小学的奥数几何五大模型燕尾模型

1、燕尾定理燕尾定理：在三角形 ABC中，AD, BE, CF相交于同一点 O,那么，上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为AABO和 MCO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于， 它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题 一明燕尾定理:如右图，D是BC上任意一点，请你说明：G :S4=S2：S3=BD :DC【解析】 三角形BED与三角形CED同高，分别以 BD、DC为底，所以有 G : S4 = BD : DC ；三角形ABE与三角形EBD同高，Si：&a

2、mp;=ED:EA； 三角形ACE与三角形CED同高，S4： S3 =ED :EA,所以S64=863；综上可彳导,S : S4 =8 : S3 =BD : DC .例1 （ 2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1, E是AC的中点，点D在BC上，且BD: DC =1: 2 , AD与BE交于点F .则四边形DFEC的面积等 于.【解析】方法一：连接CF ,SaabfBD1Sa ABFAE,根据燕尾TE理， =一，=1,SaacfDC2SA cbfEC设S BDF =1份，则SADCF =2份, SAABF =3份, SAAEF = S EFC =3份，如图所标5

3、c 5所以 SDCEF = SA ABC =一12121 一1方法二：连接 DE ,由题目条件可得到Saabd =2SaABC =-,33G 1c 12G 1BFSaabd1S ADE =SADC =MS ABC =一，所以 二=一，22 33 FESa ade11111111L def =- Sa deb = Sa bec = Sa abc =一22 32 3 2122 11 .5而SAcde =- X-XSAabc =一 .所以则四边形 DFEC的面积等于 一 . 3 2312【巩固】如图，已知 BD=DC , EC=2AE,三角形 ABC的面积是30,求阴影部分面积【解析】 题中条件只有

4、三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线,（法一）连接CF ,因为BD=DC ,EC=2AE,三角形 ABC的面积是30,所以Sa abe-1e Sa abc _10 , Sa abd3根据燕尾定理,SZ ABF AE _ 1SAcbf -EC -2二Sa abc =15 2S ABF BD =1 ,SA acfCD1c -G所以 Sa abf Saabc 7.5 , sa bfd4= 157.5=7.5 ,所以阴影部分面积是30 -10 7

5、.5=12.5 .（法二）连接DE ,由题目条件可得到Sa ABESa bdeJSa=Sa BEC21 2- 一 一=M Sa abc =10,所以2 31=-S3AF'A ABC =10 ,Sa abe1Sl DEF=Sa DEA11 cSa ADC2 3而 & CDESa ABC3 2FDSa bde1& ABC=10.所以阴影部分的面积为【巩固】如图，三角形ABC的面积是200 cm2AE: EC =3:5于.,BD: DC =2:3 , AD与BE= 2.5 ，12.5.在AC上，点D在BC上，且交于点F .则四边形DFEC的面积等【解析】连接CF,根据燕尾定理

6、,S ABFSa acfBD 2DCSa abfSa cbfAE 3EC 510设 Sa ABFSa a, Sa bcf =10 份 ,Sz efc = 9 父-=- 环358Sa CDF =1【巩固】如图，已知2 3BD =3DC ,所以一45452Sdcfe =200-：-(6 9 10) (6)=8 (6)=93(cm )88EC =2AE , BE与CD相交于点O ,则 ABC被分成的4部分面积各占4ABC面积的几分之几？连接CO,设SAaeo =1份，则其他部分的面积如图所示，所以S abc 12 9 '18= 30 份,所以四部分按从小到大各占1 2 4.5 13 ABC面

7、积的一,30306093 13.59一 , 一30 10 3020（2007年香港圣公会数学竞赛 ）如图所示,AP相交于点 X ,若 ABC的面积为6 方法一：连接PQ.11.在 ABC 中，CP=CB, CQ=CA, BQ 与 23,则 ABX的面积等于 . 1 _由于 CP =CB , 2一 1-CQ =CA,所以 Sabq32_ 1_ 1=S ABC , SJBPQ =- S bcq = S ABC .3 -2 -6 -由蝴蝶定理知,-4一所以 S|_ABX S5-2 c 1 _AX : XP SL|ABQ : SJBPQ = S ABC : S ABC 4:1 ，3 -6 -4122A

8、BP =一父S ABC = S ABC =一 父 6 =2.4 .52 -5 -5方法二：连接 CX设Sacpx =1份，根据燕尾定理标出其他部分面积,所以 & ABX =6-7（1 1 4 4） 4=2.4【巩固】如图，三角形 ABC的面积是1 , BD=2DC , CE=2AE, AD与BE相交于点F ,请写出 这4部分的面积各是多少 ？连接CF ,设SAaef =1份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以SA AEF162一, S ABF = = , & BDF21217eS, SFDCE21217如图，E在AC上，D在BC上，且AE: EC=2:3 , BD

9、: DC =1:2, AD与BE交于点F .四 边形DFEC的面积等于22 cm2,则三角形 ABC的面积.连接CF,根据燕尾定理，Sa abf BD ,Sa acf DC 2S ABFSa cbfAE 2EC 32及 Sabdf 1 伤，则 Sa d c f 2 伤，Sa abf _ 2 伤，S afc 4 伤，Sa aef = 4 父 = 1.62 3份,Sa efc - 4= 2.4 份，如图所标，所以 Sefdc =2+2.4=4.4 份，S abc=2+3+4=9 份所以 SLABC 22 - 4.4 9 =45 (cm2)三角形 ABC中，C是直角，已知AC =2 , CD = 2

10、, CB=3, AM =BM ,那么三角形 AMN (阴 影部分）的面积为多少？【解析】连接BN .ABC的面积为3 M2+ 2 =3根据燕尾定理， ACN :ABN =CD : BD =2:1 ;同理CBN:CAN =BM : AM =1:1设4AMN面积为1份，则4MNB的面积也是1份，所以 4ANB的面积是1 + 1=2份，而ACN的面积就是2父2=4份，ACBN也是4份，这样 4ABC的面积为4十4十1十1=10 份，所以 4AMN的面积为3-10M1=03【巩固】如图，长方形 ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE , F是DG的中点.阴影部分的面 积是多少平方厘米？55【解析】设

11、$A DEF =1份，则根据燕尾定理其他面积如图所不陋影=?$ bcd平方厘米.1212例2如图所示，在四边形 ABCD中，AB=3BE, AD =3AF ,四边形 AEOF的面积是12,那 么平行四边形 BODC的面积为 .【解析】 连接 AO,BD ,根据燕尾定理 SAABO : SABDO =AF : FD =1： 2 , SAAOD ： SABOD = AE : BE =2:1 , 设$4BEO =1,则其他图形面积，如图所标，所以Sbodc =2Saeof =2 12=24.【例3】ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是 AB、BC边的中点，AF与CE交于G ,则四边形 AG

12、CD的面积是 平方厘米.【解析】连接AC、GB ,设S agc = 1份，根据燕尾定理得Sa agb =1份，Sa bgc = 1份，则 S正方形=（1+1+1 M2 =6份，Sadcg =3+1=4份，所以 Sadcg =122 + 6X4 = 96 （cm2）例4如图，正方形 ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形 BGHF的面积是 平方厘米.【解析】连接BH，根据沙漏1K型得 BG:GD=1:2，设SA bhc =1份，根据燕尾定理SA chd =2份，127 一SABHD=2份，因此 S正方形=（1 *2 *2）父 2 =10 份 , Sb f H=&q

13、uot;G * -=,所 以236Sbfhg =120+10X7=14（平方厘米）.6【例5】如图所示，在 4ABC中，BE: EC =3:1 , D是AE的中点，那么 AF : FC =. 【解析】连接CD.由于国abd : Sa bed =1:1 , Sa bed : Sa bcd =3: 4,所以 Saabd : Sa bcd =3: 4 ,根据燕尾定理，AF : FC = SAabd : Sabcd =3: 4 .【巩固】在 MBC 中，BD:DC=3:2, AE : EC =3:1 ,求 OB:OE =?【解析】连接OC.3 .因为 BD : DC 3: 2 ,根据媒尾te理，S*）

14、b : s&oc BD : BC =3: 2 ,即 S&OB =_ S&oc ；43-3 4_一又 AE : EC 3:1 ,所以 SAOC =l S&OE .则 S&OB = S&OC = M S&OE = 2S&OE ,322 3 -所以 OB:OE =S&ob：S&°e =2:1 .【巩固】在 MBC 中，BD:DC=2:1, AE : EC =1:3 ,求 OB : OE =?【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我

15、们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的 比.本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以 第一步要连接OC.连接OC .因为BD: DC =2:1 ,根据燕尾定理,SAOB ： S. 'AOC =BD : BC =2:1 ,即 SAOB =2S*OC ；又 AE:EC =1:3 ,所以 SAOC =4Soe .则 SOB =2S/°c =2M4S&°e =8S°e ,所以 OB：OE =S&ob：S&oe =8:1 .【例6】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形， E、F分别是

16、 AB、BC上11的点，且 AE = AB , CF = BC , AF与CE相交于G ,若矩形 ABCD的面积为120,【解析】（法1）如图，过,1所以AE =EBF做CE的平行线交 AB于H ,则EH : HB =CF :FB =1:3 ,2-1所以S AEG =3r2且 EG =HF 3=2EH ,2小3 S abf2 3=EC3 4所以两三角形面积之和为AG: GF = AE :EH =2 ,即 AG =2GF ,2 3 1c=-X X S abcd =10 .9 4 21 =EC ,故 CG =GE,则210 + 5=15 .一1 一SCGF =1 乂 4父 S&EG = 5

17、 .则 MEG与 MGF的面积之和为（法2）如上右图，连接 AC、根据燕尾定理，1 一而 S.ABC =2SS ABG : S ACGABCD =6。,=BF :CF =3:1,S.CG :S淡CG =BE: AE=2:1 ,所以S ABG二c 1,SABC =360 =30 ,【例7】【解析】所以两个三角形的面积之和为如右图，三角形 ABC中，15.BD: DC =4:9 , CE: EA = 4:3 ,求 AF : FB .根据燕尾定理得 SAAOB : SAAOC =BD :CD =4:9 =12: 27c2c 1,S理CG = , S逸BC =一 父60 =20 ,3 2 1:311

18、一一则 S逸EG =1SBG =10 , S心FG =SaCG =5,34-（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 S aoc : saboc 27:16 = AF : FB本题关键是把 4AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC=3:4, AE:CE =5:6 ,求AF : FB .【解析】 根据燕尾定理得 SAAOB : SAAOC =BD :CD =3: 4 =15: 20（都有 AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 S、aoc : S

19、A boc 20 :18 10:9 AF : FB【巩固】如图， BD:DC =2:3 , AE:CE =5:3，则 AF : BF =【解析】根据燕尾 7E 理有 SA ABG : SAACG =2 :3 =10:15 ,SA ABG : SA BCG=5：3 =10： 6，所以SAACG :SABCG =15: 6 =5: 2 =AF : BF【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC=2:3, EA:CE =5: 4 ,求AF : FB .根据燕尾定理得 S八 AOB : SAAOC =BD :CD =2 :3 =10:15 / AOB / AOC（都有4AOB的面积要统一，所以找最小公

20、倍数）所以 & AOC :SABOC =15:8 =AF : FB本题关键是把 4AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！例8（2008年“学而思杯”六年级数学试题）如右图，三角形ABCAF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且三角形 ABC的面积是1,则三角形 ABE的面积为,三角形GHI的面积为,三角形 AGE的面积为【分析】连接AH、BI、CG .2 . 一一 2 一 2由于 CE : AE 3: 2 ,所以 AE = AC ,故 S&be = - S苏bc =；555根据

21、燕尾定理，Sacg : S&bg =CD : BD =2 :3 , Sbcg : S苏bg =CE : EA =3: 2 ,所以【巩固】SACG : S©BG : SqCG =4： 6 ： 9 ,则 S型G2八 24那么 S age =Sagc =5：5 19同样分析可得19S -BCG1995S ACH19则 E :GEG:EB =S戌cg：Scb =4:19 ,所以 EG G H =H 4 : 5,AG:GI : ID =10:5: 4,，55 215511所以 S圄E = SAE = 父=, SaHI = S布丘父= 10:10 5 5:19 ：19 5 19同样分析可

22、得如右图，三角形 ABC中，AF : FB =BD: DC =CE : AE = 3: 2,且三角形 GHI的面积是1,求三角形ABC的面积.【解析】连接BG, SAagc = 6份根据燕尾定理，Saagc : Sabgc =AF : FB =3: 2=6:4, Saabg : Saagc = BD :DC =3: 2=9:6得 SA BGC 4（ 份），SAABG = 9 （份）,则 SA ABC 19 （ 份），因此S AGCSA ABC19同理连接 AI、CH得SWH =-SA ABC19SA BIC _ 6SA ABC19所以SA GHISa ABC19 -6 -6 -6 11919三

23、角形GHI的面积是1,所以三角形 ABC的面积是19【巩固】（2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级）如图,ABC 中 BD=2DA, CE = 2EB,AF =2FC ,那么AABC的面积是阴影三角形面积的 倍.【分析】如图，连接AI .根据燕尾定理，S©ci : S&ci =BD : AD =2 :1 , Sci : S&bi =CF : AF =1: 2 ,所以，SA" : SACI : SAbi =1:2:4,2 一 2一那么， S&CI =S&BC = S&BC .12 47 .2同理可知 &ACG和 MB

24、H的面积也都等于 &ABC面积的-,所以阴影三角形的面积等于721.一 一 一 ,一 .MBC面积的1 1父3 =亍，所以 MBC的面积是阴影三角形面积的7倍.【巩固】如图在4ABC中，变=毁=史=1求4GH|的面积的值.DB EC FA 2 ABC 的面积【解析】连接BG,设Sabgc = 1份，根据燕尾定理SAAGC:SA BGC = AF ： FB = 2 :1 , SA ABG : SAAGC=BD :DC =2:1 得 SAagc =2（份），S 2Saabg 4（ 彳0，则 S abc =7 （分）,因此 =,同理连接 AI、CH 得Sa abc7& ABH2 &a

25、mp; BIC2SAABC7 SA ABC7所以SGHL SaaBC7 -2 -2 -2177【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变 万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题 思路，因此我们有对称法作辅助线.【巩固】如图在 ABC中，匹=色=心二，求金的值.DB EC FA 3 ABC 的面积【解析】连接BG,设Sbgc =1份，根据燕尾定理Saagc ： Sabgc vAF : FB =3:1S abg ： Saagc = BD : DC =3:1，得 Sa agc =3 （ 份），Sa ABG =9(

26、份)，则$ ABCSa3二13（彳分），因此 上空=,同理连接 AI、CH得SA ABC 13SAABHSAABC=13,SA BICSA ABC3134Sa ghi13333 4所以=Saabc1313【巩固】如右图，三角形 ABC中，AF:FB=BD:DC =CE: AE=4:3 ,且三角形 ABC的面积是74, 求角形GHI的面积.【解析】连接BG, S.gc =12份根 据 燕 尾 定 理Saagc ：Sabgc =AF : FB =4:3 =12:9Saabg ： Saagc =BD ：DC =4:3 =16:12得Sa BGC =9(份)， Sa ABG =16(份),则S人&am

27、p;abc =9 + 12+16 =37(份)，因此 Sa ABC1237同理连接AI、CH得匡”H SA ABC12 SA bic37 SA ABC1237所以Saghi 37 -12 -12 -12 JSaabc _37- 37三角形ABC的面积是74,所以三角形GHI的面积是74父工=237【例9】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积 分别是3, 7, 7,则阴影四边形的面积是多少？【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形.设三角形为 ABC , BE和C

28、D交于F ,则BF = FE ,再连结 DE .所以三角形 DEF的面积为3.设三角形 ADE的面积为x,则x:（3+3 ）=AD :DB =（x+10）:10 ,所以x=15,四边形的面积为 18.方法:设 SA ADF =x ,根据燕尾定理 SAABF ： SA BFC = S AFE ： SA EFC ,得到 SAAEF =x+3 ,再根据向右下飞的燕子，有（x+3+7）:7=x:3 ,解得x =7.5四边形的面积为 7.5 + 7.5+3=18【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中 4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是.【解析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何

29、与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：2:S阴影=（1+3）4,解得南影=2.方法二：回顾下燕尾定理，有 2:（&o +4）=1:3,解得S阴影=2.【例10如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积， 问三角形ABC的面积是多少？【解析】 设SAbof =x ,由题意知BD: DC =4:3根据燕尾定理，得SA ABO ： SAACO - SABDO ： SA CDO -4 ：3，所以 Sa ACO3再根据Saabo ： Sabco Saaoe ： Sacoe

30、 , 列方程(84 +x):(40 +30) =(63+x35):35 解得x =56Sa aoe:35=（56 +84） : （40 +30），所以 Sa aoe 二70所以三角形 ABC的面积是84+40+30+35 + 56 + 70 = 315【例11】三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分的面积.【解析】 令BE与CD的交点为M ,CD与EF的交点为 N,连接 AM , BN.在 ABC中，根据燕尾定理,SA ABM : SABCM = AE : CE =1:1 , SA ACM : SA BCM=AD ：BD =1:1 ,所以S AB

31、M=Sa ACM = SabcnJSa ABC3由于S AEM1e1e=Sa amc = Sa abm22S,所以 BM :ME =2:1在4EBC中，根据燕尾定理,SABEN : SA CEN=BF：CF= 1:1 SA CEN : S CBN=ME :MB =1:2设 S CEN =1（仿 ） 5 则 SA BEN =1（仿），SA BCNSA BCE = 4 （仿）,所以Sbcn = SabceSaabc , SabneSabce= -Sa ABC ,8因为BM :ME= 2:1 ,F 为 BC 中所以所以S_2o0 BMN = Sa bne3c 11SW12 82 1 o 1 o=_

32、_ Sa abc = Sk3 812c_1e 1 1abc , Sabfn =_ Sabnc = -22 45 -5公 ABC =一8 ABC =-X15 =3.125（平万厘米）2424【例12】入ABC,8如右图，4ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点,AD 与 BG交于M , AF与BG交于N ,已知 ABM的面积比四边形 FCGN的面积大7.2平方厘米, 则4ABC的面积是多少平方厘米？连接CM、CN .根据燕尾定理,Sa ABM : Sacbm =AG:GC =1 :1 , Sa ABM : Sa ACM =BD :CD =1:3 ,所以c .1cS ABM -

33、Sa ABC，5再根据燕尾定理,Sa ABN : Sa CBN = AG:GC =1:1 ,所以 Sa abn:Safbn Sacbn : Sa fbn =4:3,所以AN :那么Sa ang1:=4:3 ,=X -& AFC2 42515二 S AFC=X一 S ABC 一774281s-SA ABC5SA ABC= 7.2 ,528根据题意，有（SFCGN = 1 -SA ABC 可得Sa abc =336（平方厘米）（2007年四中分班考试题）如图， MBC中，点D是边AC的中点，点 E、F是边BC的三 等分点，若 MBC的面积为1,那么四边形 CDMF的面积是 .由于点D是边

34、AC的中点，点E、F是边BC的三等分点， 如果能求出 BN、NM、MD三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来,其中当然也包括四边形 CDMF的面积.连接CM、CN .根据燕尾定理，S丛BM:Sacm =BF :CF =2:1 ,c :M2S ;A, D所以SBM =2SCM =4SaDM ,那么BM =4DM ,即4BM = BD .5那么S.BmfBM BF SBCDBD BC-A15S四边形CDMF=1一 21530另解：得出SABM = 2S, ACM =4S.ADM后，可得S AdmA10CDMF - S. ACF -S.ADM -31030【例13 如图，三角形 ABC的面积

35、是1,BD=DE=EC, CF=FG=GA,三角形 ABC被分成9部分，请写出这 9部分的面积各是多少？【解析】 设BG与AD交于点P, BG与AE交于点 Q, BF与AD交于点 M, BF与AE交于点N.连接 CP, CQ, CM , CN.根据燕尾定理,&abp:Scbp =AG:GC=1:2 , SAabp:SA ACP=BD ：CD =1： 2 ,设Sa abp =1（份）则 SAABC =1+2+2 =5（份），所以 SAabp理可得SA ABQ 7 , SAABN=1 ,而2SAABGSA APQSa aqg21同理,Sa bpm丽边形MNED 二一3一353一 1 tSa

36、 bdm =，所以2135 70 42S四边形PQMN,Sh边形 NFCE1 一213 21 42 ?35 701 <=,Si边形 GFNQ63 21 6 42【巩固】如图， MBC的面积为1,点D、E是BC边的三等分点，点 那么四边形JKIH的面积是多少？【解析】连接CK、CI、CJ .F、G是AC边的三等分点,根据燕尾定理，S&K : SBK =CD :BD =1: 2 , S所以 S ACK : S ABK : S CBK -1:2:4 ,那么S4CK ABK :1=AG :CG =1:2 ,12 421类似分析可得Sagi15又 S&BJ : S在BJ = AF

37、: CF =2 :1 ,S&BJ : S&CJ=BD:CD=2:1,可得S 'acj那么，SCGKJ11174 2184根据对称性，可知四边形 CEHJ的面积也为17 一一，那么四边形为 Scgkj2 S agi - S abe =8461JKIH周围的图形的面积之和841570,所以四边形,61JKIH的面积为1【例14】如右图，面积为1的4ABC中AH :HI : IB =1:2:1 ,求阴影部分面积.【解析】 设IG交HF于M , IG交HD于N ,BD:DE:EC =1:2:1 ,70 70CF: FG:GA = 1:2:1 ,IF. AI : AB=3:4,

38、AF:AC=3: 4, J, SAFIM : SA AMF = IH : HA 22. , SA fimDF交EI于P .连接AM ,SA AIF-Sa ABC16S aim =FG:GA=2,1- -SA AIM - - SA AIF49八 八SA ABC- AH : AI =1:3Saahm64 Sa ABC , 64. AH : AB =1:4AF: AC 3 :4 '1 Sa AHF向理SACFD - SA BDHSA ABC, , SA FDH16且SSa ABC167 sSA ABC16HM : HF64:力1:4, AI : AB =3: 4, AF : AC =3: 4

39、 , .IF II BC ,又. IF :BC =3:4,DE : BC=1:2 , .DE : IF =2:3, DP : PF =2:3 ,同理 HN : ND =2:3，; HM : HF =1:4 , : HN : HD =2:5- -Sa hmn =Sa hdf10Sa abc160160同理6个小阴影三角形的面积均为160阴影部分面积工61602180【例15 如图，面积为l的三角形 ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分 点，求阴影部分面积.【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧!令BI与CD的交点为 M , AF与CD的交点

40、为 N, BI与AF的交点为 P,BI与CE的交点为 Q,连接AM、BN、CP求瓯边形 ADMI : 在 ABC中，根据燕尾定理,Sa abm : Sa cbm = AI :CI =1:2 SA acm : Sa cbm = AD :BD = 1: 2设 SA ABM =1 （份），则 SA CBM =2（彳分）,SA ACM二1（份）Sabc =4（份）,1°所以 S ABM =Sz ACM = Sa ABC ,所以 Sa ADM411=Sa abm =Sa abc , Sa aim312-1 Sa ABC,121所以SI边形ADMI -（12Sa abc = Sa abc ,6同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是 1ABC面积的一6求 呈边形DNPQE :在 ABC中，根据燕尾定理Sa ABN ：Sa acn =BF :CF =1: 2 SA acn ：Sabcn =AD : BD =1:2,-1_1 1Lc所以 S adn Sa abn 父Sa abc Sa abc，向理 Sabeq Sa abc33 72121在 ABC 中，根据燕尾定理Saabp : Saacp