版初中二次函数知识点汇总

1、v1.0可编辑可修改二次函数知识点汇总支1 .定义：一般地，如果y ax2 bx c（a,b,c是常数，a 0）,那么y叫做x的二次函数.2 .二次函数y ax2的性质（1）抛物线y ax2 （a0）的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数y ax2的图像与a的符号关系.当a 0时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；当a 0时 抛物线开口向下 顶点为 其最高点3 .二次函数y ax2 bx c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.4.二次函2y ax bx c用配万法可化成：,2y a x h k的形式，其中-12 -第-12 -页 共30页4ac b24 a5 .二次函数由特殊到一般

2、，可分为以下几种形式: y ax2 ; y ax2k ; y2 f-242,a x h ; ® y a x h k; y ax bx c.6 .抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点a决定抛物线的开口方向:当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.7 .顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口 方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8 .求抛物线的顶点、对称轴的方法,222公式法：y ax2 bx c a x 4ac b ,.顶点是（-

3、,-ac-b-）,对称轴是直线2a 4a2a 4abx 一2a 配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y ax h2 k的形式，得到顶点为（h, k）,对称轴（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线y ax2 bx c中，a,b,c的作用a决定开口方向及开口大小，这与 y ax2中的a完全一样.（2） b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线x 上，故: 2ab 0时，对称轴为y轴；b

4、0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧； ab 0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. a（3） c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c, 。抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点（0, c）:c 0,抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 占0.a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2y ax当a 0时开口向上当a 0时开口问卜x 0(y 轴)(0,0)2y ax kx 0(y 轴)(0, k),2 y ax

5、hx h(h,0),2,y a x h kx h(h,k)y ax2 bx cb x 2a/ b 4ac b2、(,)2a 4a11 .用待定系数法求二次函数的解析式(1) 一般式：y ax2 bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式2(2)顶点式：y ax hk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式：y a x x x x2.12 .直线与抛物线的交点y轴与抛物线y ax2 bx c得交点为(0,c) 与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2 bx c有且只有一个交点(h , ah 2 bh c).(3)抛物

6、线与x轴的交点二次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程ax2 bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3) 一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ,则横坐标是ax2 bx c k的两个实数根.(5) 一次函数y kx n k 0的图像l与二次函数y ax2 bx c a 0的图像G的交点，由方 程组y k

7、x2 n的解的数目来确定：y ax bx c方程组有两组不同的解时l与G有两个交点；方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时 l与G没有交点.(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax2 bx c与x轴两交点为2b cAx1,0 , B x2,0 ,由于 x1、x2是方程 ax bx c 0 的两个根，故 X ”一,x1x2 -a a22oADq 2 b b 4c b b 4ac CAB Xi X2 x Xi X2v Xi X24xiX2 J a a 忖 忖13 .二次函数与一元二次方程的关系：（1） 一元二次方程y ax2 bx c就是二次函数y ax2 bx c当函数y

8、的值为0时的情况.（2）二次函数y ax2 bx c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、 没有交点；当二次函数y ax2 bx c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y 0 时自变量x的值，即一元二次方程ax2 bx c 0的根.（3）当二次函数y ax2 bx c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程y ax2 bx c有两个不相等的实数根；当二次函数 y ax2 bx c的图象与x轴有一个交点时，则一元 二次方程ax2 bx c 0有两个相等的实数根；当二次函数y ax2 bx c的图象与x轴没 有交点时，则一元二次方程ax2 bx c 0没有实数根14 .二次函数

9、的应用：（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数 关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大 （小）值.15 .解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表 达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理 性，对问题加以拓展等.二次函数知识点一、二次函数概念：1 .二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c （a,b, c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似

10、，二次项系数a 0,而b, c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2.二次函数y ax2 bx c的结构特征: 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2.a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y ax2的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, 0y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y有最小值0.a 0向下0, 0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y有最大值0.2.2ax的性质:

11、a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y有最小值c .a 0向下0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y有最大值c .上加下减。3.的性质:左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, 0X=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随x的增大而减小；x h时，y有最小值0.a 0向下h, 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随x的增大而增大；x h时，y有最大值0.24. y a x hk的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a

12、 0向上h, kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随x的增大而减小；x h时，y有最小值k .a 0向下h, kX=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随x的增大而增大；x h时，y有最大值k .三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：2万法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h k,确定其顶点坐标 h, k ； 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h,k处，具体平移方法如下:y=ax2* y=ax 2+k向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位*向上（k>0）【或下（

13、k<0）】平移|k|个单位向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位向右（h>0）或左（h<0）】平移k|个单位向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位y=a (x-h)2* y=a(x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：y ax2 bx c沿y轴平移：向上（下）平移 m个单位，y ax2 bx c变成y ax2 bx c m （或 y ax2 bx c m）22y ax bx c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y ax bx c变成2y a

14、(x m) b(xm)c (或y2a(x m) b(x m) c)四、二次函数y2axbxc的比较从解析式上看,2axbx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,即 y a x 2a4ac b24a4ac b24a五、二次函数ax2 bxc图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数yax2 bx c化为顶点式y a(x h)2 k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图般我们选取的五点为：顶点、与 y轴的交点0, c、以及0, c关于对称轴对称的点2h, c、与x轴的交点 x.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴,顶点，与x轴的交点，与y轴的交

15、点.没有交点，则取两组关于对称轴对称的点)六、二次函数y ax2 bx c的性质1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为2bb 4ac b,顶点坐标为 一,2a2a 4a4ac4a2. 当b .2时，y随x的增大而减小；2a2b-b时，y随x的增大而增大；当2ax -b-时，y有最小值2aa 0时，抛物线开口向下，对称轴为,顶点坐标为2a2b 4ac b2a 4ab .时，y随x 2a的增大而增大；当 x旦 时，y随x的增大而减小；当2a七、二次函数解析式的表示方法x 2时,2a2y有最大值4ac b4a1.一般式:2axbx c( a,c为常数，a0);2.顶点式:a(xh)2 k (a,k为

16、常数，a0);3.两根式:a(xxi)(x x2)(0, xi,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标)注息:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然 a 0 .a的值越小，开口越大; 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛

17、物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.在a 0的前提下,当b 0时，旦 0 ,即抛物线的对称轴在 y轴左侧;2a当b 0时， 0,即抛物线的对称轴就是 y轴；2ab当b 0时， 0,即抛物线对称轴在 y轴的右侧.2a 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时， 0,即抛物线的对称轴在 y轴右侧；2a当b 0时， 0,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b 0时，-b- 0 ,即抛物线对称轴在 y轴的左侧.2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.bab的符号的判定：对

18、称轴 x 在y轴左边则ab 0,在y轴的右侧则ab 0 ,概括的说就是“左 2a同右异” 总结:3. 常数项C当C 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正; 当c 0时，抛物线与 y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为 0；当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与 y轴交点的位置.总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.

19、一般来说，有如下几种情况：1 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3 .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 .关于x轴对称22.y ax bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax bx c ；2y a x hk关于x轴对称后，得到的解析式是2 .关于y轴对称22.y ax bx c关于y轴对称后，得到的解析式是 y ax bx c；22y a x h k关于y轴对称后，得到的解

20、析式是y a x h k ；3 .关于原点对称22y ax bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax bx c ；22y a x hk关于原点对称后，得到的解析式是y a x h k ；4 .关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180。）22by ax bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax bx c 一 ；2a22y a x hk关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h k .5. 关于点m, n对称v1.0可编辑可修改22y a x h k关于点 m, n对称后，得到的解析式是 y a x h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变

21、化，因此|a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1 .二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c当函数值y 0时的特殊情况图象与x轴的交点个数： 当b24ac 0时，图象与x轴交于两点Ax1,0 , B x2, 0（xx2）,其中的x1，x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的两根.这两点间的

22、距离 AB 区 x1 也：产. a 当 0时，图象与x轴只有一个交点；当 0时，图象与x轴没有交点.1'当a 0时，图象落在 x轴的上方，无论 x为任何实数，都有 y 0;2'当a 0时，图象落在 x轴的下方，无论 x为任何实数，都有 y 0 .22 .抛物线y ax bx c的图象与y轴一te相交，交点坐标为（0 , c）;3 .二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与 x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c中a, b, c的符号，或由二次函数中a, b,

23、 c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标0抛物线与x轴后两个交点二次二项式的值可止、可零、可负-10 -第-10 -页共3一兀二次方程内两个不相等实根）页v1.0可编辑可修改0抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一兀二次方程内两个相等的实数根0抛物线与x轴无交占八、二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.次三项2式，一次二项式 ax bx c(a 0)本身就是所含字母 x的二次函数；下面以 a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

24、图像参考：-12 -第-15 -页 共30页卜一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润 最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1 .考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如:已知以x为自变量的二次函数 y (m 2)x2 m2 m 2的图像经过原点，则m的值是2 .综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如:如图，如果函数 y kx b的图像在第一、y kx2 bx 1的图像大致是(v1.0可编辑可修改o-1 x0 -1 x3 .考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习

25、题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：5 已知一条抛物线经过（0,3） , （4,6）两点，对称轴为 x求这条抛物线的解析式。34 .考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：23已知抛物线y ax bx c （ aw 0）与x轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵坐标是一 -（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标5 .考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号2C例1 （1） 一次函数 y ax2 bx c的图像如图1,则点 M（b,）在（）aA .第一象限 B

26、 .第二象限 C .第三象限D .第四象限（2）已知二次函数 y=ax2+bx+c （a*0）的图象如图2所示，？则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等； 4a+b=0;当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）A. 1个B . 2个【点评】弄清抛物线的位置与系数a, b, c之间的关系，是解决问题的关键.例2.已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2 ,O）、（xi, 0）,且1<xi<2,与y轴的正半轴的交点在点（O, 2）的下方.下列结论：a<b<0;2a+c>Q4a+c<Q2a -b+1>O,其中正确结

27、论的个数为（）A 1 个B. 2 个C. 3 个D.4个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例3 .已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2 ,且二次函数 y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=2,2)则抛物线的顶点坐标为()A(2, -3) B.(2,1) C(2,3) D . (3 ,ABC以2米/秒的速度沿直线 L向正方形移动，直到 AB与答案：C例4、(2006年烟台市)如图(单位：m),等腰三角形CD重合.设x秒时，三角形与正方形重叠部分2 ym.(1)写出y与x的关系式；(2)当x=2,时，y分别是多少(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移

28、动了多长时间求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y= x2+x.22(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.10),交 x 轴于 A(Xi，0) , B(x2,0)两点 区x2)(2)若该抛物线与 x轴的两个交点为 A B,求线段AB的长.【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查，第(例6 .已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4 ,M,使锐角/ MCO3A CO若存在，请你求出 M点的交y轴负半轴于 C点，且满足3AO=OB(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点横坐标的取值范围；若不

29、存在，请你说明理由.解:如图抛物线交 x轴于点A(x1, 0), B(x2, O),则 x1 - x2=3<0,又< x1<x2,.x2>O, x1<O,30A=OBx2=-3x 1.x1 x2=-3x 12=-3 .x；=1.x 1<0, x1=-1 . . x2=3.点A(-1 , O), P(4, 10)代入解析式得解得 a=2 b=3.二次函数的解析式为y-2x 2-4x-6 .(2)存在点 M使/ MC0</ ACO解：点A关于y轴的对称点 A' (1 , O),直线A, C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0 ,

30、 -6) , (5 , 24).:符合题意的x的范围为-1<x<0或O<x<5.当点M的横坐标满足-1<x<O或O<x<5时，/ MCO>ACO一，一一 1 2例7、已知函数 y x2 bx c的图象经过点 A (c, 2),2求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。(1)根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式若能，请写出求解过程，并画出二 次函数图象；若不能，请说明理由。(2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评： 对于第

31、(1)小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A (c, 2)”，就可以列出两个方程了，而解2)小题，只要给出的条件能够使求出析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等O解答(1)根据lx22bxC的图象经过点A (c, 2),图象的对称轴是x=3,1 2- C2b212bc c2,解得3,3,2.所以

32、所求二次函数解析式为1 2-x3x 2.图象如图所不。2，一，一 1(2)在解析式中令y=0,得一2x2 3x 2 0,解得 x1 3 V5,x2 3 55.所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3+J5,0) ”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(35,0).-30 -第-19 -页 共30页令x=3代入解析式，得 yv1.0可编辑可修改 15所以抛物线y x2 3x 2的顶点坐标为（3,-）,225所以也可以填抛物线的顶点坐标为（3 5）等等。，2函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函 数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模

33、型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2, BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM最大面积.【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间.例2某产品每彳成本 10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）？与产品的日销售量 y （件）之间的关系如下表:x （元）152030y （件）252010若日销售量y是销售价x的一次函数.（1）求出日销售量 y （件）与销售价 x （元）的函数

34、关系式;（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元15k【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b .则2k25,解得k=-120b=40, ?即一次函数表达式为 y=-x+40 .（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w=(x-10 ) ( 40-x) =-x2+50x-400=- (x-25 ) 2+225.产品的销售彳应定为 25元，此时每日获得最大销售利润为225元.【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点:（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中,“某某”要设为自变量,

35、“什么”要设为函数；（2） ?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.例 3.你知道吗平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m 2. 5 m处.绳 子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是 标系如右图所示）1. 5m,则学生丁的身高为（建立的平面直角坐（）A. 1. 5 mB. 1. 625 mC. 1 . 66 m D. 1. 67 m分析：本题考查二次函数的应用答案：B知识点一、平面直角坐标系1 ,平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共

36、原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O (即公共的原点)叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用(a, b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 a b时，(a, b)和(b, a)是两个不同点的坐标。知识点二、

37、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限x 0, y 0点P(x,y)在第二象限x0, y0点P(x,y)在第三象限x0, y0点P(x,y)在第四象限x0,y02、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上y0 , x为任意实数点P(x,y)在y轴上x0 , y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上 x, y同时为零，即点 P坐标为(0, 0)3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点

38、的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p'关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p'关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p'关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：(1)点P(x,y)到x轴的距离等于 y(2)点P(x,y)到y轴的距离等于 x(3)点P(x,y)到原点的距离等于，了丁知识点三、函数及其相关概念i、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有

39、两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点(1)解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解 析法。(2)列表法把自变量x的一系列值和函数 y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。(3)图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值(2)描点

40、：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。知识点四，正比例函数和一次函数1 、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果 y kx b (k, b是常数，k 0),那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数 y kx b中的b为0时，y kx (k为常数，k 0)。这时，y叫做x的正比例函2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数y kx b的图像是经过点(0, b)的直线；正比例函数y kx的图像是经过原点(0, 0)的直线k的符号b的符号函数图像图像特征k>

41、0b>0y/0 / xI/图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。b<0y图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。0x/K<0b>0y_,图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小0xb<0dyi图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。0 5注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。4、正比例函数的性质一般地，正比例函数 y kx有下列性质:(1)当k>0时，图像经过第一、三象限， y随x的增大而增大；(2)当k<0时，图像经过第二、四象限， y随x的增大而减小。5、一次函数的性质一般地，一次函数 y kx b有下

42、列性质：(1)当k>0时，y随x的增大而增大(2)当k<0时，y随x的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y kx (k 0)中的常数ko确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式 y kx b (k 0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法知识点五、反比例函数1、反比例函数的概念ki一般地，函数 y (k是常数，k 0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y kx 1的形x式。自变量x的取值范围是x 0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这

43、两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x 0,函数y 0,所以，它的图像与 x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质反比例函数ky (k 0) xk的符号k>0k<0图像AyyOxOx r性质x的取值范围是x 0,y的取值范围是y 0;当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。x的取值范围是x 0,y的取值范围是y 0;当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x的增大而增大。4、反比例函数解析式的确

44、定k确te及快是的方法仍是待te系数法。由于在反比例函数y 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对x应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义k如下图，过反比例函数 y （k 0）图像上任一点 p作x轴、y轴的垂线PM PN则所得的矩形 PMON勺 x一 -k 一面积 S=PM? PN=y ? x xy。 y -, xy k, S k o x知识点六、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果特y ax2 bx c（a, b, c是常数，a 0）,特别注意 a不为零那么y叫做x的二次函数。y ax2 bx c（a,b,c是常数，a

45、 0）叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像b一次函数的图像是一条关于x巴对称的曲线，这条曲线叫抛物线。2a抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴2(2)求抛物线 y ax bx c与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点Q将 这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点Do由C M D三点可粗略地画出

46、二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。知识点七、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀一-一般两根三顶点(1) 一般一般式：y ax2 bx c(a,b,c 是常数，a 0)两根 当抛物线y ax2 bx c与x轴有交点时，即对应二次好方程 ax2 bx c 0有实根x122和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax bx c a(x x1)(x x2)，二次函数 y ax bx c可转化为两根式 y a(x xi)(x x2)。如果没有交点，则不能这样表示。a的绝对值越大，抛物线的开口越小。(3)二顶点顶点式：y

47、 a(x h)2 k(a,h,k是常数，a 0)知识点八、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)2y最值4ac b4a如果自变量的取值范围是x1 xX2,那么,b首先要看 是否在自变量取值范围 xi2aX2内，若 b在此也围内，则当 x= 时,2a24ac b增减性，如果在此范围内，yy最值4a;若不在此范围内,则需要考虑函数在x1 xx2范围内的随X的增大而增大,则当 x x2时,y最大ax2 bx2 c ,当 x x1 时,2y最小ax1 bx1 c；如果在此氾围内，y随x的增大而减小，则当21x xi时，y最大 axi bxi c，当II2!

48、x x2 时，y 最小ax2 bx2 c。知识点九、二次函数的性质1 、二次函数的性质二次函数函数y ax2 bx c（a,b,c是常数，a 0）图像a>0a<0(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸;(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸;性质(2)对称轴是 x= ,顶点坐标是(,2a2a(2)对称轴是x= 顶点坐标是(,2a2a/J4ac b 、);4a(3)在对称轴的左侧，即当 x< -b-时，y随x的 2a增大而减小；在对称轴的右侧，即当x> A2a时，y随x的增大而增大，简记左减右增；(4)抛物线有最低点，当x= b-时，y有最小值， 2a4ac b2y最小值4a

49、/U24ac b 、);4a(3)在对称轴的左侧，即当 x< _)时y随x2a的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x> 2-时，y随x的增大而减小，简记左增2a右减；(4)抛物线有最高点，当 x= 上-时，y有最大2a梏4ac b2值，y最大值4a2、二次函数y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)中，a、b、c的含义:a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上a<0时，抛物线开口向下bb与对称轴有关：对称轴为x= 2aC表示抛物线与y轴的交点坐标：(0, c)3、二次函数与一元二次方程的关系元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中

50、的b2 4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点当 >0时，图像与x轴有两个交点；当 =0时，图像与x轴有一个交点；当 <0时，图像与x轴没有交点。1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法)y如图：点 A坐标为(xi, yi)点B坐标为(x2, y2)-30 -第-31 -页 共30页则AB间的距离，即线段 AB的长度为22XiX2yiy2A2,二次函数图象的平移将抛物线解析式转化成顶点式y2a x h k ,确定其顶点坐标h, k ；h, k处，具体平移方法如下: 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到y=ax2向上（k>0）

51、【或向下（k<0）】平移|k|个单位y=ax 2+k向右（h>0）或左（h<0）】平移k|个单位向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位y=a (x-h)2向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”.函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）特别记忆- 同左上加 异右下减（必须理解记忆） 说明函数中ab值同号，图像顶点在 y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在 丫轴右侧异右 向左向上移动为加 左上加 ,向右向下移动为减 右下减v1.0可编辑可修改3、直线斜率：k tanV2 yib为直线在y轴上的截距4、直线方程:X2x14、两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式yyikx b(tan)x by2y1 x(xxi)此公式有多种变形牢记x2 x1点斜 y yi kx(x xi)斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式：y = kx+ b( kw 0)截距 由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线