初二下期末几何压轴题和解析汇报

1、实用标准文案初二下期末几何及解析1、以四边形ABC两边AB AD为边分别向外侧作等边三角形 ABF和ADE连接EB FD,交点为G.(1)当四边形ABCM正方形时(如图1), EB和FD的数量关系是 ;(2)当四边形ABCM矩形时(如图2), EB和FD具有怎样的数量关系 ？请加以证明；(3)四边形ABC时正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，/EG比否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图 3中求出/ EGD勺度数.Ml股期精彩文档难度一般：证全等即可(第三问，图 1中就能看出是45。)解（1） EB=FD 。 （2） EB=FD证：, AFB为等边三角形，AF=AB / FA

2、B=60° ADE为等边三角形，AD=AE / EAD=60 ,/ FAB+/ BAD= EAD叱 BAD即/ FAD4 BAE,.1.A FA阴 BAE,，EB=FD（3）解：, ADE为等边三角形，/ AEDhEDA=60 FA阴 BAE 1 / AEB=/ ADF设/ AEB为x° ,贝U/ ADF也为x于是有/ BED为（60-x） ° , / EDF为（60+x） °/ EGD=180 - / BED-/ EDF=180° - (60-x) ° - (60+x) ° =60°2、已知：如图，在 DABCD

3、中，点E是BC的中点， 连接AE并延长交DC的延长线于点F ,连接BF.(1)求证：ABEFCE;(2)若AF=AD ,求证：四边形 ABFC是矩形.简单题证明：(1)如图1 .在4ABE 和4FCE 中，/ 1 = Z2, /3=/4, BE=CE, ABEA FCE.(2) /A ABEA FCE,，AB=FC.AB/ FC,二.四边形 ABFC是平行四边形.2 .四边形 ABCD是平行四边形，AD = BC.图13 AF=AD, AF=BC,二.四边形 ABFC 是矩形.3、已知： ABC是一张等腰直角三角形纸板，/B=90°, AB=BC=1.(1)要在这张纸板上剪出一个正方

4、形，使这个正方形的四个顶点都在4ABC的边上.小林设计出了一种剪法，如图1所示.请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来.4,它的顶点A在X轴的正半轴上运动,(2)若按照小林设计的图 1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到 1个正方形，将它的面积记为§ ,则S1=;余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪(如图3),得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和 记为S2 ,则S2=；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪(如图4),得到4个新的正方形，将此次所得 4个正方形的面积的和记为S3;按照同样的方法继续操作下去，第 n次

5、裁剪得到 个新的正方形，它们的面积的和Sn =(题外题：把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。本题相当于中考12题的简单题解：(1)如图2;1分6 分4、已知：如图，平面直角坐标系 xOy中，正方形 ABCD的边长为顶点D在y轴的正半轴上运动(点 相交于点P,连接OP.A, D都不与原点重合)，顶点B, C都在第一象限，且对角线AC, BD)(第二问的题外题：当 OA>OD时,(1)当OA=OD时，点D的坐标为,/ POA=:;(2)当OA<OD时，求证：OP平分/ DOA;(3)设点P至ij y轴的距离为d ,则在点A, D运动的 过程中，d的取值范围是.(第二问：

6、如果点 P到OP “所平分的角”的两边的距离相等，即可。求证：OP平分/ DOA;)解：（1） （0,2J2）, 45;证明：（2）过点P作PM± X轴于点M, PN± y轴于点N.（如图3）.四边形 ABCD 是正方形， .-.PD=PA, / DPA=90° . - PM± X轴于点M, PN, y轴于点N, ./ PMO = Z PNO=Z PND=90° . /NOM=90°, .四边形 NOMP 中，/ NPM=90°. . . / DPA=/NPM. Z 1 = Z DPA-Z NPA, Z 2=Z NPM-Z

7、NPA, / 1 = /2.在4DPN 和APM 中， Z PND =/PMA, /1 = /2, PD=PA, DPNA APM. PN=PM. . OP 平分/ DOA .（3） 2 <d < 2.- 5、已知：如图，平面直角坐标系 xOy中，矩形OABC的顶点A, C的坐标分别为(4,0), (0,3).将 OCA沿直线CA翻折，得到 DCA,且DA交CB于点E.(1)求证：EC=EA;(2)求点E的坐标；(3)连接DB,请直接写出四边形DCAB的周长和面积.(第二问，有坐标，用代数法勾股定理可得CE=AE的长)(第三问的证明：过 D做DM ±AC于M ,过B做BN

8、XCA于N,则由相似可得， DM=BN=梯形的高(能 求出具体数)，CM=AN (具体数)还看得 DB=MN (具体数)这样即可求出周长，有可求出面积。)证明：(1)如图1. .OCA沿直线CA翻折得到 DCA,OCAA DCA.1 = /2. 四边形OABC是矩形，OA/CB. / 1 = 7 3. .2=7 3.EC=EA.解：(2)设 CE= AE=x . 点 A, C 的坐标分别为(4,0), (0,3),OA=4, OC=3.四边形 OABC 是矩形，CB=OA=4, AB=OC=3, / B=90° .在 RtAEBA 中，EA2 = EB2 + BA2 ,2,、2 八2

9、-25，25x =(4x) +3 .解得 x=. ，点 E 的坐标为(一,3).88、62192(3),.5256、已知： ABC的两条高BD, CE交于点F,点M, N分别是AF, BC的中点，连接 ED , MN . (1)在图1中证明MN垂直平分ED;(2)若/ EBD = /DCE=45° (如图2),判断以M, E, N, D为顶点的四边形的形状，并证明你的结论.ME=MD , NE=ND ,所以点 M、,进而得菱形，再证一直角得正方第一问，连接EM , EN, DM, DN,利用三角形斜边中线等于斜边一半得，N都在线段ED的垂直平分线上。（有 ADFA BDC ,得 AF

10、=BC ,（还得/ MDA= Z NDB ,证直角时用） 形，）（1）证明：连接 EM, EN, DM , DN .（如图 2） BD, CE 是4ABC 的高， BDXAC, CEXAB./ BDA = Z BDC = Z CEB = Z CEA =90° .,.在 RtAEF 中，M 是 AF 的中点，EM=1AF2同理，DM = 1AF, EN=1BC, DN=1BC.222EM=DM , EN=DN.点M, N在ED的垂直平分线上. MN垂直平分ED.（2）判断：四边形 MEND是正方形.证明：连接 EM, EN, DM , DN .（如图3）. Z EBD = Z DCE=

11、45° ,而/ BDA = Z CDF =90° , ./ BAD = /ABD=45° , / DFC= / DCF =45° .，AD=BD, DF = DC.在 ADF和 BDC中，广 AD=BD,A / ADF=/ BDC , （Rt/） DF=DC,ADFA BDC. AF=BC, /1 = /2.由（1）知 DM= 1AF=AM , DN=1 BC=BN,22DM=DN , /1 = /3, /2=/4.，/3=/4.由（1）知 EM=DM , EN=DN, . . DM=DN = EM = EN.，四边形MEND是菱形., / 3+/MDF

12、 = /ADF=90° , . . / 4+/MDF =/NDM =90° .，四边形MEND是正方形.7、(6分)如图，现有一张边长为4的正方形纸片 ABCD ,点P为AD边上的一点(不与点 A、点D重合)，将正方形纸片折叠，使点 B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,折痕为EF,联结BP、BH。(1)求证：/ APB =/ BPH;(2)求证：AP + HC = PH;(3)当AP = 1时，求PH的长。第一问，设/ EPB=/EBP=m,则/ BPH=90 ° -m, / PBC=90 -m,所以/ BPH= Z PBC ,又因为/ APB= /PBC,

13、所以，/ APB=/BPH。第二问的题外题：将此题与北京141之东城22和平谷24放在一起，旋转翻折共同学习； 此题中用旋转把4ABP绕点B顺时针旋转90不能到达目的，于是延 BP翻折，翻折后的剩余部分 BQH与 BCH也可全等，即可到达目的，还有意外收获：证得/ PBH=45 o第三问，代数方法的勾股定理。（1）证明： PE=BE,EPB=/EBP,又. / EPH = Z EBC=90° , ./ EPH-Z EPB=Z EBC-Z EBP。即/ BPH = / PBC。又.四边形 ABCD为正方形，AD/BC, ./APB = / PBC。 ./ APB = / BPH。（2

14、分）（2）证明：过 B作BQXPH,垂足为 Q,由（1）知，/ APB =Z BPH,又. / A = / BQP=90° , BP=BP,ABP = AQBP, AP = QP, BA = BQ。又 AB = BC, .1. BC=BQ。又. / C = / BQH =90° , BH = BH,BCH ABQH , CH= QH,，AP + HC = PH。（4 分）（3）由（2）知，AP = PQ=1,PD=3o设 QH = HC=X,贝U DH=4x。222在 RtPDH 中，PD +DH =PH ,即（X +1 f =32 +（4 -X 2 ,解得 X =2.4

15、,PH= 3.4 （6 分）8、（6分）如图，在 ABC中，AC >AB , D点在 AC上，AB =CD, E、F分别是 BC、AD的中点，连结 EF并延长，与BA的延长线交于点 G,若/ EFC = 60° ,联结GD ,判断 AGD的形状并证明。BEC（也可问/ ADG的度数。）判断： AGD是直角三角形。证明：如图联结 BD,取BD的中点H,联结HF、HE,1 一F 是 AD 的中点，HF / AB, HF = AB ,/ 1 = / 3。 2一一1同理，HE/CD , HE= CD , .2=/ EFC。2 . AB =CD,.1. HF= HE,/ 1 = /2,，

16、/3=/EFC。 . /EFC=60° , .3=Z EFC=Z AFG = 60° , AGF是等边三角形。AF = FG,. AF = FD,.1.GF=FD, . . / FGD = / FDG = 30° ,丁./ AGD =90° ,即 AGD是（特殊）直角三角形。27.如图，正方形AECD中，8是对角线* E, F点分别在EC, C口边上,且八EF是 等边三角形.(1)求证ABE9AADF；(2过点D作DG_LBD交BC延长线于点G,在DB上截取DH =DA,连结HG. 请你参考下面方框中的方法指导，证明:GH = GE.A证明(1)方法指导

17、在一些证明线段向数量关 系的问题中.有时可以运用代数 计算的方法进行证明.例如:要证明。尸二8瓦可设制“AE=b在 R&BE 和 RtAJDF 中，BE2=AE' 冰一/DF2=AF2 - AD'=#一拼.：*DF =BE.这就是图形证明中代数方 法的应用.运用代数方法证明几 何问题时，线段通常用单个小写 字母表示,(GE=BG-BE , GH是直角三角形的斜边，这样证全等。)10、阅读下列材料：小明遇到一个问题： AD是 ABC的中线， 点M为BC边上任意一点(不与点 D重合)，过点M作一直线，使 其等公' ABC的面积.他的做法是：如图1,连结AM过点D作D

18、N/AM交AC于点N,作直线MN直线MN为所求直线.图I请你参考小明的做法，解决下列问题:(1)如图2,在四边形ABCN, AE平分ABCDW面积，M为CD边上一点，过 M作一直线MN使其等分四边形ABCD勺面积(要求：在图 2中画出直线MN并保留作图痕迹)；(2)如图3,求作过点A的直线AE,使其等分四边形 ABCD勺面积(要求：在图 3中画出直线AE,并保留作图痕迹).图3图2(第二问，把 ABC的面积接到DC的延长线上。)11、 已知：四边形 ABCD正方形，点 E在CD边上，点F在ADi上，且 AF= DE.(1)如图1,判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；(2)

19、如图2,对角线 AC与BD交于点O. BD、AC分别与 AE BF交于点G,点H.求证：OG= OH图1连接 OP若AP= 4, OP=短,求AB的长.【第二问，证4 AOe ABHO第二问，(在 OB上截取 BQ=AP 则 AP® ABQ(O 彳导 OP=OQ AP=BQ 也可得/ OPG= OQP 又 / EPB=90 , 最终彳OPQ等腰直角三角形，可得PQ=2从而求得PB=6,在RtAPB中由勾股定理得的值。2倍根号13.)】12、已知：如图，梯形 ABCD 中，AD/BC, Z B=90 °, AD=a , BC=b , DC= a +b ,且b >a ,点

20、M是AB边的中点.(1)求证：CM ± DM ;(2)求点M到CD边的距离.(用含a , b的式子表示)(我认为答案的思路不是最好。本题还有这样的思路：过 M做BC的平行线，交 DC于Q,则可证 MQ=DQ=CQ , MD平分/ ADC , MC平分/ BCD ,及/ DMC=90 ° , ;M到CD的距离也就是 RtADMC斜边的高 乘以 BC=ab ,）证明：（1）延长DM, CB交于点E.（如图3）.梯形 ABCD 中，AD / BC, ./ ADM=Z BEM . 点M是AB边的中点， . AM = BM.在 ADM 与4BEM中，（/ADM=/BEM,j /AMD

21、=/BME,I AM=BM,ADMABEM .，AD=BE=a, DM = EM. . . CE=CB+BE= b + a .,. CD=a+b, . . CE=CD. CMXDM .解：（2）分另|J作 MN ± DC , DFXBC,垂足分别为点 N, F.（如图4） CE=CD , DM =EM ,. CM 平分/ ECD . /ABC= 90° ,即 MBXBC, . MN=MB . AD/BC, /ABC=90° , . . / A=90° . Z DFB =90° , 四边形 ABFD为矩形.BF= AD=a , AB= DF .

22、FC= BC-BF =ba. RtA DFC 中，/ DFC =90° ,MN ,MN的平方=DN乘以NC=AD22222. DF= 2 . ab .MN=MB =1ab=1dF= ab .22DF =DC -FC =（a+b） （ba）=4ab.即点M到CD边的距离为痴.13、已知：如图1,平面直角坐标系 xOy中，四边形OABC是矩形，点A, C的坐标分别为(6, 0) , (0, 2).点D是线段BC上的一个动点(点D与点B, C不重合)，过点D作直线y =- -2x+ b交折线O A B于点E.(1)在点D运动的过程中，若 ODE的面积为S,求S与b的函数关系式， 并写出自变

23、量的取值范围；(2)如图2,当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形 O A B； C" B'分别交CB, OA于点D, M, O'A分别交CB, OA于点N, E.探究四边形 DMEN各边之间的数量关系，并对你的结论加 以证明；(3)问题(2) 中的四边形 DMEN中，ME的长为.本题难度对于初二学生相当于 25题。【好好学习第一问的解题方法，第二问由两组平行可得平行四边形，/ OED= /O1ED （对称性质），得菱形。第三问，E在OA上时，DE的长度不变，为2倍根号5,（延x轴平移 DME使D与C重合，设DM=EM=x , 代数法用勾股定理

24、可求得 ME的值。解：（1）.矩形OABC中，点A, C的坐标分别为（6,0） , （0,2）,1若直线y = x +b经过点C（0, 2）,则b=2 ;21若直线y=x+b经过点A（6,0）,则b=3;21若直线y=1x+b经过点B（6, 2）,则b=5.2当点E在线段OA上时，即2<bW3时，（如图6） 1,.,点E在直线y = x + b上，2.点B的坐标为（6, 2）.当 y = 0时，x =2b ,.点 E 的坐标 为（2b,0） . S = 1 2b 2 =2b .2当点E在线段BA上时，即3<b<5时，（如图7）. 1.丁点D, E在直线y = x+b上，2当

25、y=2时，x=2b4;当 x =6 时，y =b _3,.点D的坐标为（2b -4,2），点E的坐标为（6,b 3）. S = Sg形 OABC - S,COD - S, OAE - S.'DBE111二6 2(2b -4) 2 (b3) 66 -(2b -4)2 -(b -3)2222=-b + 5b .综上可得:I 2b (2<b<3), S =-b25b (3：b：5).(2) DM=ME=EN=ND.证明：如图8. 四边形OABC和四边形O' A' B是攀形， .CB/OA, CB7/ OA',即 DN/ME, DM /NE. 四边形 DME

26、N是平行四边形，且/ NDE = /DEM. 矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形 O A' B； C' ./ DEM=/DEN . .NDE = /DEN . .ND=NE.二.四边形 DMEN是菱形.DM=ME = EN=ND .-(3)答：问题(2)中的四边形 DMEN中，ME的长为 2. 514、探究问题1 已知：如图1,三角形ABC中，点D是AB边的中点，AEXBC, BFXAC,垂足分别为点 E, F, AE, BF交于点 M ,连接DE , DF .若DE= k DF ,则k的值为 .拓展问题2 已知：如图2,三角形 ABC中，CB=CA,点D是AB边的中点，

27、点 M在三角形 ABC的内部， 且/MAC = /MBC,过点 M分别作 MEBC, MFXAC,垂足分别为点 E, F,连接 DE, DF .求证：DE=DF.推广问题3 如图3,若将上面问题2中的条件 CB=CA”变为CB4A”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证.明你的结论）122某区的模拟题与此高度相似,（第三问，取 BM和AM的中点，构造全等三角形, 问题1 k的值为 1.-问题2 证明：如图9. .CB=CA, ./ CAB=/CBA. . / MAC = /MBC, / CAB- / MAC= / CBA- / MBC ,即/ MAB = /MBA.MA = MB

28、.MEXBC, MFXAC,垂足分别为点 E, F, ./ AFM=Z BEM=90° .在AFM 与ABEM中，/AFM = / BEM,/ MAF =Z MBE,MA=MB, AFM BEM . AF=BE.点D是AB边的中点，BD = AD.在 BDE与 ADF中，BBD = AD, j / DBE =/ DAF , I BE = AF, . BDEA ADF . DE=DF .问题3解：DE=DF .证明：分别取 AM , BM的中点G, H,连接DG, FG, DH, EH.（如图10）点D, G, H分别是AB, AM, BM的中点, .DG/BM, DH /AM,且 D

29、G=1BM , DH = 1AM 22，四边形 DHMG是平行四边形.DHM =/DGM,MEXBC, MFXAC,垂足分别为点 E, F, ./ AFM=Z BEM=90° .FG= DH , DG= EH ,图10FG=1 AM= AG, EH=1BM= BH . 22Z GAF =/GFA, / HBE =/HEB./ FGM =2/ FAM , / EHM =2 / EBM . . / FAM = /EBM , ./ FGM =/EHM. ./ DGM+/ FGM =/ DHM +/EHM ,即/ DGF = Z DHE .在EHD 与4DGF 中，EH = DG , / E

30、HD =/DGF , HD = GF, . EHDA DGF . DE=DF .16、 如图，四边形 ABCD是正方形，点 G是BC上任意一点，DELAG于点E, BFLAG于点F。(1)求证：DE BF=EF;(2)若点G为CB延长线上一点，其余条件不变.请你在图中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明)；(3)若AB=2a，点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并通过计算来验证你的结论。第一问，证全等即可得AE=BF , AF=DE。第三问，各三角形相似，两直角边的比是AE=BF=EF=2FG 。1:2,所以可得图图解：(1)证明: .四边形 ABC

31、D是正方形，BFXAG , DEXAGDA=AB , / BAF+ / DAE= / DAE+ / ADE=90 °，/BAF=/ADE ,.-.AABFADAEBF=AE , AF=DE ;. DE-BF=AF-AE=EF(2)如图，DE+BF=EF(3) EF=2FG过程：AB=2a,点G为BC边中点，BG=a由勾股定理可求 AG u、5a2、5又,ABBC, BFAC,由等积法可求 BF =5a5由勾股定理可求4 5 AF =a 52.52.5；AE=BF=a,二 EF =a , EF=2FG 5517、如图，在线段 AE的同侧作正方形 ABCD和正方形 BEFG (BE<

32、;AB ),连接EG并延长交 DC于点M, 作MN XAB ,垂足为点 N, MN交BD于点P,设正方形 ABCD的边长为1。py cANrE(1)证明：四边形 MPBG是平行四边形；(2)设BE=x,四边形MNBG的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围;(3)如果按题设作出的四边形MPBG是菱形，求BE的长。(图中的三角形多是等腰直角三角形，)证明：(1) .ABCD、BEFG是正方形/ CBA= / FEB=90 , / ABD= / BEG=45 ,DB / ME。.MN LAB, CBAB ,MN /CB。四边形 MPBG 是平行四边形；(2) .正方形 BEF

33、G , BG=BE=x。 -/ CMG= / BEG=45 , CG=CM=BN=1 x。y= (GB+MN ) BN= ( 1+x) (1 - x) = 一 一 x?,0 0<x<1 );2222(3)由四边形 BGMP是菱形，则有 BG=MG ,即 x= x 2 (1 x) o 解得 x=2 2 2 , BE=2 22 。18、将一张直角三角形纸片 ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕， 4CBE为等腰三角形；再继 续将纸片沿 CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形(其中一个是原直角三角形的内接矩 形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形)，我们称这样两个

34、矩形为“叠加矩形”.请完成下列问题：(1)如图，正方形网格中的 ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图中画出折痕；(2)如图，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜 ABC,使其顶点A在格点上，且4 ABC折成的“叠加矩形”为正方形；(3)如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形,那么它必须满足的条件是 .解：(1)B(说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可.(3)三角形的一边长与该边上的高相等19、考考你的推理与论证 (本题6分)如图，在 4ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F ,

35、且AF = BD ,连结BF .(1)求证：D是BC的中点；(2)如果AB = AC ,试判断四边形 AFBD的形状，并证明你的结论.难度一般 解(1)证明：AF/BC,AFE= / DCE.E 是 AD 的中点，AE=DE . / AEF= / DEC ,AAEFA DEC . . . AF=DC. AF=BD , .1. BD=CD. , . D 是 BC 的中点.(2)四边形AFBD是矩形，AB=AC , D 是 BC 的中点，AD ±BC ,即/ ADB=90 AF=BD , AF / BC,二.四边形 AFBD 是矩形.如、拓广与探索(本题7分)如图(1), RtAABC中

36、，/ ACB=90 ,中线BE、CD相交于点。，点F、G分别是OB、OC的中点.(1)求证：四边形 DFGE是平行四边形；(2)如果把 RtAABC变为任意ABC,如图(2),通过你的观察，第(1)问的结论是否仍然成立？(不 用证明)；(3)在图(2)中，试想：如果拖动点 A,通过你的观察和探究，在什么条件下？四边形 DFGE是矩形，并 给出证明；(4)在第(3)问中，试想：如果拖动点 A,是否存在四边形 DFGE是正方形或菱形？如果存在，画出相应 的图形(不用证明).夕-卜/X? - G （图1）(第三问，AB=AC时。第四问，AB=AC ,且底边上的高是 BC的3/2倍时是正方形。保持这种

37、高与边的比， 但是，ABWAC时是菱形。)21、如图，点A (0, 4),点B(3, 0),点P为线段AB上的一个动点，作 PM _L y轴于点M,作PN _L x轴于点N,连接MN,当点P运动到什么位置时， MN的值最小？最小值是多少？求出此时PN的长.(MN=OP ,所以 OPLAB 时，MN 也就是 OP 最小，OP=12/5.)初三相似形 22、如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC, AB=AD=DC= 4, /C=60°, AE _L BD 于点 E, F是CD的中点，连接EF.(1)求证：四边形 AEFD是平行四边形；(2)点G是BC边上的一个动点，当点 G在什么位置时

38、，四边形 DEGF是矩形？并求出这个矩形的周长；(3)在BC边上能否找到另外一点 G',使四边形 DEG'F的周长与(2)中矩形DEGF的周长相等？请简 述你的理由.（第二问，点 G为BC中点时，也是 AE的延长线与BC的交点。第三问，能找到。以 EF为一边在EF的 卜方做 GiEFA GFE , Gi在BC上，但是不与 G重合，）23、（9 分）在梯形 ABCD 中，AB / CD , /BCD =90° ,且 AB=1, BC = 2 , CD = 2AB 。对角线 AC和BD相交于点O ,等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上，使三角板绕点 C旋转。（1）如

39、图9-1,当三角板旋转到点E落在BC边上时，线段 DE与BF的位置关系是里天系（2）继续旋转三角板，旋转角为立请加以证明；如果不成立，请说明理由;请你在图9-2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成#1】（3）如图9-3,当三角板的一边一一 一， 一4.5CF与梯形对角线 AC重合时，EF与CD相交于点P,若OF =,6求PE的长。（第三问，证明两次相似，推导比例关系。）多看看解：（1）垂直，相等；（2）画图如图（答案不唯一）ODCM（1）中结论仍成立。证明如下：过 A 作 AM _LDC 于 M,则四边形 ABCM 为矩形。，AM = BC=2, MC=AB=1。CD =2AB，.-

40、 DM =2 =1。dc=BC。2ViCEF是等腰直角三角形，/ECF =90°, CE=CF.丁/BCD =/ECF =90°,二/DCE =/BCFDC = BCDCE = BCFCE =CF, ADCE 与ABCF，: DE =BF,/1=/2。又；/3=/4,，N5=NBCD=90©二DE .L BF , ,-r线段DE和BF相等并且互相垂直。(3) : AB / CD , MOB s ACOD ,ABCDOAOCOBOD:'AB =1,CD =2,OAOCOBOD在Rt. ：ABC中，AC = /AB2 BC21-4 = . 5.5-OA=。同理

41、可求得OB=3D./OF 邛,，AF=OA+OF 咛端。CE =CF:BC =CD/BCD =90°,，OBC =45°。由(2)知 ADCE 三 ABCF，, Z1 =N2 。又: /3=NOBC=45°,.ACPEsACOB。PEOBCEBCPE _22.2 -T初三相似形 24、(9分)将一矩形纸片 OABC放在平面直角坐标系中，O(0,0), A(6,0), C(0,3)。动点、从点O出发以每秒1个单位长白速度沿 OC向终点C运动，运动2秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿3AO向终点O运动。当其中一点到达终点时，另一点也停止运动。设点P的运动时间为t (

42、秒)。(1)用含t的代数式表示OP, OQ ；(2)当t=1时，如图10-1,将4OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；(3)连结AC ,将AOPO沿PQ翻折，得到4EPQ ,如图10-2。问：PQ与AC能否平行？ PE与AC能 否垂直？若能，求出相应的 t值；若不能，说明理由。2解：（1） OP =6 t , OQ =t +-o3(2)当t=1时，过D点作DDi _LOA,交OA于D如图1, 3分54则 DQ =QO = , QC = ,，CD=1,1.D（1，3）。 33（3）PQ能与AC平行。若 PQ / AC ,如图 2,则 OP =OA ,即 6-£

43、 =6 ,OQ OC 2 - 3t - 33147. 14,"r t =，而 0 W t W , ,'r t =。939PE不能与AC垂直。若PE _LAC ,延长QE交OA于F ,如图3,心_ c匚t 2则”=OQ靡二用t+2AC OC 3.53.3EF =QF -QE =QF -OQ =V5 .'t+2 j-4+2 （V5-1）t+-（75-1）o.3.3、,3、）PEEFOCOA '又 VRtAEPF s RtAOCA ,6 -t 3（5-1）t 2-6（） t 3而0 W t W 7 ,. t不存在。325、锐角 ABC 中，AB=AC,点 D 在 A

44、C 边上，DE LAB 于 E, 延长ED交BC的延长线于点 F.(1)当/A=40°时，求/ F的度数；(2)设/F为x度,/FDC为y度，试确定y与x之间的函数关系式第二问，/ B+x=90 , x+y=/B,所以 y=90 -2x。解（1） AB=AC, NB=NACB.Z A=40° ,ZB =70， DEXAB ,. NBEF =90* . /F =20。(2) ZB =ZC , NA = 180。一2/B.FDC "ADE =90 A=90 -(180 -2. B) - -902. B.在 BEF中， /BEF =90) . /B=90*/F.FDC

45、=-90180 -2. F =90 -2. F. '二心 90 .26、如图1,正方形 ABCD的边CD在正方形 DEFG的边DE上，连接AE、GC.(1)试猜想AE与GC有怎样的数量关系；(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2,连接AE和GC.你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由；(3)在(2)的条件下，求证： AEXGC.(友情提示：旋转后的几何图形与原图形全等)延长相交可证得垂直，解：(1)猜想：AE=GC(2)答：AE=CG 成立.证明：: 四边形ABCD与DEFG都是正方形，AD=DC, DE=DG , /A

46、DC= =/EDG=90+Z1+ Z3= Z2+Z3=90 .Z1 = Z2 .,AADE 幺 CDG .,. AE=CG .(3)延长AE, GC相交于H,由(2)可知N5=/4.又 /5+N6=90 : /4 +/7=180 电*DCE=90 °,.6=. 7.又 Z6+ZAEB=90 s,ZAEB=ZCEH . CEH . 7=90 .27、如图所示，在直角梯形 ABCD43, AD/BC, / A= 90° ,AB= 12, BC= 21, AD=16 动点P从点B出发,ZEHC=90°,AE_LGC .沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点 Q

47、同时从点A出发，在线段 AD上以每秒1个单位长的 速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t (秒)。(1)当t为何值时，四边形 PQDC的面积是梯形 ABCD的面积的一半；(2)四边形PQDC能为平行四边形吗？如果能，求出t的值；如果不能,请说明理由.(3)四边形PQDC能为等腰梯形吗？如果能，求出 t的值；如果不能， 请说明理由.(第一问，t=37/6 ,第二问，t=5,第三问，不能，/ QPC大于90° ,不能等于/ DCP;本题扩展：如果延DA、CB方向移动，则可以出现等腰梯形。)28、(12分)如图，等腰梯形 ABC用,AD/ BQ M N分另是AD BC的中点，E、F分别是BM CM的中点.(1)在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形？请直接写出结论；(2)判断并证明四边形 MEN屋何种特殊的四边形？(3)当等腰梯形 ABCD勺高h与底边BC满足怎样的数量关系时？四边形 MEN尾正方形(直接写出结论，不需要证明).两对；菱形；一半。39、E是正方形 ABCM对角线 BD上一点，EF± BC, EG! CD,垂足分别是F、G.求证：AE =F