29题汇编及答案

1、2015北京各区中考数学二模 29题汇编及答案29.在平面直角坐标系 xOy中，给岀如下定义：形如y = aAx-mf +aAx-m)y = aAX-rnf -aAx-ni)的两个二 次函数的图象叫做“兄弟抛物线”.(1) 试写岀_对兄弟抛物线的解析式与 ；(2) 判断二次函数y = / 一兀与丁 一 3 乂 + 2的图象是否为兄弟抛物线，如果是，求岀Q与肌的值，如果不是，请说明理由；(3) 若一对兄弟抛物线各自与x轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线x = 2且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式?备用图29.如图，顶点为 A (-4,4)的二次函数图象经过

2、原点(0,0),N关于点A对称，连接PN, ON.(1) 求该二次函数的表达式； 若点P的坐标是(-6,3),求AOPN的面积；(3) 当点P在对称轴/左侧的二次函数图象上运动时, 下面问题：%1 求证：上 PNM= /ONM ；%1若AOPN为直角三角形，请直接写岀所有符合 点P的坐标.点P在该图象上，OP交其对称轴/于点M,点29.对某一个函数给岀如下定义：如果存在实数M,对于任意的函数值 y,都满足yWM,那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的 M中，其最小值称为这个函数的上确界.例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2.如果函数y =3为上确界的-2ax + 2 ()是以有上界

3、函数，求实数 a的值.29.阅读理解：学习了三角形全等的判定方法：“MS, aASA" , aAAS" ,“SSS和直角三角形全等的判定方法“HL”后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”即“ S5T的情形进行研究.我们不妨将问题用符号语言表示为：在個C和必尸中，A&DF, B&EF,/A=/D.初步探究：女口图1,已知AC=DF, ZA=ZD过C作CH丄射线AM于点H,对AABC勺CB边进彳丁分类，可分为“CBCH, CB=CH,CHvCBvCA, ”二种情况进行探究.深入探究:第一种情况，当 BC < CH时，不能构成和财第二种

4、情况，（1）如图2,当BC=CH时，在 /处和厶 DEF中，AODF, BOEF, ZA=ZD根据 ,可以知道RtHABdRtHDEF.第三种情况，(2)当CHvBCvCA时，和滋不一定全等 ？请你用尺规在图1的两个图形中分别补全和恣使处 F和不全等(表明字母，不写作法，保留作图痕迹)(3)从上述三种情况发现，只有当BC=CH时，才一定能使 /進砂.除了上述三种情况外，BC边还可以满 足什么条件，也一定能使血谑化F?写岀结论，并利用备用图证明.P向左平移k (k>0 )个单位得到点 F,理'叫做对点P ( m,n)的k阶“ W变换.(1) 求P ( 3,2)的3阶“ V”变换后的

5、坐标；(2) 若直线y =3与x轴，y轴分别交于4,B两点，点4的2阶“变换后得到点 C,求过A,B,C点的抛物线 M的解析式；(3) 在(2)的条件下，抛物线 M的对称轴与X轴交于D,若在抛物线 M对称轴上存在一点E,使得以E,D,B为顶点的三角形是等腰三角形，求点E的坐标.29.如图1,若抛物线b的顶点A在抛物线厶2上，抛物线厶2的顶点B也在抛物线厶1上（点A与点B不重合），我们把 这样的两抛物线厶1、厶2互称为“友好"抛物线.（1）一条抛物线的“友好”抛物线有_条.A. 1B. 2C. 3D.无数（2）如图2,已知抛物线厶3 : y = 2x如图2,若点M在过点O且与直线CD垂

6、直的直线/上时，点 M的“距离坐标”为（p, q）,且ZBOD=120° .请画岀图形，并直接写岀 p, g的关系式； 如图3,点M的“距离坐标”为（1, V3 ）,且ZAOB=30° ,求OM的长.-8x + 4与y轴交于点C,点C关于该抛物线对称轴的对称点为D,请求岀以点D为顶点的厶3的“友好”抛物线 U的表达式；若抛物线y = aAx-mf + n的“友好"抛物线的解析式为y = a 2（x- /?）2 + k ,请直接写岀再与?2的关系式为 ?个，即点”V|1心意一点M到直线AB、CD的” 根据上述定距离坐标”为（0,0）点有129.定义：如图兰1平面上两

7、条直线了 AB、CD相交于点0,对于平面内分别为p、q,则称有序实数对（p, q）是点M的距离坐标29.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = - % 2+bx + c与x轴交于A, B两点，其中B (6, 0),与y轴交3于点C (0, 8),点P是x轴上方的抛物线上一动点(不与点C重合).(1)求抛物线的表达式；(2) 过点P作PD丄x轴于点D,交直线BC于点E,点E关于直线PC的对称点为刃，若点刃落在y轴上(不与 点C重合)，请判断以P, C, E, &为顶点，的四边形的形状，并说明理由； 在的.条件.下直接写岀点P的坐标.29.对于平面直角坐标系 xOy中的点P和图形G,

8、给岀如下定义：在图形G上若存在两点 M, N,使厶PMN为正三角形，则称图形G为点P的t型线，点P为图形G的t型点， PMN为图形G关于点P的t型三角形.(1)如图1,已知点A(0,-V3), B(3,0),以原点O为圆心的 OO的半径为1.在A, B两点中，。的 T型点是 ,画岀并回答OO关于该T型点的T型三角形；(画岀一个即可) 如图2,已知点E(0,2),点F(?0)(其中m>0)?若线段EF为原点O的工型线，且线段防关于原点O的T型三角形的面积为也，求加的值；9 若H(0,-2 )是抛物线y = x2+ n的t型点，直接写岀“的取值范围、1VtE-10 1.(保留作图痕迹，不写作

9、法 )(1) 请在如下的三个图形中，分别作一条等分线(2) 请在图中用尽现作图作一条直线 /,使它即是矩形的等分线，也是圆的等分线圆平行四边等腰三角(3) 如图，在 RtVABC中，ZA = 90 ° AB = 3, AC = 4,点P是边AB上的动点，问是否存在过 点P的等分线？若存 在，求出AP的长，若不存在，请说出理由.29.我们给岀如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线如下图，抛物线尸2都是抛物线F1的过顶抛物线，设巧的顶点为A，尸2的对称轴分别交比、尸2于点D、B,点C是点A关于直线BD

10、的对称点.(1) 如图1,如果抛物线的过顶抛物线为=0?+加；，c (2, 0),那么%1 a= , b= .%1如果顺次连接 A、B、C、D四点，那么四边形 ABCD为()A平行四边形B矩形C菱形D正方形如图2,抛物线y=aF+c的过顶抛物线为尸 2，B (2, c l).B的坐标. 如果抛物线+ j的过顶抛物线是尸 2,四边形ABCD的面积为2巧，请直接写岀点5?4 -3 -2?1 -2 -1 012345x29.解：(1)答案不唯一，只要两个解析式给岀相同的(2)是兄弟抛物线，理由如下.a值和相同的，“值即可(每空各1分)2分'/ y = 乂-_ x =(尢 _ 1)+(尢_1)

11、,y =尢 2 _3 尢 + 2 =(尢 _1)2 _(x_l),二次函数丁 = /-兀与丁 =疋一 3* + 2的图象是兄弟抛物线.此时a = I,加=1.6分1335(3) y = 2(x )(x ) , y = 2(x )(x );-2 2'2 23557或 y = 2(x )(x ), y = 2(x )(x ).22227分8分29. (1)解：设二次函数的表达式为y = a(x + 4) 2 + 4,把点(0,0)代入表达式，解得a =411 9? 二次函数的表达式为 y =(兀+ 4)2 + 4 ,即y =x2-2x.44解：设直线 0P为y = kx ,将P ( 6,3

12、)代入y = kx ,解得k=/. y =x.当兀=4 时，y = 2. .M ( 4,2).? ?点 M、N 关于点 A 对称，：？ N (-4,6) . :.MN=4,:. S apon = Saomn + Sapmn12证明：设点 P的坐标为-20-其中/ V 4,4设直线OP为y = k'x,IQ将 P(t,t2 -2f)代入 y = k'x ,解得4当 x = -4 时，y = t + 8. :.M (-4,?+ 8).:.AN=AM= 4 - (Z + 8) =_/_4.设对称轴/交x轴于点B，作PC丄/于点C,则1 01 0.OB=4, NB=4 + (T_4)

13、=_t, PC=_4_f, NC= -t-(_t 2 -2t)=-t 2 At.44则竺-J 一丄，一LPC -4-t4 OB 44NC NB:.=.又 J ZNCP= ZNBO=90 , :. HNCPsHNBO,PC OBZPNM=ZONM.(-4-4A/2-4 ).29.解：(1) y =(x<0 )不是有上界函数;xy = 2x-3 (x<2)是有上界函数，上确界是1在y=-x+2中，y随x的增大而减小，.° .上确界为2 a，即2 a = b .3分 又b>a,所以2 a> a ,解得a<l?函数的最小值是2-b, : .2-b<2a +

14、 I,得a<2a + I,解得a>-l.综上所述：一 IVa<I函数的对称轴为 x = a.当a<3时，函数的上确界是 25 10a + 2 = 27 10a.12.?.27a =3,解得a=,符合题意5当a> 3时，函数的上确界是1-2a + 2 = 3-2a.3-2a - 3,解得a = 0 ,不符合题意.综上所述：a = 一529.解: (1)解：HL 或 AAS如图：证明:BC>CA时，在射 线AM上取点B,使BOCA,连接BC,以F为圆心,CB长为半径画弧交射线 DN于点E,连接FE，则BC=EF,过点 尸作FGLDE于点G,ZCHA = ZFGD

15、J ZA = ZD在和阿G中,以脳 ZXJW （曲 S）, :.C 出 FG, 5分AC = DFCH =FG 在 j?tACBH 和 R月中，< CB = FE:.Rt'CBHARtHFEG JHL) :. ZCBTFEAZCBA =乙 FED6分在 ABC和砲< AA = ADAC = DF.?. ABd 滋(A4S)8分29.解：由3阶“W变换.定义：将P(3,2)于y轴对称的点为：P'( 3,2) 1分再将P'向左平移3个单位得P'的坐标P3 '(-6,2) 2分由2阶讯变换定乂： C( 4分(2)直线)y = 3x 3,令 y =

16、0, x = 1 4(1,0 )令 x = 0, y = 3 B( 0, 3) 3分设：过4,B,C三点的抛物线 M的解析式y = ?(x + 3) (x-l)将B(0, 3)代入：a = l抛物线 M的解析式为：y=x2+2x-3(3) D(-l,0), B(0,-3)(I) 若D顶角顶点，DB为腰，DB = DE i = DE 2? DB = sjDO2+OB2 = V10 DB = DE x = DE 2 = V10 耳(E2(-1,-Vio) 6分(II) 若B为顶角顶点，BD为腰，BD = BE.E3 ( 1, 6).7 分 过点B作BG丄y轴交抛物线对称轴于G设E4B= E4D =

17、 X,BG=1, E 4G = 3-X,在 RtABG 中，由勾股定E4B2 = BG 2 + Efi 2 解得：x = | A E 4综上所述：点 E的坐标是：(一(-1,-710), (-1,-6),829.如图1,在平面直角坐标系疋y 内，已知点 4(-1,0), B(-l, 1), C(l,0) , D(l,l)，记线段 AB 为 7,T2,点P是坐标系内一点.给岀如下定义：若存在过点P的直线2与7 ; , 3都有公共点，则称点 P是U联络占八、线段CD例如，点P (0,|)是7; - 3联络点?(1) 以下各点中，是7; -3联络点(填岀所有正确的序号 );(0,2):(-4,2)

18、; (3,2).3y2BDA9 1?,AIlc ”、-4-3-2-11O234-1-232B,AI *'yDc ,-4-3-2-1-1-21O234直接在图1中画岀所有Tx-T2联络点所组成的区域，用阴影部分表示;M为圆心，r为半径画圆，QM 士.只有一个点为 7； -7;联络点，(3)已知点M在y轴上，以%1若r = 1 ,求点M的纵坐标;%1求r的取值范围.29.答案:(1)2 ;过M作MN± AB于N?. ?直线 / 丄 CD 于 O, Z BOD=nO , ZMON=30° .:.p = -q分别作点M关于OA、OB的对称点/OFDA/OMD.:.ZAOM=

19、ZAOE, ZBOM=ZBOF, OM=OE=OF.:. ZEOF=60° . : .OM=OE=OF=EF.':MD=, MC=* , :.MF=2, ME=2 乜.V ZAOB=3Q , :.ZCMD=150°过F做FG丄CM,交CM延长线于 G,2F,连接 EF、OE、OF、EM. FM. : ./OECA/OMC,ZFMG=3Q .在 Rt/XFMG 中，FG=1, MG= 在 RtAEFG 中，FG=1, EG=3 爲.'+1 = 2A/7 .:.EF='':.OM=2 护?29.解：2(1)? ?点 C(0, 8)在抛物线 y =

20、 一討 + 加 + c 上, .?.c = 8,又 TB (6, 0)在抛物线“ /+b 兀 + 8 上, ?0 = 24 + 6 方 + 8, /.&=-, 3?抛物线的表达式为y = -x 2+-x + 833结论：以P, C, E,刃为顶点的四.边形为菱形.证明:TE 禾口&关于直线 PC 对称，：.ZE'CP=ZECP, EP = E' P , EC = E'C ,又 'PE/y 轴，:.ZEPC=Z E'CP=ZECP, :.EP=EC,:.EC = E'C = EP = E'P,四边形E'CEP为菱形.

21、?:B (6, 0), C (0, 8),?BC的表达式为尸亍+48.AM-%35分6分.2 分3分过点E作EF丄y轴于点F,：.厶CFEs'COB,:.=-,:.CE = -EF,的坐标为£,闰即 CE = -x.由 PE=ECA-x 1+4x = -x,8分（不需要过程，结论正确给.?点P2分）29. (1)在 RtVABC 中，ZA = 90 :AB = 3, AC = 4, BC=5.SAP=x,0 <x<3,若等分线交边 AC于点Q,AQ =-x=6-xSvaf? = 3=亍浜纟 6 _ x)=二 x 6,BPx2-6x + 6 = 0x = 3 + V3, Q 0 < x < 3,x = 3 V3.此时40 = 3 +舲4