高二数学导数大题练习详细答案

1、1 .已知函数f(x)=ax3+bx2 +(c3a 2b)x + d的图象如图所、示.(I)求c,d的值；(II)若函数f(x)在x=2处的切线方程为3x + y11 = 0,求函3数f(x)的解析式；I(HI)在(II)的条件下，函数y = f(x)与y =1 f <x)+5x + m的3图象有三个不同的交点，求m的取值范围.2 .已知函数 f (x) =a ln x - ax -3(a R R).(I)求函数f(x)的单调区间；(II )函数f(x)的图象的在x=4处切线的斜率为士若函数21 。 cm .g(x) =-x +x f'(x) +在区间(1 , 3)上不是单调函数

2、，求 m的取值氾围.323 .已知函数f (x) = x3+ax2十bx+c的图象经过坐标原点，且在x=1处取得极大值.(I)求实数a的取值范围；2(II)若方程f(x)=0包恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式；9(III)对于(II)中的函数 f(x),对任意久、BER,求证：| f(2sina)-f(2sinP)怪 81 .4 .已知常数a>0, e为自然对数的底数，函数f(x) = ex-x, g(x) = x2 - alnx .(I)写出f(x)的单调递增区间，并证明ea>a;(II)讨论函数y =g(x)在区间(1,ea)上零点的个数.5 .已知函数 f(x) =ln

3、(x-1)-k(x-1) + 1 .(I)当k=1时，求函数f(x)的最大值；(II)若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围;6 .已知 x =2 是函数 f (x) =(x2+ax - 2a - 3)ex 的一个极值点(e = 2.718 ).(I)求实数a的值；(II)求函数f (x)在x可±3的最大值和最小值.27 .已知函数 f (x) = x2 -4x + (2 a) ln x,(a w R, a # 0)(I)当a=18时，求函数f(x)的单调区间；(II)求函数f(x)在区间e,e2上的最小值.8 .已知函数f (x) =x(x-6)+alnx在x(2,收)上不具有

4、单调性. (I)求实数a的取值范围；(II)若f (x)是f (x)的导函数，设g(x) = f，(x)+6-今，试证明：对任意两个不相 x等正数Xi、x2 ,不等式|g(xj-g(x2) |竺卜1 -x2 |恒成立.27199.已知函数 f (x) =-x -ax+(a-1)ln x, a >1.2(I)讨论函数f(x)的单调性；(II)证明：若a<5，则对任意 xi,x2 W (0,+oc),xi 丰 x2,有 f(x1)_f-(x-) > -1. x1 x21 210 .已知函数 f(x)= x +alnx, g(x) = (a+1)x ,a = -1 .2(I)若函数

5、f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求 实数a的取值范围；(II)若 aw(1, e(e 2.71828 )川，设 F(x)=f(x) g(x),求证：当 w 1,a时，不 等式 | F(x1) -F(x2) |<1 成立.11 .设曲线 C : f(x)=lnx-ex ( e = 2.71828 )，f'(x)表示 f (x)导函数.(I)求函数f(x)的极值；(II)对于曲线C上的不同两点A(x1,y1) , B(x2,y2),玄 <发，求证：存在唯一的 x0 为名),使直线AB的斜率等于f (x0).12 .定义 F(x,y) =(1+x

6、)y,x, yW(0, ), 令函数f (x)=F(3,log2(2x-x2+4),写出函数f(x)的定义域；(II)令函数g(x) =F (1,log2(x3+ax2 +bx+1)的图象为曲线C,若存在实数b使得 曲线C在x0(M<X0 <-1)处有斜率为8的切线，求实数a的取值范围；(III)当 x, y WN *且*<丫 时，求证 F(x, y) >F(y, x).12a 4b -3a -2b-3(2分)(4分)8a 4b -6a -4b 3=5解得 a=1,b = -6 所以 f (x)=x3 6x2(HI) f (x) =3x2 -12x+9 ,可转化为:9x

7、 3(8分)x3 -6x2 +9x + 3=(x2 -4x + 3 )+5x + m有二个答案1 .解：函数 f(x)的导函数为f'(x)=3ax2+2bx+c3a2b 由图可知 函数f(x)的图象过点(0, 3),且f'(1)=0得d =3= f =3.3a 2b c -3a -2b =0c =0(II)依题意 f'(2)=与且"2)=5(10 分)故而，一16皿居为所求.2.解：(I) f'(x)=虻凶就0)(12 分)(2分)x当a>0日tf(x)的单调增区间为(0,1】减区间为1,也)当a<0日1 f(x)的单调增区间为1,依)减区

8、间为(0,1；当a=1时，f(x)不是单调函数(5分)3a 3 一(II ) f'(4)= =一得a = 2, f (x) = 2ln x + 2x 342J. g(x) =1 x3 +(m +2)x2 -2x,A g'(x) = x2 +(m + 4)x -2 (6 分) 32丁 g(x)在区间(1,3)上不是单调函数，且g'(0) = -2x(,2) 3J_2(2 J14 I9 J4(4, + 8)g'(x)+0-0+g(x)增极大值减极小值增不等实根，即：g(x )= x3 7x2十8x m与x轴有三个交点; 2g(x)=3x 14x+8 = (3x-2

9、(x-4 ),268一g.一尸-m, g(4)=16m.327当且仅当g i| J=|8 m >0且g(4 )= 16 m <0时，有三个交点,g'(1) <0,g(3)>0.八m,T 一八、19(12 分)(8 分)19 (10 分)me (-19,-3)m 3,33 . 解：(I) f (0) =0= c=0, f'(x) =3x2+2ax+b, f'(1) =0= b =2a 3 .f(x)=3x2 2ax(2a 3) =(x1)(3x 2a 3),由f (x) =0= x =Mx =-,因为当x =1时取得极大值，3所以一2a±

10、3>1=a<q 所以a的取值范围是：(g,-3); 3(II)由下表：x(3,1)1(1,三) 32a +3 3(士, 口 3f (x)+0-0-f(x)递增极大 值_a 22递减极小值廿6 (2a 43)2 27递增2依题意得：*63+3)2=一回3 ,解得：a = -9 279所以函数f(x)的解析式是：f(x) =x3 -9x2 +15x(HI)对任意的实数 s,P 者 B 有2«2sinct 42,2«2sinB«2,在区间-2, 2有:f(-2) =-836 30 = 74,f(1)=7, f(2)=8 36 + 30=2f(x)的最大值是

11、f(1) =7, f(x)的最小值是 f(-2)=-8 -36 -30 = -74函数f(x)在区间22上的最大值与最小值的差等于81,所以 | f (2sin a) f (2sin P)581 .(2分)4 .解：(x)=ex1之0,得f(x)的单调递增区间是(0,收)，: a >0 ,f (a) > f (0) =1 , /. ea >a +1 >a ,即 ea >a . (4 分)a 2(x -)(x-)(II) gx)=2x =22-, 由 g'(x)=0, 得 x =三 ,歹！J表xx2xg (x) g(x) 当x=，a时,2(0q)2-单调递减

12、.2a-20极小值呼，二)2+单调递增函数y = g(x)取极小值g(罟可(1-呜)，无极大值.由(I) ea >a ,e2aea a 2 2a a (e > .e2，g(1) =1 >0 , g(ea) =e2a -a二(eaa)(ea -a) 0(8分) 当等 w,即0caE2时，函数y=g(x)在区间(1,ea)不存在零点当?“即a>2时若a(1-lna)>0,即2<a<2e时，函数y=g(x)在区间(1,ea)不存在零点若a(1-lna)=0,即a=2e时，函数y = g(x)在区间(1,ea)存在一个零点x = e； 22若a(1-lna)&

13、lt;0,即a>2e时，函数y = g(x)在区间(1,ea)存在两个零点；22综上所述，y = g(x)在(1,ea)上，我们有结论：当0<a<2e时，函数f(x)无零点；当a=2e时，函数f(x)有一个零点;当a>2e时，函数f(x)有两个零点.5 .解：当 k=1 时，f'(x)=x -1f(x)定义域为(1, +笛)，令 f，(x)=0,得x = 2,.当 xw(1,2)时，x)>0 ,当 xw(2,f,f(x) <0,f(x)在(1,2)内是增函数，在(2,收)上是减函数.当x=2时，f(x)取最大值f(2)=0(II)当k£0时

14、，函数y=ln(x1)图象与函数y=k(x1)1图象有公共点，函数f(x)有零点，不合要求；当k>0时，1. 1k -kxf (x)=-k 二二x-1x-1k(x(6分)令 f (x) =0,得x =-1 , 丁 x W (1,k1)时，f '(x) >0, xW (1 +1,")时，f '(x) <0 , kkkf (x)在(1,1+，内是增函数，在1+Jf)上是减函数，f(x)的最大值是 f(1+：)=Ink,:函数 f(x)没有零点， lnk<0, k>1,因此，若函数f(x)没有零点，则实数k的取值范围k51,y)6 . 解：(I

15、)由 f (x) =(x2+ax-2a -3)ex 可得f '(x) =(2x +a)ex +(x2 +ax -2a -3)ex = x2 +(2+a)x-a -3ex (4 分)x=2是函数f(x)的一个极值点，f2)=0(a+5)e2 =0 ,解得 a = 5(II)由 f (x)=(x-2)(x-1)ex >0,得 f(x)在(g,1)递增，在(2,依)递增，由f (x) <0 ,得f(x)在在(1,2)递减(8分)1 1. 3= -e2(4e. e -7) 0, f (3) f (-)f(2)=e2 是 f(x)在 xW|,3的最小值；37 2,3 a 7 2&qu

16、ot;2)=402，f(3)=e3f(3)-f(?=e3 - f(x)在x3,3的最大值是f(3)=e3.27.解：(I) f (x) = x2 4x 16ln x ,162(x 2)(x -4)f '(x) = 2x -4 - 一=-xx由 f'(x) A0 得(x+2)(x -4)>0 ,解得 x >4或x < 2注意到x>0,所以函数f(x)的单调递增区间是(4, +s) 由 f'(x) <0 得(x+2)(x -4) <0 ,解得-2< x<4,注意到x>0,所以函数f(x)的单调递减区间是(0,4.综上所述

17、，函数f（x）的单调增区间是（4, +8）,单调减区间是（0,4 6分(H )在 x w e,e2时，所以 f'(x) =2x.4 = xf (x) = x2 -4x (2 -a)ln x22x -4x 2 a=,x设g(x)= 2x2 -4x 2 -a当 a<0时,有 = 16+4刈(2a) =8a <0 ,此时g(x)>0,所以f'(x)>0, f(x)在e,e2上单调递增,所以 f (x)min = f (e) = e2 -4e - 2 -a当 a >0 时，=164M2(2a) =8a>0 ,令 f'(x) A0 ,即 2x2

18、 -4x + 2-a A0 ,解得 x > 1 + 或x <1 -上2a ;令 f'(x)<0,即 2x2 4x+2 a <0 ,解得 1 2a < x < 12a22若1+学而2,即aN(e21)2时，f (x)在区间e,e2单调递减，所以 f(x)min = f (e2) =e4 -4e2 +4-2a .若 e <1 + 二a <e2 ,即 2(e -1)2 <a < 2(e2 -1)2 日寸间，2f(x)在区间e,1十*上单调递减，在区间1十里,e2上单调递增,22所以 f(x)min = f(1 'a) - -

19、 2a -3 (2-a)ln(1 -a).222若1+避史今即0<a9e-1)2时，f(x)在区间e,e2单调递增，2所以 f (x)min = f (e)=e2 -4e 2 -a综上所述，当 aA2e2-1)2 时，f (x. = a4-4e2 +4-2a ；222a -2a当 2(e1)2<a <2(e2-1)2 时,f(x)min J2a-3+(2 - a)ln(1+)；22当 a02(e-1)2 时，f (x)min =e2 4e+2a14 分28.解： f'(x)=2x6 + a =2x 6x a , x xf(x)在xW(2, F上不具有单调性，在xW(2

20、,F)上fx)有正也有负也有0, 即二次函数y=2x2-6x+a在x52,F）上有零点 （4分）y =2x2 -6x+a是对称轴是x=9 ,开口向上的抛物线，. y = 2 "-6 2 + a<02的实数a的取值范围（(II)由(I) g(x)=2x + a-4, x x2a2方法 1 ： g(x) = f (x)工 +6 =2x +- -2(x >0), xx x.a 44 a <4 , , , g (x) =2 -2- +y >2 2X X X_ 34 2x _4x 4(8分)44、812 4(2x -3)以 h(x) = 2 - -3 , h * (x)

21、 =- - =4X XXXXh(x)在(0,3)是减函数,在(9,收)增函数,当22h(x)取最小值3827,从而 g<x)>38 ,(g(x)-|8尸>0 ,函数 y = g(x)-182是两个不相等正数，不妨设22,则g(X2)焉x是增函数,、38X2 g(Xi) - Xi27.38. g(xi) -g(x2) 38.g(x2)-g(Xi)>27(x2-Xi),.X2-XiA0' -Xi_X2A 方. g(Xi)g(X2)X1 - X23838>为,BP |g(Xi)-g(X2)|>2y|Xi -X2I(12 分)方法2:M(Xi,g(Xi)、N

22、(x2,g(x2)是曲线y = g(x)上任意两相异点,g(Xi) -g(X2)2(x1x2)aXi - X22(xiX2)a2 2Xi X2XiX222Xi X2X1X24,XiX22 XiX2, a ： 4(XiX2)3X1X2( XiX2)3X1X2(8分)1人32.设 1=-？=>。, 令 kMN =u(t) =2+4t -4t ,u'(t) =4t(3t 2),XiX2由 u(t)>0,得 t A2,由 u <0得 0<t<2, 33,u(t)在(0,2)上是减函数，在(2尸)上是增函数 33，u(t)在t=2处取极小值18,小之更，.所以 32

23、727即 |g(Xi) -g(X2)| 27|Xi -X2I9.(1) f(x)的定义域为(0,8)，f'(x)=x-a+'aXg(Xi) -g(X2)Xi -X238> 一272x - ax a -1 _ (x -1)(x 1 a) 若a-1=1，即a =2,则f1(x)=(二1-.故f (X)在(0尸)单调增加. x(ii)若 a -1 <1,而 a>1,故 1 <a 父2,则当 xw (a 一1,1)时，f'(x) < 0.当xw (Qa -1)及xW(1,+)日！ f'(x) A0,故f(x)在(a-1,1)单调减少，在(0

24、, a-1),(1, ,二)单调增加.(iii )若a-1 Ai,即a >2,同理可得f (X)在(1,a -1)单调减少，在(0,1), (a-1,)单调增加.(II)考虑函数 g(x)=f(x)+x =1x2 ax+(a 1)ln x+x.2由 g'(x) = x - (a -1) , -1 一 2、x x .a -1 2由于a <a5,故g'(X)A0,即g(X)在(0,)单调增加，从而当x > x2 > 0时有 g(Xi)g(X2)>0,即 f(Xi) f (X2)+ x1 一 X2 >0,此 f (xi ) f (x2 )f (xi

25、) - f ( x2 )f (x2 ) f (xi )政> -1 , 当 0 M xi < x2 日于，有=> -1X1 -'x2xi - x2x2 xi10 .解： (x) = x + a, g (x) = a +1 , x函数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，2.当xw1,3时，(x),gx)=-叟之0怛成立，即(a+1)(x +a)20怛x成立，.”a>!在xw1,3时恒成立，或一12在xw1,3时恒成立， a -xa 三-x: -9 <x < -1 ,a > -1 或 a E -91 2- a(x - a

26、)(x -1)(II) F(x)=-x +aln x,-(a+1)x , F (x) =x+-(a+1)=2xxF(x)定义域是(0,f) , aw(1,e,即 a"F(x)在(0,1)是增函数，在(1,a)实际减函数，在(a,")是增函数当 x=1 时，F(x)取极大值 M =F(1) = -a_12当 x = a 日寸，F (x)取极小值 m = F (a) =aln a 1a2 a ,2; x,x2 引1,a , . |F(xJF(x2)|E|M -m|=M -m121设 G(a)=Mm= a alna，贝！J G (a) = a Tn a 1 , 22._ .1-.

27、 G'(a)' = 1 , .aw(1,e,G，(a)"0 aG(a) =a Ina 1 在aw(1, e是增函数，/. G'(a) a G'(1) = 01c1 .G(a)=-a -aln a-在 a = (1, e也是增函数22G(a) EG(e),即 G(a) Ee?-e-工=一1,22222而-e2 -e - =(e- -1 <(- -1=1 , /. G(a) = M -m <12222，当 x,x2 W1,a时，不等式 |F(x1)F(x2)|<1 成立.I 1 一 ex1II .斛：(I) f(x)=-e= 0 ,得 x

28、 = 一x xe当x变化时，(x)与f(x)变化情况如下表：x(0, In x2 7nxi-e(x2-x1). x2-x11 x2-(II)(方法 1) f(x°)=kAB, .-e = -21- , . . 1-In = 0x°x2 一 xx0x1) e e, ef (x)十0一f(x)单调递增极大值单调递减二当x=1日寸，f(x)取得极大值f(l)=-2,没有极小值； ee即 x0 In x2 (x2 -x1) = 0 ,设 g (x) = xln ± _(x2 -x1) x1Xg(Xi) =Xi In x2 (X2 - Xi) , g(Xi) x =ln x

29、2 -1>0 , g(x1)是 x 的增函数,Xi1XiX2 Xi <X2 , g(Xi) <g(X2)=X2ln (X2 X2) = 0 ,X2g%) =XzIn 七-乂 -为)，g(x2 )|x =In*-i>0, g(x2)是 X2 的增函数, xi2xixi z 、 - xi <X2 , g(x2) >g(xi) =x"n 一 一(x 一x1)= 0 ,Xi二函数 g(x) =xIn 9-(X2 -Xi)在(me)内有零点 x0 ,Xi又丁辿>1,.In配>0,函数g(x)=xIn>-仇-xi)在(xi,X2)是增函数,x

30、i函数 g(x)=X1X2 - XiXi-In a在(Xi,X2)内有唯一零点x0,命题成立xX1(方法2)f (X0)= kAB ,1 ln x2 - In x1 - e(x2 - x1) 一e 二,即 x0 ln x2 -x01nx1 + x1 - x2 = 0 ,设 g (x) = xln x2x ln x1 x1 -x2X0X2 - XiX0= (Xi,X2),且 X0 唯一贝U g(x1)= x11nx2 xi In xi + xi - x2 ,再设 h(x) =x In x2 x In x + x x2 , 0 <x <x2 , h'(x) = In x2 - In x a 0h(x) =xIn X2 xIn x+xX2在 0 <x ex?是增函数g(Xi) =h(xj ch%) =0 ,同理 gd) >0方程 x In x2 - x In xi xi - x2 =0在 x°w (Xi,X2)有解:一次函数在(me) g(x) =(In X2 Tn Xi)x +x -X2是增函数(12 分)方程xIn X2