35导数的综合应用导学案

1、3.5导数的综合应用导学案课程学习目标1. 能利用导数研究函数的单调性、极值、最值等 .2. 能利用导数研究函数的一些综合性问题 .课程导学建议重点 : 利用导数研究函数的性质 .难点: 导数的综合应用 .第一层级知识记忆与理解知识体系梳理复习导入函数与导数是高中数学的核心内容，函数思想贯穿中学数学全过程 . 导数作为工具，提 供 了研究函数性质的一般性方法 . 作为“平台可以把函数、方程、不等式、圆锥曲线等有机 地联系 在一起，在能力立意的命题思想指导下，与导数相关的问题己成为高考数学命题的必考考点之一. 函数与方程、不等式相结合是高考热点与难点 .重点知识问题1 :在某个区间（a, b）内

2、，如果/? ） 0,那么函数y预x）在这个区间内单调递增； 如果/3 v 0,那么函数 y=/ （x）在这个区间内单调递减 对0 （或v 0）只是函数/3 ）在该区间单调递增（或递减）的充分条件，可导函数冷0在（a, b ）上单调递增（或递减）的充要条件是对任意3）,都有；尸3史0 （或V0 ）且）在（a, 3）的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条 件可以方便地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值或范围”问题.问题2:设函数/3 ）在点Xo附近有定义，如果对 Xo附近所有的点 x,都有7 （ x）v /3o） ，那 么 是函数的一个极大值，记作如柿顼Xo ）;如果对Xo附

3、近的所有的点都荀那么 / （X o）是函数的一个极小值，记作丁 "值小 Xo） ,极大值与极小值统称为极值 . 导数/。） =0 的点不一定是函数 y 顼 X ）的极值点，如使 r（ x） =O 的点的左、右的导数值异号，则是极值点，其中左正右负点是极大值点，左负右正点是极小值点 . 极大值未必大于极小值 .问题3:将函数v顼x）在（a, Z?）内的各极值与端点处的函数值Aa） , / （人）比较，其中最大的一 个是最大值，最小的一个是最小值 .知识链接利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法:（ 1 ）分离参数法:第一步 : 将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题

4、；第二步 : 利用导数求该函数的最值；第三步 : 根据要求得所求范围 .（2）函数思想法:第一步：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值（最值）；第三步：构建不等式求解.基础学习交流1.已知e为自然对数的底数，贝函数 j，=xe"的单调递增区间是（）A. -1, +oo) b.(-go, -1C.l, +oo) D.(-oo, 1【解析】令 y'=e'(l+x)K,又/ >0, Zl+x>0, Zx>-1.故选 A.【答案】A2.已知曲线/（工）=加x在点（xo，人和）处的切线经过点（0, -1）,则xo的值为（）

5、.A. B.l C.e D.10【解析】依题意得，题中的切线方程Ay-In x°=（x-xo）.又该切线经过点（0, -1）,于是有?1-1 n xo= （ -xo），由此得 xo=O， xo=l，选 B.【答案】B3. 函数/（ X）的定义域为开区间（Q,幻，导函数广（X ）在（Q,力）内的图像如图所示， 则函数心）在开区间（Q,方）内有极小值点个.【解析】注意审题，题目给岀的是导函数的图像.先由导函数取值的正负确定函数的单调性，然后列表可判断函数极小值点有1个.【答案】14.等比数列？中，。1 = 1,。2012=4，函数 / （ X） =X （ X21） （X ? Q2 ） .

6、 （ X? Q2O12 ），求函数冷 0 在点（0, 0）处的切线方程.解析】.（X-a2012） +X' （X-a2）（X-a3）. （X-Q2O12 ） +X （X-Q1 ）（ X23 ） . . （ X-Q2O12 ） + . . . +x （x-ai）（x-a2 ） .（x-a2 oil），?：/"（°） = （ -。1） ? （ -。2）. （22012）= （。1。2012）1 006 = 22°12,，:切线方程Ay=2 2012x.第二层级思维探究与创新重点难点探究探究一已知函数的单调性求参数的取值范围问题若函数在0, 2内单调递减，求实数

7、 a的取值范围.【方法指导】先求岀导函数，再利用导数与单调性的关系求解【解析】NOn axLZax nxGx-Za),当a=OBt, f(x)>Q,故,=/(x)在(-8, +oo)上单调递增，与,=/(x)在0, 2内单调递减不符，舍去；当a<0时，由/3V0得aSrVO,即人对的减区间为a, 0，与 y=/(x)在0, 2 内单调递减不 符，舍去；当a>0时，由/Xx)VO得OSvVa,艮航x)的减区间为0, a,由,=/(x)在0, 2 内单调递 减得 a >2,即 aN3.综上，可知a的取值范围是3, +8).【小结】已知 Ax)在区间(a, b)上的单调性，求

8、参数范围的方法：(1) 利用集合的包含关系处理用)在(a, b)上单调，则区间(a, b)是相应单调区间的子集；(2) 利用不等式的恒成立处理；Ax)在(a, b)上单调，贝此3)20或八炬0在色3)内恒成立，注意验证等号是否成立.探究二利用极值判断方程根的个数已知函数 /(X) =x3-x2-x.求/(X)的极值；(2) 画岀它的大致图像；(3) 指岀N顼x)零点的个数【方法指导】先求岀/3)的极值，再根据极值及/3)的单调性画岀北)的草图.【解析】(1)由已知得f(x)=3x2-2x-l,令f(x)=O,解得Xl=-, X2=l.来源：学并科堆网I当X变化时，/V)、顶对的变化情况如下表:

9、X(-8,-)-(-,1)加+0加/极大 值1 (1, +00)0 +极小值所以/(x)的极大值是/(-)=,极小值是穴1)=-1.当 x 一 - CO 时，/(%) >-co ；当 X >+00 时，./(X) 一 +8.令您)=。得X=O或，结合函数的单调性及极值可画岀./(X)的大致图像，如图 由图像可知函数/&)图像与x轴有3个交点,即y=/(x)有3个零点.【小结】先求岀函数的极值点和极值，从而把握函数在定义域上各个区间的单调性和在极值点处的函数值及一8时，7(x)的变化趋势，据此可画岀函数的大致图像，根据图像，利用必修一中的零点定理，确定方程实数(函数零点)的个

10、数，这是导数的一个重要应用.探究三对导数的综合考查已知函数/3)=/+2义"X.(1)若函数/(x)的图像在(2,人2)处的切线斜率为1,求实数a的值;求函数/&)的单调区间和极值；(3) 若函数g(x)=+/(x)在1,2 上是减函数，求实数a的取值范围.【方法指导】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值、恒成立问题.【解析】(1城(x)=2x+ =,由已知广(2)=1,解得a=-3.函数为对的定义域为(0，+8).当aNO时，/(%)>0,因此/U)的单调递增区间为(0，+?>)，这时函数无极值;当 a<( W(x)=.当x变化时，/(

11、x),小)的变化情况如下：X(0,)(,+OO)加-0+?极小值7因此函数/&)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(，+OO).当乂 =时，函数有极小值/()=-a+2 汕. 由 g(x)=+x °2aln x 得 g '(x) =-+2x +,因函数g(x)为1, 2 上的单调减函数，则g， (x)VO在1,2上恒成立，即-+2X+V0在1,2上恒成立，即 aV-x2在1, 2上恒成立.2令 h(x)=-x , 贝 lj/z '(x)= 2x=-(+2x)< 0 在 1, 2上恒成立，所以Z/(x)在1, 2 为减函数，故方“血=力(2)=-,所

12、以好-.易知当 a=- 时也满足题意，故实数 a 的取值范围为 aV-.【小结】本题容易出现以下失误 : 伽过第问的条件“函数 /(x) 的图像在 (2, 人 2)处的切 线 斜率为 1”求出的 a 值，有的同学错误地将其作为第 (2) 问的条件；纫于 (2)得到的不等式不 能正确 地进行讨论；物于 (3)的恒成立问题，意识不到将其分离参数，致使处理起来比较繁琐 .思维拓展应用应用一若函数 )=- 京+( 妇#+1 在区间 (1, 4)上为减函数，在区间 (6, +8) 上为增函数，试求 实数 a 的取值范围 .【解析】函数/&)的导Af(x)=x-ax+a-.令 f(x)=0, 解得

13、工 =1 或乂 =口 -1.当 a-l<l, 即 aV2 时，函数 /&) 在 (1, +oo) 上为增函数，不合题意；当 a-l>l, 即 la>2 时，函数 /(x) 在(-8,1)上为增函数，在(1, a-1) 内为减函数，在 (a-1, +co) 上为增函数 .依题意应当x£(l, 4)时，/(%)<0 ；当 %e(6, +co) 时， /*(.x)>0.所以 4<a-l<6, BP5<a<7.所以a的取值范围是5, 7,应用二已知函 Af(x)=x +bx+c(a, b, cWR).(1) 若函数/&)在

14、x=-l和x=3处取得极值，试求 a,方的值；(2) 在的条件下，外)与x轴有3个交点，求c的取值范围.【解析】 (1 )f(x)=3x 2-2ax+b,:' 函数 /(x) 在 x=-l 和 x=3 处取得极值，1.：-1, 3 是方程 3x -2ax+b=0 的两根，/(X)、迷对的变化情况如下表由(1)知 Q)=x3-3x2-9x + c,/(x)=3x2-6x-9,当 X 变化时,x (-co, -1)3)-1 (? 1,(3,+oo)极大Ax)7极小值/值而/(-l)=c+5，伯)=c-27,根据题意有 c+5>0且C.27V0,.:c的取值范围为-5<c<

15、27.应用三已知函数/(x)=qx-加x, xC(O, e , g(x)=,其中e是自然常数，qwr当。=1时，求/(x)的极值，并证明/(x)>g(x)+恒成立.(2)是否存在实数。，使/(')的最小值为3?若存在，求岀。的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)当。=1时，fix)=x-ln x,.如)=1-=.?:当Ovxvl时，/(%)<0,此时/3)单调递减；当1 vxa时，/(x)>0,此时/(x)单调递增.?:外)的极小值为/(1)=1.:川)在(0, e 上的最小值为1.令/2(x)=g(x)+=+,贝肪。)=,当OVvVg时，/f(x)>0,贝

16、！ J/z(x)在(0, e上单调递增，.:h(x)max=h(e) =+v+=1 =fix) min.:/3)>g(x)+ 恒成立.假设存在实数 a, Af(x)=ax-lnx(x(0, e)有最小值3.Vf(x)=a-=.GQoWO时，人x)在(0, e 上单调递减，=Je) =ae-l =3,?:。=(舍去)，.:当oWO时，不存在实数。使北)的最小值为3.医当Owe,即q>时，/(x)在(0,)上单调递减，在(，e 上单调递增，？顶对叩？顼)=1 +力廿。2=3, /.a=e ,满足条件.雀当注，即 ovqw 时，/(X)在(° e 上 单调递减，f(x)mi n

17、 =/(e) =ae-1 =3, ?:=(舍去)，?:当之e时，不存在实数。使/(x)的最小值为3.综上，存在实数。=/,使得当xW(0,曰时，人x)有最小值3.第三层级技能应用与拓展基础智能检测1. 函数 /3) 的定义域 为(。，+°°)，且 /3)>o, /V)>o ，则函数尸刃 3)( ).A.存在极大值 B.存在极小值C.是增函数D.是减函数【解析】： 1 ，预 x) +xf(x),而函数 /(x) 的定义域为 (0, +。且 /(x)>0, /(x)>0,.-.y'>0 在(0, +8) 上恒成立 .因此， =侦对在 (0

18、， +8) 上是增函数 .【答案】 c2. 函数， =.b+ 在(0, +8) 上的最小值为 ().A.4B.5C.3D.1【解析】#=3(_，令"=o,即疽_=0,解得工=± 1.由于>0,所以乂 =1.在(0, +8)上,由于 只有一个极小值，所以它也是最小值，从而函数在 (0, +8) 上的最小值为 F+=4.【答案】 A3. 已知函Afx)=aln x+x 在区间2, 3上单调递增，则实数a的取值范围是【解析】 :J(x)=abi x+x, .'.f(x)= + l,又： 7(x) 在 2, 3上单调递增，.：+1>0 在 xE2, 3上恒成立，

19、Za>(-x), A-=-2, ZaE -2, +oo).【答案】 -2, +8)4. 已知幕函数 /(x)=("zeZ) 为偶函数，且在区间 (0, +co) 上是单调增函数 .(1) 求函数 Ax) 的解析式；(2) 设函=f(x)+ax +x 2-b(x G7?),其中a, b R.若函数g(x)仅在x=0处有极值，求 a的取值范围 .【解析】 ( 1) 在区间 (0, +8) 上是单调增函数，.'.-m 2+2m+3>0即 m2-2m-3<0,. ： -1 v 秫 v3. 又秫仁 Z,.: 秫 =0, 1, 2,而 m=0, 2 时， )= 乂 3

20、不是偶函数， =1 时， f<x)=x 是偶函数，.fx)=x.43,2(2)g(x)=x 4+ax3 +x -b, g ,(x)=x(x 2 +3ax+9),显然 x=0 不是方程 /+3ax+9=0 的根 .为使 g(x) 仅在 x=0 处有极值，则有 x2+3ar+9>0 恒成立，即有=9疽-36A0,解不等式，得 K : -2, 2 ,这时，g(0)=%是唯一极值，.：亦-2, 2,全新视角拓展(2013年？新课标卷)已知函Afx)=x +ax +bx+c,下列结论中错误的是 ().A. 存在 xcAR, /(Ao)=OB. 函数j，=/(x)的图像是中心对称图形C. 若x

21、o是/(x)的极小值点，贝！I./&)在区间(-co, xo)单调递减D. 若xo是/的极值点，贝此(xo)=O【解析】f(x)=3x +2ax+b,若心是/(x)的极小值点，贝侦x)必有两个极值点，不妨设另一个极值点为为，则/(x)在(-8, X1)上单调递增，在(xi，xo)上单调递减.【答案】C第四层级总结评价与反思思维导图构建巴抑睛俯单弼性求鲁戯的敢何粗医同亜片栽的塚合应出利用擬恒判齢亦裡祗的牛敷时$數的ifi件考叠学习体验分享固学案基础达标检测1. 函数， 4+4的图像(如图)为().【解析】当"=/-4=0时,x=±2.当xE(-co, -2)和(2,

22、+oo)时，*单调递增;当x6(-2, 2)时，V单调 递减.当x=2时，当=-；x=-2时，y=.【答案】A2. 若函数/(x)=g : +在区间,1单调递增，则秫的取值范围为().A. -, +co)B. , +oo)C. -2, +oo) D. 2, +oo)【解析】f(x)=m+>0在,1 上恒成立，即论-在,1 上恒成立，故论【答案】A3. 函数j, =/(x)定义在区间(-3, 7)上，其导函数如图所示，则函数y=/(x)在区间(-3, 7)上极小值的个数是【解析】A、。、B、C、E这5个点是函数的极值点，观察这5个极值点左、右导数的正、 负，可知。点、C点是极小值点，故在区

23、间(-3, 7)上函数y=/(x)的极小值个数是 2.【答案】24. 讨论三次方程x3-9x-a=0解的个数，其中a为常数.【解析】设方程对应的函数倾x)=Q9x-a,则r(x)=3U9,令f(x)=O，则x= 士，即函数 有两个极值点为XI =，乂 2=-.(WOA-)<0>对应方程有三个解，解得-6<a<6 ;逝粉0/(-)=0，对应方程有两个解，解得a=-6或a=6 ;啊OX-)>0,对应方程有一个解，解得a>6或a<-6.综上，当-6<a<6时，方程有三个解；当 a=-6或a=6时，方程有两个解；当 a>6或a<-6时,

24、 方程有一个解.基本技能检测5. 已知 x>0, _y>0, x+3v=9,则 x%,的最大值为().A. 36B.18C.25D.42【解析】由 x+3 ，=9 得)，=(9-x)由 A->0, y>0,得 0<x<9.Sx 2v=x 2(3-x)=-x3+3x2,设穴对=-疽+ 3疽，Zy(x)=-x +6x令 f(x)=0, 得 x=0 或 x=6,而 /( 。 )= 。， y( 6)=- x63+3 X62=36,.#9)=- X93+3 X92=0.故最大值为 36.【答案】 A6. 函数/(x)的定义域是 R, /(0)=2,对任意xER, /(

25、x)4/(x)>l,则不等式e'f(x)>e +1的解 集为 ( ).A. (x|x>0 B. (x|x<0)C. 小 v.l 或 x>l D.xx<-1 或 OBI【解析】构造函数 g(x)=e*y (x)-e',因为 8。 )= 。顼工 )+ 。 ' 手 ( 、 )*=e /(x) +f(x) -e x>ex-e x=O,所以g(x)=e xAx)-e xAjR ±的增函数又因为 8(0)= 。顶 0)-。°=1,所以原不等式转化为 g(x)>g(O) ，解得 x>0.【答案】 A7. 方程

26、- 加 x? 2=0 的根的个数为【解析】设 /3)=-初 x-2, 贝此 (x)=-, 4/(x)=O, 得 x=4, 当 0vn4 时， /(x)<0 ；当 x>4 时， /V)>0 . 故 x=4 是北 ) 的唯一极小值点，且 /(4)v0, 又：注一 2)>0, 为 4)=*.6>0, . 顶 x) 在(/,4), (4, 4)°上各有一个零点，故对应方程有 2个根.来源:Z。xxo k.Com:【答案】 28. 已知函数 /(X)=/+ QX -1.求证 : 当 x>0 且。 >-1 时，【解析】令 h(x)=e-+2tzx(x&g

27、t;0),贝 Ahr(x)=e x+2af因为 e +2a>2+2a=2+2af 当且仅当 x=0 时等号成立 .又">-1, 所以 hf (x)=e +2?>0, 所以 h(x)=e x-+2ax 在区间 0, +8) 上是增函数，又人 (0)=0. 故 当 x>0 时，h(x)=e x-ex+2ax>Q,即 e +ax>ex-ax,即当 x>0 且。>-1 时，/(') 小-工).技能拓展训练9. 函数 /(")= 履? 3 工+1 对于 xc-i, 1 总有 73)次) 成立，贝此 =【解析】若 x=0, 则不论。取何值，显然成立；当 x>0, 艮 PxA(O, 1 时， fAx)=ax -3x+>Q 可化