续内容的学习作了有效的铺垫。5三、数形结合，在思考中提升数形对照，以数辅形，以形助数，形象思维与抽象思维联合而行。既有直观的解释，又便于严谨的逻辑推理，运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使学生在思考中不断提升。1. 数形结合，在融合中构建新知数与形

16、相结合的例子在小学数学教材与教学中比比皆是。在教学中， 有些数学算理如能与数形结合紧密联系，学生便可容易理解和深刻掌握；有些概念教学既以形的直观来促进概念的内化， 又以数的真实来促进感悟，能使学生积极有效地构建新知；数学广角的教学，就更不开数与形的相结合，数形结合可在一定程度上减缓学生认识上的难度，形使数的规律更直观，数使形的规律更细致。如异分母分数加减法教学，利用数形结合，学生便可深刻体会通分的必要性，理解和掌握异分母分数加减法的算理，突破教学重点。再如六上数学广角的练习中出现完全平方公式，用小学知识如何理解（ a+b ）2=a 2 +2ab+b 2，我们可以结合图形用面积计算的知识探索一下

17、。（a+b ） 2 就看成边长是a+b的大正方形面积，在大正方形中分出一个边长为a 的长正方形、一个边长为b 的中正方形和两个相同的长方形，像右图这样观察，就发现大正方形面积就是a2+2ab+b 2 ，所以得出（ a+b ） 2=a 2 +2ab+b 2此外，在容斥问题、行程问题中，图形更是好帮手，甚至可以说离开了图，小学生很难理解这类问题。把“数”与“形”有机结合起来教学，能激发学生的学习兴趣，唤起学生积极主动学习，有效构建新知，从而提高课堂效率。2 数形结合，在思考中提升思维图形知识的学习，无一不是数与形相结合的，但教学时不能仅仅停留在空间观念的形成和利用公式的计算上， 而要在解决图形问题

18、时培养学生的问题意识和发展学生的思维能力，提升学生的思维品质。如在学习圆的面积时，往往只停留在推导出面积计算公式就行了，如果能充分利用数和式来表达推导过程中图形所蕴含的特征，有利于发展学生的发散性思维。教学时设计如下题组问题来引导学生思考，可以提升数学思维。6如果拼成长方形的宽是6 厘米，这个圆的面积是多少？如果长方形的长是12.56厘米，这个圆的面积是多少？如果长方形的周长比圆的周长多20 厘米，这个圆的面积是多少？拼成的长方形长宽之比是多少？如果长方形的周长是41.4厘米，这个圆的面积是多少？学生通过解决这一组问题，不仅促进他们对圆面积公式的理解，还能在解决问题的过程中，通过对图形特征的观

19、察，深化圆面积推导图的实质的理解。让学生通过数的计算促进空间观念的形成，提高了小学生的数学思维能力，提高学习有效性。总之，数学是研究数量关系与空间形式的一门学科。在小学里，数形结合既是重要的数学思想与方法，又是学习数学、理解数学的有效手段。课堂中把“数”与“形”有机结合起来研究问题， 可以让数量关系与图形性质的问题很好地转化，可以帮助学生借助几何直观建立数的概念， 可以帮助学生理解数运算的意义，可以使解题思路与过程更加具体化，可以让学生享受探究数学奥秘的过程，也可以借助图形的表象发展空间观念，更好地展现知识的建构过程。 因此，在小学数学教学中，笔者十分重视数形结合的教学方法和学习方法，在平时的教学中做到不断渗透数学思想，有机地结合起来教学，培养学生主动运用数形结合的意识，从而形成数学的有效教学及问题解决之路，使我们的课堂在数形结合中升