论文极限概念的是与非

1、毕业设计（论文）设计 ( 论文 ) 题目极限概念的是与非姓名：曹洋学号：201000820001学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学年级2010 级指导教师：董莹毕业设计（论文）开题报告论文题目：极限概念的是与非姓名：曹洋学号：201000820001学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学年级：2010 级指导教师：董莹山东大学（威海）毕业论文（设计）开题报告书一、课题来源极限是一个非常基础的数学概念， 在对学习、 研究高等数学有奠基作用的数学分析这门课程里， 几乎所有的基本概念， 包括函数连续的概念，微分积分的定义，级数的敛散性、多元函数的偏导数 , 广义积分的敛散性、 重积分和曲线积

2、分与曲面积分的概念，都是先介绍函数理论和极限的思想方法 , 然后利用极限的思想方法给出。可以概括的来说， 数学分析的本质就是用极限的思想来研究函数的一门学科。 极限的思想揭示了变量和常量， 无限与有限之间对立统一的关系， 极限的思想方法是数学分析乃至整个高等数学不可缺少的一种重要思想方法。 因此，弄清楚极限学中的基本概念和思想， 学会判定极限学中的种种问题， 是至关重要的。二、 本课题的基本内容1. 序列极限和函数极限的严格定义，并用数学语言阐述A 不是f(x) 的极限的严格定义。 应用定义举例证明Lim f(x)等于 A,Limf(x) 不等于 B.2. 序列收敛和函数收敛的严格定义，并用数

3、学语言阐述序列和函数不收敛的严格定义。应用定义举例证明序列与函数是否收敛。3. 一致收敛的严格定义，并用数学语言阐述非一致连续的严格定义。应用定义举例判断是否是一致连续。三、本课题的重点与难点重点山东大学（威海）毕业论文（设计）开题报告书此论题的重点是弄清楚极限学中的极限、收敛、一致连续以及极限不存在、不收敛、非一致连续等基本概念的严格定义，并学会判断。难点1. 极限是一个抽象概念，因此对于理解极限学中的种种定义有一定难度，2. 阐述极限不存在，序列、函数不收敛，非一致收敛等定义的时候，容易疏忽导致阐述错误，进而引起对概念的混淆。3. 对于极限学中的问题进行判定时 （如极限是否存在等） ，容易

4、出现疏忽导致错误，三、 论文提纲i.序列极限1. 序列极限的定义与反向定义（即用数学语言阐述A不是序列的极限）。2. 序列上下极限的定义3. 序列收敛的定义与序列不收敛的定义。4. 利用定义判断给定序列极限是否存在。二函数极限1. 函数极限（自变量趋于有限值以及趋于无穷时） 的定义与反向定义（即用数学语言阐述 A 不是函数的极限） 。2. 函数左右极限的定义山东大学（威海）毕业论文（设计）开题报告书3. 利用定义判断给定函数极限是否存在。4. 函数一致收敛的定义与函数非一致收敛的定义。5. 利用定义判断给定函数是否一致收敛。三总结一些常出现的错误。四、 进度安排1寒假期间，复习相关课程，对极限

5、概念有最基本的认识。2开学 4 周内，进一步收集相关知识，理清思路，提交开题报告，并提交指导老师评阅，3 4 周后，根据开题报告撰写论文初稿，上交指导老师批阅，根据指导老师修改意见，完善论文论文， 并请指导老师进一步批阅，4进一步修改论文，完成定稿，5准备论文答辩毕业论文开题报告指导教师意见：（请手写意见和签名 ）（对本课题的深度、广度及工作量的意见）指导教师：（签字）年月日教研室审查意见：（请手写意见和签名 ）教研室负责人：（签字）年月日6.毕业设计（论文）任务书学生姓名曹洋学号 201000820001设计（论文）题极限概念的是与非目指导教董莹师主要从正反两面来理解分析极限、一致连续、一致

6、收敛等基本概念，给出新的命题，分析相关命题的应用以及判别方法。研究内容研通过研究数列的极限、函数的极限、函数在区间上的一致连续性、究函数项级数与函数序列的一致收敛性等概念， 给出其正反叙述， 分方析其应用及判别方法，能够从正反两面来更加深刻理解这些概念内涵。并且举例说明。法主 要 技术 指 标撰写一篇一万字左右的论文(或研究目标 )主要参考1，微积分学教程； 2，数学分析文献注： 1、本表由指导教师根据学生的开题报告填写，下发给学生，并定期检查学生进度。本表可用微机打印； 2、由理工科指导教师填写。7目录摘要 .2一、数列极限 .5（一）数列极限的定义 .5（二）利用定义判断给定数列是否收敛.

7、5二、函数极限 .6（一）函数极限的定义 .6（二）利用定义判断给定函数极限是否存在 .8三、连续函数 .9（一）函数连续的定义与不连续点类型.9（二）函数一致连续的定义与函数非一致的定义.11（三）利用定义判断给定函数的连续性。 .11参考文献 .13注释 .14谢辞 .8摘要极限是一个非常基础的数学概念，在对学习、研究高等数学有奠基作用的数学分析这门课程里，几乎所有的基本概念，包括函数连续的概念，微分积分的定义， 级数的敛散性、 多元函数的偏导数 , 广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念，都是先介绍函数理论和极限的思想方法 , 然后利用极限的思想方法给出。可以概括的来说，数学

8、分析的本质就是用极限的思想来研究函数的一门学科。 因此，弄清楚极限学中的基本概念和思想，学会判定极限学中的种种问题，是至关重要的。本论文先阐述了数列极限的严格数学定义。之后又按照自变量的趋近情况分别对函数极限进行严格定义，最后也给出了函数连续性以及一致连续性的严格数学定义。为了能够加深理解，本文还做了反向定义的描述，即用严谨的语言定义非极限、 非一致连续概念等等。 同时，本文也会通过举例来进行更深一步的说明。关 键 词：极限，函数极限，一致连续，定义AbstractThe limit is the mathematical concept of a very basic, in the fou

9、ndation for learning, research on higher mathematics analysis this course, almost all basic concepts, including the concept of continuous function, the definition of differential and integral, partial derivative9of the convergence of series, multi - function, the convergence of generalized integral

10、concept, double integral and curve integral and surface integral method, is first introduced the function theory and the limit, then the thought method of limit is given. Can generally speaking, a discipline essence of mathematical analysis is used to study the idea of function limit. Therefore, cle

11、ar limit basic concept and idea of study, learn to judge the limit problems of science, is of crucial importance.This paper first describes the rigorous mathematical definition of limit of a sequence. After reaching the situation according to variables are defined respectively on the limit of functi

12、on, the function of continuity and uniform continuity of the strict mathematical definition is given. In order to deepen understanding, this paper also did the reverse description of the definition, namely language well-defined non limit, non uniformly continuous. At the same time, the paper also ci

13、tes examples to further illustrateKey words ：Limit, limit of function, uniformly continuous, definition10一、数列极限( 一) 数列极限定义1.lim X n =a ：n设 X n 是一给定数列，如果对0，正整数 N,nN 时，成立X na，则称数列 Xn 收敛于 a ( 或称 a 是数列的极限 ) ，记为lim X n = a ,n有时也记为X na (n) 。2. lim X n a ：n设 X n 是一给定数列，如果0 0，对正整数 N, n0N ，成立X n a0 ,0则数列 X n

14、 不收敛于 a ，即 a 不是数列的极限。3. 柯西原理 ：（1） lim xn 存在：x设 X n是一给定数列，对， 正整数。n,mN时成立0Nxnxm（2） lim xn 不存在x设X n 是一给定数列，若，正整数，m0 , n0 N使得0 0Nxn0xm00（二）利用定义判断给定数列是否收敛11例 用定义证明数列 n1 是无穷小量。n21证明：对0，由n10 = n1 2n21n21 n知，欲使 n10 ，只须 2N时，有 n10 0 。从而知不是数列3n12n2n n 的极限。证毕例证明数列 xn | xn( 1)n 极限不存在证明：每一个正整数 N，取定后总存在正整数 P0N 。设

15、m0 2P0 1,n0 2P0 ，则m0 , n0N ，xm0xn01 1 21，取0 =1，则正整数 N， m0 ,n0N 使得 xn0xm00因此 lim xn 不存在。x证毕二、函数极限12（一）函数极限定义1. lim f (x)Ax设 f 为定义在 a,) 上的函数，如果对0 ，正数 (a) ，xM ，成立| f ( x)A |,则称 A 是函数 f 当 x时的极限。记作limf (x)Ax或f ( x)A(x) .2.limf ( x)Ax设 f 为定义在 a,) 上的函数，如果00 ，正数 (a) ，x0M ，成立| f (x0 )A |0 ，则 A 不是函数 f 当 x时的极限

16、3. x时以及 x时的定义与 x时类似，在此不做累牍。（注释1）4. lim f ( x)A ：x x0设函数 yf (x) 在点 x0 的某个空心邻域 U 0x 0 ; 内有定义，如果对0，0，当 0| x x0 | 时，成立| f ( x) A |，则称 A 是函数在点 x0 的极限，记作lim f (x)Axx0或（ f ( x)A(xx0 ) .135. limf ( x)Ax x0设函数 yf (x) 在点 x0 的某个空心邻域 U 0x 0 ; 内有定义，如果某 00 ，0， x1满足 0 | x1 x0 |，成立| f (x1) A |0 ，则 A 不是函数在点 x0 的极限。6

17、.limf (x)Axx0设函数 f 在 U 0 (x0 ;) 内有定义，如果对0, () 0 ，当 x0 x x0时，成立| f ( x) A |,则称数为函数f 当 x 趋于 x0 时的右极限，记作limf (x)Axx0或f (x)A( x x0)7. lim f (x) Ax x0设函数 f 在 U 0 (x0 ;) 内有定义，如果某 00 ， () 0 ， x1 满足x0 x1 x0，成立| f (x1)A |0 ，则 A 不是函数 f 当 x 趋于 x0 时的右极限。8. 类似可给出左极限 lim f ( x)A 和 limf ( x)A 的定义。x x0x x0（二）利用定义判断

18、给定函数极限是否存在例 4. 用定义证明 limx 29 。x 2证明：由 x2 ，当 x 21 时214x29 x 3 x 3 x 2 1 x 2 5 1 x 2 5 x 2 11 51 9 ，224故取 01, 对1 ，当 x 2时，有29x290 。4由定义知： limx 29x2证毕例 6. 证明 Heine 定理。 limf (xA) 的充分必要条件是：对于任意满足条件x x0limxnx0 ，且 xnx0(n1,2,3.) 的数列 xn ，相应的函数值数列f (x n ) 成立nlimf (x n )An证明：必要性：由 limf (x)A 可知，0,0, x(0xx0) ：x x

19、0f (x)A。因为 limxnx0 ，且 xnx (n1,2,3.) ，对于上述0 ，N ， nN :n00 xnx0。于是当 nN 成立f (x n )A，即lim f (x n )A 。n充分性：用反证法。取一列 n ， n1 (n1,2,3.) 。n对11，存在 x1(0x1x01 ) ，使 f (x1A)0 ；对21 ，存在 x2 (0x2x02 ) ，使 f (x 2 A)0 ；.2一般的，对k 1 ，存在 xk (0xk x0k) ，使 f (x k A)0 。k15于是得到数列 x n ，满足 xnx0， lim xnx0 ，但相对应的函数值数列 f (x n )n不可能以 A

20、 为极限。证毕三、连续函数（一）函数连续的定义与不连续点类型1. 设函数 f x 在点 x0 的某个邻域中有定义，并且成立lim f xf x0 ，x x0则称函数 f x 在点 x0 连续，而称 x0 是函数 f x 的连续点。2. 函数 f x 在区间 a,b 的每一个点都连续，则称函数 f x 在开区间 a, b 上连续 .3. 若lim f xf x0 ，x x0则称函数 f x 在 x0 左连续；若lim f xf x0 ，x x0则称函数 f x 在 x0 右连续 .lim f xf x0 可表述为：0,0, xx x0 0 ：x x0f xf x0；lim f xf x0 可表述

21、为：0,0, x 0 x x0：x x016f xf x0.4 若 f x 在 a,b 连续，且在左端点 a 右连续，在右端点b 左连续，则称函数f x 在闭区间 a,b 上连续 .5. 不连续点类型（1）第一类不连续点：函数f x 在点 x0 的左右极限都存在但不相等，即 f x0f x0 .（2）第二类不连续点：函数f x 在点 x0 的左右极限中至少有一个不存在.（3）第三类不连续点：函数 f x 在点 x0 的左右极限都存在而且相等，但不等于 f x0 或者 f x 在点 x0 无定义。（二）函数一致连续的定义与函数非一致的定义1. 设函数 f (x) 在区间 X 上定义，如果对0，0

22、 ，x ， xX 满足xx，成立f ( x )f ( x )，则称函数 f (x) 在区间 X 上一致连续。2.设函数 f (x) 在区间 X 上定义，若00 ，对0 ，x0 ， x1X 满足x0x1，成立f (x0 ) f ( x1 )0 ，17则称 f (x) 在区间 X 上非一致连续。（三）利用定义判断给定函数的连续性。例 7 证明 Riemann.函数 R（ x）（注释 2）在任意点的极限存在且极限值为 0. 换言之，一切无理点都是 R（x）的连续点，一切有理点是 R（x）的第三类不连续点。证明：R（x）是以 1 为周期的周期函数，故只需讨论区间0,1 上的函数性质。设任意一点x00,1，对任意给定的，设1，因为在 0,1 上分明0k不超过 k 有理点个数有限，设它们为r1, r2 , rn 。令min rix0 ，1 inrix0显然 0。当 x0